备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）7-2 空间几何中的垂直（精讲）（基础版）（解析版）

7.2 空间几何中的垂直（精讲）（基础版）

考点一 线线垂直

【例1】（2022·河南）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，，平面平面ABCD．

(1)证明：；

(2)若，E为AD的中点，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】（1）证明:在中，由余弦定理，得，

可得，则，即．

又因为平面平面ABCD，且平面平面，

所以平面PAC,

又因为平面PAC，所以．

(2)由（1）可知，而E为AD的中点，故．

又，所以．又，故平面PEC．

又平面PEC，所以．

又，平面ABCD，故平面ABCD．

因为平面ABCD，所以．

因为，故，

在中，，故,

故．

【一隅三反】

1．（2022·北京）如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.

(1)求证：；

(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为棱的中点

【解析】(1)因为平面底面，平面底面，

平面，所以平面.

又因为平面，所以.

(2)解：存在，点为棱的中点.

连接，交于点，连接，如图所示：

因为底面为平行四边形，所以点为的中点.

在中，因为点分别为的中点.

所以，且.

又因为平面平面，所以平面.

2．（2022·吉林·东北师大附中）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面ABCD.

(1)证明：；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)取中点，连，

因为，，，，

所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，则，，

因为面面，面面，面，

所以平面，又平面，所以.

(2)取中点，连，则，且，

因为平面平面，面面，面，

所以平面，又面积为，

三棱锥的体积为.

3．（2022·四川成都）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，在底面内的射影分别为，.求证：

【答案】证明见解析

【解析】因为在底面内的射影为，所以面面，

又因为，面面，面

所以面，

又因面因此，

同理，

又,面,面

所以面，

又面,所以，

连接，易得，，又，

所以

所以

故，

又,面,面

因此面，

又面

即；

考点二 线面垂直

【例2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，.求证：平面；

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图所示，取中点，连接，

是正三角形，为中点，

又平面平面，且平面平面，

平面，

又平面，，

，且，平面，

平面；.

【一隅三反】

1（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，四边形为菱形，，且平面平面.证明：平面；

【答案】证明见解析.

【解析】连接BD交AC于O，如图，

四边形为菱形，所以，

平面平面，平面平面平面，

所以平面，因为平面，所以，

，故，

又平面，所以平面.

2．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.

【答案】证明见解析

【解析】证明：图1中，在中，所以.所以

也是直角三角形，

，

在图2中，所以平面.

3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图，

连接AF，

由题意知为等腰三角形，

而为的中点，所以．

又因为平面平面，且，平面平面，平面，

所以平面．

而平面，所以．

而，平面，所以平面．

连接，则，，

而，，所以且，

所以是平行四边形，

因此，故平面．

考点三 面面垂直

【例】（2022·全国·高三专题练习）在如图1所示的等腰梯形中，，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点.

(1)证明：平面；

(2)求证：平面平面.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】(1)证明：取EC的中点G，连接NG，BG，

因为点分别为线段的中点.所以，

又，所以，所以四边形MBGN是平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面；

(2)证明：因为等腰梯形中，，所以，

所以在中满足，所以，

又，所以平面，所以，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面.

【一隅三反】

1．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．

(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；

(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】（1）如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.

（2）在正方形中，，因平面ABED⊥平面ABC，平面平面，平面，则平面，即是与平面所成的角，有，解得，即有，则，即，而，则有平面，又平面，于是得，因，平面，则平面，平面，所以平面平面.

2．（2022·四川成都）如图，三棱锥中，等边三角形的重心为O，，，，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.

(1)求证：平面DEF；

(2)求证：平面平面PBC.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】(1)连接PE，因为为等边三角形，且O为重心，所以P、O、E三点共线，且，

因为M为PA中点，D是线段AM的中点，所以，所以，所以，

因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF

(2)连接AE、BD，如图所示

因为为等边三角形，E为BC中点，

所以，

因为，，E为BC中点，

所以，

因为平面PAE，

所以平面PAE，

因为平面PAE，

所以，

在中，，，，

所以，即，

所以，

在中，，

由余弦定理得，

在中，，，

所以，

在中，，，

所以，即，

因为平面PBC，

所以平面PBC，

因为平面DEF，

所以平面平面PBC

3．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱中，为中点．

(1)求证：平面；

(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】(1)连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，

因为为中点，所以MF是的中位线，所以，

因为平面，平面，所以平面

(2)因为直三棱柱上下底面为正三角形，，，

所以，

所以，

所以，即，

由三线合一可得：，

又因为平面ABC，平面ABC，

所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以

因为

所以平面，

因为平面，

所以平面平面

4．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面；

(3)若平面平面，求的大小.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)

【解析】(1)因为平面，平面，所以.

又因为底面为菱形，所以.

又因为，所以平面.

(2)

取为的中点，联结.

在中，分别为的中点，

所以.

因为底面为菱形，且为的中点，

所以.

所以.

所以四边形为平行四边形.

所以.

因为平面平面.

所以平面.

(3)因为平面，平面，所以.

因为平面平面，且平面平面平面，所以平面.

所以.

因为底面为菱形，且为的中点，所以.所以

则是等边三角形.所以.