备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）7-5 空间向量求空间角（精练）（基础版）（原卷版）

7.5 空间向量求空间角（精练）（基础版）

1．（2022·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点P是底面ABCD内一动点，且，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·青海·模拟预测（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．

4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．

1．（2022·上海市七宝中学高三阶段练习）如图所示，在长方体中，，，是棱上的点，且．

(1)求三棱锥的体积；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为.

(1)求到平面的距离；

(2)设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.

3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝．

(1)证明：；

(2)点在棱上，且＝，求直线与平面的夹角的正弦值.

4．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，E分别是，AB的中点，且.

(1)证明：；

(2)求与平面所成角的正弦值.

1．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在五面体中，为边长为2的等边三角形，平面，，.

(1)求证：平面平面；

(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

2．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.

(1)证明：.

(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.

(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；

(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为；

①求三棱锥P-ACE的体积；

②求二面角P-AC-E的余弦值.

4．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．

(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；

(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B­MD­E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．

5．（2023·山西大同·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，是底角.

(1)求证：平面平面.

(2)若，求二面角的余弦值.

6．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥CD，BC=BP，CD=2AB=4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点.

(1)证明：AE⊥平面PCD；

(2)若，求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.