备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）7-7 空间几何的外接球（精讲）（基础版）（解析版）

7.7 空间几何的外接球（精讲）（基础版）

考点一 汉堡模型

【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．

【答案】

【解析】如下图所示：

圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，

则为圆柱的外接球球心，球的半径为，

可将三棱锥置于圆柱内，使得圆为的外接圆，如下图所示：

由正弦定理可知圆的直径为，

所以，三棱锥外接球的半径，

因此，三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.

【一隅三反】

1（2023·全国·高三专题练习）已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是________.

【答案】

【解析】在等腰中，易知，所以，的外接圆的半径为，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径为.

所以其表面积为.

故答案为：

2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为_________．

【答案】

【解析】设的外心分别为 ,连接，可知外接球的球心为的中点，连接

在，由正弦定理可得的外接圆的半径 ,在直角三角形 中，外接球的半径 ,所以外接球的表面积为

故答案为：

3．（2022·重庆八中模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，M为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为________．

【答案】

【解析】取AC的中点O，连接MO、BO，则，，所以，

则，

又，所以，所以点O就是三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的球半径为，

所以三棱锥的外接球的表面积为，

故答案为：．

考点二 墙角模型

【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（       ）

A． B．4 C． D．.

【答案】B

【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，

则，解得，所以正方体的体对角线等于；故选：B

【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（       ）

A．3 B．2 C． D．1

【答案】D

【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．

由题意，易知，得，

设，得，解得，

所以四棱锥P-ABCD的体积为．故选：D

【一隅三反】

1．（2022·河北保定·二模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，则鳖臑P-ABC外接球的体积是___________.

【答案】

【解析】由题意可得三角形ABC外接圆的半径，

因为PA⊥平面ABC，

所以鳖臑P-ABC外接球的半径，

故鳖臑P-ABC外接球的体积是.

故答案为：

2．（2022·黑龙江）长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.

【答案】

【解析】因为长方体的外接球的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，

所以长方体的外接球的直径，

故长方体的外接球的半径为，

所以球的表面积为.故答案为：

3．（2022·贵溪市）棱长为的正四面体的外接球体积为___________.

【答案】

【解析】如图，棱长为的正四面体可以嵌入到棱长为的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.

设立方体的外接球半径为，则，

所以立方体外接球的体积.

故正四面体的外接球体积为.

故答案为：

考点三 斗笠模型

【例3】（2022·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设圆锥的母线长为，则展开后扇形的弧长为，

再设圆锥的底面圆半径为，可得，即，

圆锥的高为，

设圆锥外接球的半径为，则，解得．

圆锥的体积为，

圆锥外接球的体积，

∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为．故选：C．

【一隅三反】

1．（2022.济南）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设底面半径为，圆锥母线为，所以，所以，

如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，是圆锥底面的圆心，

设球半径为，则，，所以，

如图1，，即，

解得，不符合题意，

当为如图2时，即，

解得，所以球表面积为．

故选：A．

2．（2022·宁夏）已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，圆锥的外接球半径为，

则，可得，

由于圆锥的侧面展开图是半圆，则，可得，，

由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，

所以，，解得,

因此，该圆锥的外接球的表面积为.

故选：B.

3．（2022·河南）一圆台的两底面半径分别为，高为，则该圆台外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设该圆台的外接球的球心为，半径为，

则或，解得，

所以该圆台的外接球的表面积为.

故选：C.

4．（2022·浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设圆锥母线为，底面半径为，则，解得，

如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为，

，，，，

所以球表面积为．故选：A．

考点四 L模型

【例4】．（2022·全国·模拟预测）已知体积为的三棱锥，满足平面平面ABC，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为，，，由余弦定理得，则，

所以△ABC为直角三角形，且．

设Rt△ABC的外接圆半径为r，点P到平面ABC的距离，

则，解得．

由题意可得解得．

设三棱锥的外接球的半径为R，

则有，解得，则三棱锥的外接球的表面积故选：D．

【一隅三反】

1．（2022·广东佛山·三模）已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，在四棱锥中，

取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，

分别过，作两个平面的垂线交于点O，

则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，

取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形，

在等边中，可得，则，即，

在正方形中，因为，可得，

在直角中，可得，即，

所以四棱锥外接球的表面积为.

故选：B.

2．（2022·陕西）如图所示，在三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（       ）

A．40π B．20π C．32π D．80π

【答案】A

【解析】设中点为，连接，

因为是以为斜边的等腰直角三角形，

所以，，

过点作，

因为平面平面，平面平面

所以平面，平面，

所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，

则由得，由得，

又因为，所以为等腰直角三角形，

设球心为，中点为，连接，

则，

所以，

即，解得，

所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：A

3．（2022·全国·高三专题练习（文））在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】取的中点，连，如图：

依题意可知，，

因为平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，即平面CDEF平面ABFE，

所以平面，所以，，，

因为，且，所以平面，所以，

因为为的中点，所以，

所以为四面体CEGF的外接球的球心，其半径为，

所以其表面积为.故选：B.