备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）7-7 空间几何的外接球（精练）（基础版）（解析版）

7.7 空间几何的外接球（精练）（基础版）

1．（2023·全国·高三专题练习）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】设球的半径为，则 ，解得

设四棱柱的高为 ，则 ，解得 故选：C

2．（2023·全国·高三专题练习）圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，

所以，解得：，则球的体积为故选：A

3．（2022·全国·模拟预测）已知在三棱锥中，平面SBC，，，，则该三棱锥外接球体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，将三棱锥补成以AC为侧棱的直棱柱，设△BCS外接圆圆心为，半径为r，设△ADE外接圆圆心为，连接，，，取的中点O，则点O为三棱锥外接球球心，连接CO，设该三棱锥外接球半径为R，在△BCS中，，所以.在中，，所以该三棱锥外接球体积为，

故选：B.

4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，已知平面，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由平面，，知三棱锥可补形为以，为长宽高的长方体，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球的半径为，则，所以．

故选：A

5．（2023·全国·高三专题练习（文））我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形．则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如下图所示：

在三棱锥中，平面，且，，

因为平面，、、平面，则，，，

，，平面，平面，，

所以，三棱锥的四个面都是直角三角形，且，

，

设线段的中点为，则，

所以，点为三棱锥的外接球球心，

设球的半径为，则，因此，球的表面积为.

故选：A.

1．（2022·沈阳市）（多选）一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】设长方体未知的两棱长分别为，则，，

设外接球半径为，则，

球体积为，，当且仅当时等号成立，

所以．故选：BCD．

2．（2022·黑龙江）长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.

【答案】

【解析】因为长方体的外接球的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，

所以长方体的外接球的直径，

故长方体的外接球的半径为，

所以球的表面积为.故答案为：

3．（2022·贵溪市）棱长为的正四面体的外接球体积为___________.

【答案】

【解析】如图，棱长为的正四面体可以嵌入到棱长为的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.

设立方体的外接球半径为，则，

所以立方体外接球的体积.

故正四面体的外接球体积为.

故答案为：

4．（2022·云南）在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为        

【答案】

【解析】以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体被平面ABC所截的三棱锥符合要求，如图：

长方体与三棱锥有相同外接球，其外接球直径为长方体体对角线长，

设外接球的半径为，则，

则所求表面积.

5．（2022·吉林长春市）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为          

【答案】

【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为，

因此其外接球的半径为，则其表面积为，故选:B.

6．（2022·河南）在四面体中，平面，三内角，，成等差数列，，，则该四面体的外接球的表面积为         

【答案】

【解析】由题意，内角成等差数列，可得,

因为，可得，即，

在中，由余弦定理可得，

即，解得，

所以，所以，

所以该四面体的外接球与该长方体的外接球是相同的，

根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得，解得，

所以该四面体的外接球的表面积为.

1．（2022·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设圆锥的母线长为，则展开后扇形的弧长为，

再设圆锥的底面圆半径为，可得，即，

圆锥的高为，

设圆锥外接球的半径为，则，解得．

圆锥的体积为，

圆锥外接球的体积，

∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为．故选：C．

2．（2022广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设底面半径为，圆锥母线为，所以，所以，

如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，是圆锥底面的圆心，

设球半径为，则，，所以，

如图1，，即，

解得，不符合题意，

当为如图2时，即，

解得，所以球表面积为．

故选：A．

3．（2022·宁夏银川市）已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，圆锥的外接球半径为，

则，可得，

由于圆锥的侧面展开图是半圆，则，可得，，

由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，

所以，，解得,

因此，该圆锥的外接球的表面积为.

故选：B.

4．（2022·河南）一圆台的两底面半径分别为，高为，则该圆台外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设该圆台的外接球的球心为，半径为，

则或，解得，

所以该圆台的外接球的表面积为.

故选：C.

5．（2022·浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设圆锥母线为，底面半径为，

则，解得，

如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为，

，，

，，

所以球表面积为．

故选：A．

1．（2022·安徽·巢湖市第一中学）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（       ）

A．64π B．128π C．40π D．80π

【答案】D

【解析】由题意得，平面，将三棱锥补成三棱柱，如图，

则三棱柱的外接球即为所求.

设外接球的球心为，则的外心为，则，

又，则外接球的半径，

表面积，故选：D

2．（2022·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习（理））已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．

【答案】

【解析】取的中点，连接，，如图所示：

因为，所以为的外接圆圆心，

又因为，为的中点，所以.

因为平面平面，所以平面，

所以三棱锥的外接球球心在直线上.

在上取一点，使得，即为三棱锥的外接球球心，

设，，所以，

.

在中，，

所以，解得，

所以三棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：

3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.

【答案】

【解析】

如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，∵，∴O在CD上，且，

，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，

又AB，平面PAB，∴，，在中，，D为AB的中点，∴，

∴，∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，

∴该三棱锥外接球的表面积.

故答案为：.

4．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，

则外接圆圆心在DE上，且，

解得，设三棱锥外接球球心为O，

连接，，过作，垂足为，

由平面平面，得，故四边形为矩形，

因为，

所以，

且，

所以，设三棱锥外接球半径为R，

有，

又，

所以，解得，

所以三棱锥外接球的表面积为.

故选：D.

5．（2022·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，为直角三角形，故在三棱维的外接球的一个切面圆上，为该圆直径；

又平面平面，故外接球的球心在所在的平面内，又，故为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上 ，点到线段的距离为，设外接球的半径为，则，

解得，则外接球的表面积为.

故选：C.

6．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知四棱锥中，平面平面ABCD，其中为正方形，是边长为2的等边三角形，则四棱锥外接球的表面积为（       ）

A．4 B． C． D．

【答案】B

【解析】连接交于，球心在底面的射影必为点，取的中点，在截面中，连接，如图，

在等边中，的中点为，

所以，又平面平面，是交线，

所以平面，且，

设，外接球半径为，

则在正方形中，，，

在中，，

而在截面中，，

由可得：

解得，

所以，

所以．

故选：B．