高中人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线集体备课ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
学习单元2　双曲线双曲线学习单元,具体包括双曲线的概念和标准方程,以及它的简单几何性质等内容.对于其研究过程是完全类比椭圆的研究方法进行的,也是按照“几何特征—标准方程—通过方程研究曲线的性质—应用”的过程来展开.这也是本单元的知识明线.具体知识结构图如下图所示:
在上述知识明线的学习过程中,二次强化“解析几何是一种方法论”的核心定位,在学习过程中仍以“四步曲”的大观念来统领学习及解决问题.
知识点1　双曲线的定义1.定义:一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于　　　 　(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 此条件不可或缺这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.集合语言表达式.双曲线就是下列点的集合:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.
名师点睛若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|MF1|与|MF2|的大小.(1)若|MF1|>|MF2|,则|MF1|-|MF2|>0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|MF1|<|MF2|,则|MF2|-|MF1|>0,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支.
微思考把双曲线定义中的“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或将定义中的非零常数改为零,结果如何?
提示 (1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点);(2)若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹不存在;(3)若为零,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
知识点2　双曲线的标准方程
此关系蕴含①c>a,c>b;②可知二求一
F1(0,-c),F2(0,c)
名师点睛两种双曲线 (a>0,b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>0,b>0,a2+b2=c2;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
微思考1.如何通过双曲线的标准方程确定双曲线的焦点位置?   
提示 “焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.
问题1在椭圆定义中,距离之和必须满足2a>2c.类比椭圆,双曲线定义中对于距离之差的绝对值是否需要满足什么条件?问题2类比椭圆标准方程的推导过程,根据双曲线的定义,探究如何推导双曲线的标准方程?问题3与椭圆相比,双曲线在定义及标准方程上有什么不同?
探究点一 双曲线定义的应用
问题4双曲线的定义主要涉及“距离”的几何量,容易构建特殊的焦点三角形.利用焦点三角形可以解决哪些与之相关的几何问题?如何解决?【例1】 F1,F2是双曲线 的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.思路分析(1)直接利用定义求解.(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.
解 (1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.
规律方法　求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积S的方法
探究点二 求双曲线的标准方程
问题5从方程的角度思考,求双曲线的标准方程的本质是什么?【例2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
规律方法　待定系数法求双曲线的标准方程的步骤(1)定型:确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式.①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0);②与双曲线(3)计算:利用题中条件列出方程组,求出相关值.(4)结论:写出双曲线的标准方程.
探究点三 双曲线标准方程的应用
问题6双曲线的标准方程具备怎样的几何意义及代数特征?(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.思路分析根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.
规律方法　方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于方程 ,当mn<0时表示双曲线,且当m>0,n<0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程 ,当mn>0时表示双曲线,且当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时表示焦点在y轴上的双曲线.(3)已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式(组)求解参数的取值范围.
探究点四 双曲线的实际生活应用
问题7在实际生活中,如何大致判断动点的轨迹?又该如何求出轨迹方程?【例4】 某飞船的返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C):A在B的正东方向,相距6千米;C在B的北偏西30°方向,相距4千米;P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角(方位角是指以正北方向为标准,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角).
规律方法　利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
1.知识清单:(1)双曲线的定义及应用;(2)双曲线的标准方程及其推导过程;(3)双曲线在实际生活中的应用.2.方法归纳:待定系数法、分类讨论法、转化化归法.3.常见误区:(1)双曲线焦点位置的判断易出错,易忽略双曲线成立的必要条件;(2)双曲线在实际生活的应用中,建模容易出错.
1.(例1对点题)已知双曲线 的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
解 在双曲线的方程中,a=3,b=4,则c=5.设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0).由双曲线的定义可知,|m-n|=2a=6,两边平方,得m2+n2-2mn=36.又∠F1PF2=90°,∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100.
2.(例2对点题)求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;(2)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q
解 (1)由已知得,c=5,2a=8,即a=4.∵c2=a2+b2,∴b2=c2-a2=52-42=9.
3.(例3对点题)在方程mx2-my2=3n中,若mn<0,则该方程表示(　　)A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线
4.(例3对点题)若方程x2sin α-y2cs α=1(0≤α<π)表示双曲线,则α的取值范围是　　　　　. 
5.(例4对点题)如图,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km,则曲线PQ的轨迹方程是　　　　　　　　　;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是　　　　km.