统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练27平面向量的数量积及其应用理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练27平面向量的数量积及其应用理，共6页。

[基础强化]
一、选择题
1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为60°，向量m＝5e1－2e2，则|m|＝( )
A． eq \r(19) B． eq \r(21)
C．2 eq \r(5) D．7
2．已知向量a＝(2，3)，b＝(x，1)，且a⊥b，则实数x的值为( )
A． eq \f(3,2) B．－ eq \f(3,2)
C． eq \f(2,3) D．－ eq \f(2,3)
3．已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
5．[2023·江西省九江市模拟]已知单位向量a、b满足|a－2b|＝ eq \r(3)，则a·b＝( )
A．1 B．－1
C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2)
6．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cs 〈m，n〉＝ eq \f(1,3)，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C． eq \f(9,4) D．－ eq \f(9,4)
7．已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则 eq \f(1,x)＋ eq \f(4,y)的最小值为( )
A．4 B．9
D．8 D．10
8．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3)
C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6)
9．[2023·全国乙卷(理)]已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PO))＝ eq \r(2)，则 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→))的最大值为( )
A． eq \f(1＋\r(2),2) B． eq \f(1＋2\r(2),2)
C．1＋ eq \r(2) D．2＋ eq \r(2)
二、填空题
10．[2023·安徽省江南十校一模]已知向量a＝(t，2)，b＝(－t，1)，满足|a－b|＝|a＋b|，则t＝________.
11．[2022·全国甲卷(理)，13] 设向量a，b的夹角的余弦值为 eq \f(1,3)，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝3，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋b))·b＝________．
12．已知向量b为单位向量，向量a＝(1，1)，且|a－ eq \r(2)b|＝ eq \r(6)，则向量a，b的夹角为________．
[能力提升]
13．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足 eq \(AB,\s\up6(→))＝2a， eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ eq \(BC,\s\up6(→))
14．[2023·全国甲卷(理)]已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝ eq \r(2)，且a＋b＋c＝0，则cs 〈a－c，b－c〉＝( )
A．－ eq \f(4,5) B．－ eq \f(2,5)
C． eq \f(2,5) D． eq \f(4,5)
15．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cs α＝ eq \f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cs β＝________．
16．[2023·江西省景德镇市质检]已知e1，e2是两个单位向量，设a＝λe1＋μe2，且满足λ＋μ＝4，若|e1－e2|＝|e2－a|＝|a－e1|，则|a|＝________．
专练27 平面向量的数量积及其应用
1．A |m|＝ eq \r(（5e1－2e2）2)＝ eq \r(25－20e1·e2＋4)＝ eq \r(29－20×\f(1,2))＝ eq \r(19).
2．B ∵a⊥b，∴2x＋3＝0，∴x＝－ eq \f(3,2).
3．C 因为 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，所以| eq \(BC,\s\up6(→))|＝ eq \r(1＋（t－3）2)＝1，解得t＝3，所以 eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故选C.
4．B a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
5．C 由已知可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝3，解得a·b＝ eq \f(1,2).
6．B ∵n⊥(tm＋n)，∴tm·n＋n2＝0，
∴t|m||n|cs 〈m·n〉＋n2＝0，
∴ eq \f(3,4)× eq \f(1,3)t＋1＝0，得t＝－4.
7．B 依题意，得a·b＝x＋y－1＝0⇒x＋y＝1. eq \f(1,x)＋ eq \f(4,y)＝ eq \f(x＋y,x)＋ eq \f(4（x＋y）,y)＝5＋ eq \f(y,x)＋ eq \f(4x,y)≥9，当且仅当x＝ eq \f(1,3)，y＝ eq \f(2,3)时取等号．故选B.
8．B 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cs α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
∴cs α＝ eq \f(1,2)，∵α∈(0，π)，∴α＝ eq \f(π,3).故选B.
9．A 方法一 连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，因为|OP|＝ eq \r(2)，所以由勾股定理可得|PA|＝1，则∠POA＝ eq \f(π,4).设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则－ eq \f(π,4)<θ< eq \f(π,4)，∠APD＝ eq \f(π,4)＋θ，且|PD|＝ eq \r(2)cs θ.
所以 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→))＝| eq \(PA,\s\up6(→))|| eq \(PD,\s\up6(→))|cs ( eq \f(π,4)＋θ)＝ eq \r(2)cs θcs ( eq \f(π,4)＋θ)＝ eq \r(2)cs θ( eq \f(\r(2),2)cs θ－ eq \f(\r(2),2)sin θ)＝cs2θ－sinθcs θ＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)cs 2θ－ eq \f(1,2)sin 2θ＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(2),2)cs (2θ＋ eq \f(π,4))≤ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(2),2)，故选A.
方法二 以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆O：x2＋y2＝1，点P( eq \r(2)，0)，因为|OA|＝1，且OA⊥PA，所以∠POA＝ eq \f(π,4)，不妨设A( eq \f(\r(2),2)， eq \f(\r(2),2)).
设直线PD的方程为y＝k(x－ eq \r(2))，B(x1，y1)，C(x2，y2)，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－\r(2)）,x2＋y2＝1))，得(k2＋1)x2－2 eq \r(2)k2x＋2k2－1＝0，由Δ＝8k4－4(k2＋1)(2k2－1)＝4－4k2>0，解得－1于是 eq \(PA,\s\up6(→))＝(－ eq \f(\r(2),2)， eq \f(\r(2),2))， eq \(PD,\s\up6(→))＝(－ eq \f(\r(2),k2＋1)，－ eq \f(\r(2)k,k2＋1))，所以 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→))＝ eq \f(1－k,k2＋1).设t＝1－k，则010．± eq \r(2)
解析：因为|a－b|＝|a＋b|，
所以(a－b)2＝(a＋b)2⇒a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b⇒a·b＝0，
a·b＝t×(－t)＋2×1＝－t2＋2＝0，
得t＝± eq \r(2).
11．11
解析：因为cs 〈a，b〉＝ eq \f(1,3)，|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉＝1×3× eq \f(1,3)＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11.
12. eq \f(2π,3)
解析：因为|a－ eq \r(2)b|＝ eq \r(6)，所以2－2 eq \r(2)a·b＋2＝6，∴a·b＝－ eq \f(1,\r(2))，
∴向量a与b的夹角θ满足cs θ＝－ eq \f(1,\r(2)·\r(2))＝－ eq \f(1,2)，又0≤θ≤π，∴θ＝ eq \f(2π,3).
13．D ∵b＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))，∴|b|＝2，故A不正确；
又 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝2×2×cs 60°＝2，即：－2a·b＝2，a·b＝－1，故B，C都不正确；∵(4a＋b)· eq \(BC,\s\up6(→))＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，
∴(4a＋b)⊥ eq \(BC,\s\up6(→))，故D正确．
14．D ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.
方法一 又a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，∴(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且|a－c|＝|2a＋b|＝ eq \r(（2a＋b）2)＝ eq \r(4＋1)＝ eq \r(5)，|b－c|＝|a＋2b|＝ eq \r(（a＋2b）2)＝ eq \r(1＋4)＝ eq \r(5)，∴cs 〈a－c，b－c〉＝ eq \f(（a－c）·（b－c）,|a－c|·|b－c|)＝ eq \f(4,5)，故选D.
方法二 如图，令 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则 eq \(OC,\s\up6(→))＝c，∴ eq \(CA,\s\up6(→))＝a－c， eq \(CB,\s\up6(→))＝b－c，而|AB|＝ eq \r(2)，|AC|＝|BC|＝ eq \r(5)，在△ABC中，由余弦定理得cs 〈a－c，b－c〉＝cs 〈 eq \(CA,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))〉＝cs ∠ACB＝ eq \f(5＋5－2,2\r(5)×\r(5))＝ eq \f(4,5)，故选D.
方法三 如图(图同方法二)，令向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B，以 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝－a－b＝(－1，－1)，∴a－c＝(2，1)，b－c＝(1，2)，则cs 〈a－c，b－c〉＝ eq \f(（a－c）·（b－c）,|a－c|·|b－c|)＝ eq \f(2＋2,\r(5)×\r(5))＝ eq \f(4,5)，故选D.
15. eq \f(2\r(2),3)
解析：a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －9e1·e2＋2e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝11－9× eq \f(1,3)＝8，
又|a|＝ eq \r(（3e1－2e2）2)＝ eq \r(9e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋4e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －12e1·e2)＝3，
|b|＝ eq \r(（3e1－e2）2)＝ eq \r(9e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －6e1·e2＋e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝ eq \r(9－2＋1)＝2 eq \r(2)，
∴cs β＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(8,3×2\r(2))＝ eq \f(2\r(2),3).
16．2
解析：根据题意，作出如下草图，
令 eq \(AF,\s\up6(→))＝e1， eq \(AE,\s\up6(→))＝e2， eq \(AB,\s\up6(→))＝λe1， eq \(AD,\s\up6(→))＝μe2，
因为a＝λe1＋μe2，由平行四边形法则，可得 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＝μe2，
所以AD∥BC，
因为|e1－e2|＝|e2－a|＝|a－e1|，
所以| eq \(EF,\s\up6(→))|＝| eq \(CE,\s\up6(→))|＝| eq \(CF,\s\up6(→))|，
因为| eq \(AE,\s\up6(→))|＝| eq \(AF,\s\up6(→))|，
所以△AEC≌△AFC，所以∠DAC＝∠BAC.
因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB，
所以∠BAC＝∠ACB，所以| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|，所以| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|，
即|λe1|＝|μe2|，所以λ＝±μ，
又λ＋μ＝4，所以λ＝μ＝2，即a＝2e1＋2e2，
所以平行四边形ABCD为菱形，
设∠BAD＝θ，即向量e1，e2的夹角为θ，
因为|e1－e2|＝|a－e1|，所以|e1－e2|＝|2e2＋e1|，
即|e1－e2|2＝|2e2＋e1|2，
所以1＋1－2cs θ＝4＋1＋4cs θ，即6cs θ＝－3，
所以cs θ＝－ eq \f(1,2)，即θ＝ eq \f(2π,3)，
所以|a|＝2|e1＋e2|＝2 eq \r(1＋1＋2cs \f(2π,3))＝2.