统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练28数系的扩充与复数的应用理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练28数系的扩充与复数的应用理，共4页。

[基础强化]
一、选择题
1．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z＝1－2i，且z＋a eq \x\t(z)＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
2．[2023·全国乙卷(理)]设z＝ eq \f(2＋i,1＋i2＋i5)，则 eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
3．[2022·全国甲卷(理)，1]若z＝－1＋ eq \r(3)i，则 eq \f(z,z\x\t(z)－1)＝( )
A．－1＋ eq \r(3)i B. －1－ eq \r(3)i
C．－ eq \f(1,3)＋ eq \f(\r(3),3)i D．－ eq \f(1,3)－ eq \f(\r(3),3)i
4．[2023·全国甲卷(理)]设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
5．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．[2023·河北省石家庄市一模] 若复数z＝(1＋2i)(a－i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－ eq \f(1,2)，2)
B．(－2， eq \f(1,2))
C．( eq \f(1,2)，2)
D．(－∞，－2)∪( eq \f(1,2)，＋∞)
7．[2023·山西省一模]设复数z满足z eq \(z,\s\up6(－))＝iz，则z＝( )
A．－i B．－1
C．0或－1 D．0或－i
8．[2023·江西省八校联考]棣莫弗公式(cs x＋isin x)n＝cs nx＋isin nx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667～1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cs eq \f(π,6)＋isin eq \f(π,6))7在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．[2023·福建省检测] 设复数z1，z2，z3满足z3≠0，且|z1|＝|z2|，则( )
A．z1＝±z2
B．z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))
C．z1·z3＝z2·z3
D.|z1·z3|＝|z2·z3|
二、填空题
10．若 eq \f(a＋bi,i)(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________．
11．i是虚数单位，复数 eq \f(6＋7i,1＋2i)＝________．
12．设复数z1，z2 满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝ eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝________．
[能力提升]
13．[2023·陕西省西安四模]已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
14．[2023·广东省四校联考] 已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且z(1＋i3)＝2＋i，则a＋b＝( )
A. eq \f(1,2) B． eq \f(3,2)
C．1 D．2
15．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z＝ eq \f(1－i,2＋2i)，则z－ eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A．－i B．i
C．0 D．1
16．[2023·河北省石家庄市模似]已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则在复平面内z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
专练28 数系的扩充与复数的应用
1．A 由z＝1－2i可知 eq \(z,\s\up6(－))＝1＋2i.由z＋a eq \(z,\s\up6(－))＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.根据复数相等，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋a＋b＝0，,2a－2＝0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2.))故选A.
2．B z＝ eq \f(2＋i,1＋i2＋i5)＝ eq \f(2＋i,1－1＋i)＝ eq \f(－i\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋i)),－i2)＝1－2i，所以 eq \(z,\s\up6(－))＝1＋2i.故选B.
3．C 因为z＝－1＋ eq \r(3)i，所以 eq \f(z,z\(z,\s\up6(－))－1)＝ eq \f(－1＋\r(3)i,（－1＋\r(3)i）（－1－\r(3)i）－1)＝ eq \f(－1＋\r(3)i,1＋3－1)＝－ eq \f(1,3)＋ eq \f(\r(3),3)i.故选C.
4．C ∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.
5．A 因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.
6．B 由题得z＝(1＋2i)(a－i)＝a＋2＋(2a－1)i，在复平面内所对应的点(a＋2，2a－1)在第四象限，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋2>0,2a－1<0)) ，解得－2所以a∈(－2， eq \f(1,2)).
7．D 设z＝a＋bi，a，b∈R，则 eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，则z eq \(z,\s\up6(－))＝a2＋b2，所以a2＋b2＝i(a＋bi)＝ai－b，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0,a2＋b2＝－b))，解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0,b＝0))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0,b＝－1))，故z＝－i或0.
8．C 由已知得(cs eq \f(π,6)＋isin eq \f(π,6))7＝cs eq \f(7π,6)＋isin eq \f(7π,6)＝cs (π＋ eq \f(π,6))＋isin(π＋ eq \f(π,6))＝－cs eq \f(π,6)－isin eq \f(π,6)＝－ eq \f(\r(3),2)－ eq \f(1,2)i，
∴复数(cs eq \f(π,6)＋isin eq \f(π,6))7在复平面内所对应的点的坐标为(－ eq \f(\r(3),2)，－ eq \f(1,2))，位于第三象限．
9．D 取z1＝1－i，z2＝1＋i，显然满足|z1|＝|z2|＝ eq \r(2)，但z1≠z2，z1≠－z2，故A错误；因为z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝－2i，z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2i，故B错误；再取z3＝1，显然C错误．
10．－7
解析： eq \f(a＋bi,i)＝ eq \f(i（a＋bi）,i2)＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因为这两个复数互为共轭复数，所以b＝3，a＝－4，所以a－b＝－4－3＝－7.
11．4－i
解析： eq \f(6＋7i,1＋2i)＝ eq \f(（6＋7i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝ eq \f(6－12i＋7i＋14,5)＝ eq \f(20－5i,5)＝4－i.
12．2 eq \r(3)
解析：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝ eq \r(3)＋i，∴a＋c＝ eq \r(3)，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，∴|z1－z2|＝ eq \r(（a－c）2＋（b－d）2)＝ eq \r(a2＋b2＋c2＋d2－（2ac＋2bd）)＝ eq \r(8－（－4）)＝2 eq \r(3).
13．B 由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2＋mn＋2＝0,2n＋2＝0))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－1))，∴z＝3－i.
14．D 由已知z＝ eq \f(2＋i,1＋i3)＝ eq \f(2＋i,1－i)＝ eq \f(（2＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)
＝ eq \f(2＋2i＋i－1,2)＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(3,2)i，
所以a＝ eq \f(1,2)，b＝ eq \f(3,2)，a＋b＝2.
15．A 因为z＝ eq \f(1－i,2＋2i)＝ eq \f(（1－i）2,2（1＋i）（1－i）)＝－ eq \f(1,2)i，所以 eq \(z,\s\up6(－))＝ eq \f(1,2)i，所以z－ eq \(z,\s\up6(－))＝－ eq \f(1,2)i－ eq \f(1,2)i＝－i.故选A.
16．A 因为复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，
所以z＝ eq \f(2＋3i,1＋i)＝ eq \f(（2＋3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝ eq \f(5＋i,2)＝ eq \f(5,2)＋ eq \f(1,2)i，
所以在复平面内z对应的点位于第一象限．