统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练29数列的概念与简单表示法理

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[基础强化]
一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．－1，－2，－3，－4，…
B．－1，－ eq \f(1,2)，－ eq \f(1,3)，－ eq \f(1,4)，…
C．－1，－2，－4，－8，…
D．1， eq \r(2)， eq \r(3)， eq \r(4)，…， eq \r(10)
2．已知an＝ eq \f(n－1,n＋1)，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
3．在数列1，2， eq \r(7)， eq \r(10)， eq \r(13)，…中，2 eq \r(19)是这个数列的第( )
A．16项 B．24项
C．26项 D．28项
4．[2023·安徽省蚌埠市质检]已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an＋3，an为奇数，,2an＋1，an为偶数，))则a6＝( )
A．16 B．25
C．28 D．33
5．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn.若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，6) B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，3]
6．[2023·潍坊一模]已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋4n＋1，则a1＋a3＋a5＝( )
A．27 B．28
C．29 D．30
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1，(n∈N*)，则S5＝( )
A．31 B．42
C．37 D．47
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋ eq \f(1,n))，则an＝( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
9．已知数列{an}满足an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an－2，n＜4，,（6－a）n－a，n≥4，))若对任意的n∈N*都有an＜an＋1成立，则实数a的取值范围为( )
A．(1，4) B．(2，5)
C．(1，6) D．(4，6)
二、填空题
10．设an＝(－1)n－1·n2，则a1＋a2＋a3＋…＋a51＝________．
11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
12．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为________．
[能力提升]
13．[2023·广东汕头三模]已知数列{an}中，a1＝－ eq \f(1,4)，当n>1时，an＝1－ eq \f(1,an－1)，则a2022＝( )
A．－ eq \f(1,4) B． eq \f(4,5)
C．5 D．－ eq \f(4,5)
14．[2023·山东济南二模]已知数列 eq \f(1,1)， eq \f(2,1)， eq \f(1,2)， eq \f(3,1)， eq \f(2,2)， eq \f(1,3)， eq \f(4,1)， eq \f(3,2)， eq \f(2,3)， eq \f(1,4)，…，其中每一项的分子和分母均为正整数．第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推．此数列第n项记为an，则满足an＝5且n≥20的n的最小值为( )
A．47 B．48
C．57 D．58
15．[2023·湖南衡阳二模]意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列的各项除以3的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 022项的和为________．
16．[2023·北京质检]已知数列{an}满足21·a1＋22·a2＋23·a3＋…＋2n·an＝(n－1)·2n＋1＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
专练29 数列的概念与简单表示法
1．B A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.
2．B ∵an＋1－an＝ eq \f(n,n＋2)－ eq \f(n－1,n＋1)
＝ eq \f(n（n＋1）－（n－1）（n＋2）,（n＋1）（n＋2）)＝ eq \f(2,（n＋1）（n＋2）)，又n∈N*，
∴ eq \f(2,（n＋1）（n＋2）)＞0，
即：an＋1－an＞0，∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．
3．C 数列可化为 eq \r(1)， eq \r(3×1＋1)， eq \r(3×2＋1)， eq \r(3×3＋1)， eq \r(3×4＋1)，…，
∴an＝ eq \r(3（n－1）＋1)＝ eq \r(3n－2)，
由 eq \r(3n－2)＝2 eq \r(19)＝ eq \r(76)，得n＝26.
4．C 当n＝1时，a2＝1＋3＝4；当n＝2时，a3＝2×4＋1＝9；当n＝3时，a4＝9＋3＝12；当n＝4时，a5＝2×12＋1＝25；当n＝5时，a6＝25＋3＝28.故选C.
5．A 由题意得an＋1－an＝－2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋2n2－λn＝－4n－2＋λ＜0恒成立，∴－4－2＋λ＜0，∴λ＜6.
6．B 因为Sn＝n2＋4n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3.经检验，当n＝1时不符合，所以an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6，n＝1，,2n＋3，n≥2，))所以a1＋a3＋a5＝28.
7．D 由an＋1＝Sn＋1，得an＝Sn－1＋1(n≥2)，
∴an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，
∴ eq \f(an＋1,an)＝2(n≥2)，又a2＝S1＋1＝3，a1＝2，
∴an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,3×2n－2，n≥2，))
∴Sn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,3×2n－1－1，n≥2，))
∴S5＝3×25－1－1＝47.
8．A 由an＋1＝an＋ln (1＋ eq \f(1,n))得
an＋1－an＝ln eq \f(n＋1,n)＝ln (n＋1)－ln n，
∴当n≥2时，a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，…，an－an－1＝ln n－ln (n－1)，
∴an－a1＝ln n，∴an＝ln n＋a1＝2＋ln n，
又当n＝1时，a1＝2＝2＋ln 1符合上式．
∴an＝2＋ln n．
9．A 因为对任意的n∈N*都有an＜an＋1成立，所以数列是递增数列，因此 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＜a，,6－a＞0，,a＜（6－a）×4－a，))解得1＜a＜4.故选A.
10．1 326
解析：a1＋a2＋a3＋…＋a51＝12－22＋32－42＋…－502＋512＝1＋(3－2)(3＋2)＋(5－4)(5＋4)＋…＋(51－50)(51＋50)＝1＋2＋3＋4＋5＋…＋50＋51＝ eq \f(51×（1＋51）,2)＝1 326.
11. eq \f(n2＋n,2)
解析：由an＋1－an＝n＋1，∴当n≥2时，a2－a1＝1＋1＝2，
a3－a2＝2＋1＝3，a4－a3＝3＋1＝4，…，an－an－1＝n－1＋1＝n，
∵an－a1＝ eq \f(（2＋n）（n－1）,2)，∴an＝ eq \f(n2＋n,2)(n≥2)，
又当n＝1时a1＝1也适合上式，∴an＝ eq \f(n2＋n,2).
12．an＝2n－1
解析：由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴ eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2，∴{an＋1}是以2为首项2为公比的等比数列，
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n，
∴an＝2n－1
13．B 由题意得：a2＝1－ eq \f(1,a1)＝5，a3＝1－ eq \f(1,a2)＝ eq \f(4,5)，a4＝1－ eq \f(1,a3)＝－ eq \f(1,4)，则数列{an}的周期为3，则a2022＝a674×3＝a3＝ eq \f(4,5).
14．C 将数列分组为( eq \f(1,1))，( eq \f(2,1)， eq \f(1,2))，( eq \f(3,1)， eq \f(2,2)， eq \f(1,3))，( eq \f(4,1)， eq \f(3,2)， eq \f(2,3)， eq \f(1,4))，…，
设满足n≥20的an＝5首次出现在第m组的第x个数的位置上，
则 eq \f(m＋1－x,x)＝5，x＝ eq \f(m＋1,6)，x，m∈N ，
此时数列共有项数为1＋2＋3＋…＋(m－1)＋x＝ eq \f(（m－1）m,2)＋x≥20 ，
即得 eq \f(（m－1）m,2)＋ eq \f(m＋1,6)≥20，解得m≥ eq \f(1＋\r(356),3) 由于m∈N ，
而 eq \f(19,3)≤ eq \f(1＋\r(356),3)≤ eq \f(20,3)，故m≥7 ，
又x＝ eq \f(m＋1,6)∈N，故符合条件的m的最小值为11，
则满足an＝5且n≥20的n的最小值为 eq \f(（m－1）m,2)＋x＝ eq \f(（11－1）×11,2)＋ eq \f(11＋1,6)＝57 .
15．2 276
解析：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以3的余数，
可得{an}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，
所以{an}是周期为8的周期数列，一个周期中的8项和为9，
因为2 022＝252×8＋6，
所以数列{an}的前2 022项的和为252×9＋8＝2 276.
16．n
解析：∵2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＋2nan＝(n－1)·2n＋1＋2，∴2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝(n－2)·2n＋2(n≥2)，两式相减，得2nan＝n·2n，即an＝n(n≥2)，当n＝1时，a1＝1，适合an＝n，故an＝n(n∈N*).