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统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练31等比数列及其前n项和理
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这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练31等比数列及其前n项和理,共5页。
[基础强化]
一、选择题
1.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若S6=9S3,S5=62,则a1=( )
A. eq \r(2) B.2
C. eq \r(5) D.3
2.已知等比数列{an}满足a1= eq \f(1,8),4a2a4=4a3-1,则a2=( )
A.± eq \f(1,4)B. eq \f(1,4)
C.± eq \f(1,16) D. eq \f(1,16)
3.[2023·江西省赣州市期末]已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1·a6=9,则lg3a1+lg3a2+…+lg3a6=( )
A.6 B.9
C.27 D.81
4.[2023·江西省南昌市模拟]数列{an}中,a1=2,am+n=aman,则a4=( )
A.8 B.16
C.12 D.24
5.[2023·珠海模拟]在等比数列{an}中,a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) =a9且a8>a9,则使得an- eq \f(1,a1)>0的自然数n的最大值为( )
A.10 B.9
C.8 D.7
6.已知等比数列{an}的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=- eq \f(8,9),则当Tn取得最大值时,n的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
7.[2023·江西省赣州市一模]等比数列{an}满足a8+a10= eq \f(1,2),a11+a13=1,则a20+a22=( )
A.8 B.4
C.-4 D.-8
8.[2022·全国乙卷(理),8] 已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=( )
A.14 B.12
C.6 D. 3
9.[2023·陕西省西安中学三模]在等比数列{an}中,a7,a11是方程x2+5x+2=0的两根,则 eq \f(a3·a9·a15,a5·a13)的值为( )
A.- eq \f(2+\r(2),2) B.- eq \r(2)
C. eq \r(2) D.- eq \r(2)或 eq \r(2)
二、填空题
10.[2023·江西省南昌市月考]若等比数列{an}的前n项的和为Sn,且满足S2=3,S3-S1=6,则a6=________.
11.[2023·全国乙卷(理)]已知 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=________.
12.[2023·吉林省质量监测(三)]已知数列{an}是首项为3,公比为q的等比数列,Sn是其前n项的和,若a3a4+a5=0,则q=________;S3=________.
[能力提升]
13.[2023·北京模拟]《九章算术》中有述:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺,蒲生日自半,莞生日自倍.意思是:“今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时,需要经过的天数是(结果精确到0.1,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)( )
A.2.9天 B.3.9天
C.4.9天 D.5.9天
14.[2023·浙江模拟]设{an}为等比数列,Sn和Tn分别为{an}的前n项和与前n项积,则下列选项错误的是( )
A.若S2 023≥S2 022,则{Sn}不一定是递增数列
B.若T2 024≥T2 023,则{Tn}不一定是递增数列
C.若{Sn}为递增数列,则可能存在a2 022a2 021一定成立
15.[2023·上海模拟]若数列{an}满足 eq \f(1,an+1)- eq \f(3,an)=0,则称{an}为“追梦数列”.已知数列{ eq \f(1,bn+1)}为“追梦数列”,且b1=2,则数列{bn}的通项公式bn=________.
16.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.
专练31 等比数列及其前n项和
1.B 由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1(1-q6),1-q)=9×\f(a1(1-q3),1-q),,\f(a1(1-q5),1-q)=62,))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q3=8,,\f(a1(1-q5),1-q)=62,))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q=2,,a1=2,))选B.
2.A 因为4a2a4=4a3-1,所以4a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) q4=4a1q2-1,又a1= eq \f(1,8),解得q=±2,所以a2=a1·q= eq \f(1,8)×(±2)=± eq \f(1,4).故选A.
3.A ∵等比数列{an}的各项均为正数,且a1·a6=9,
∴lg3a1+lg3a2+…+lg3a6=lg3(a1·a2·…·a6)=lg3(a1·a6)3=lg393=6.
4.B 因为数列{an}中,a1=2,am+n=aman,
所以令m=n=1,则a1+1=a1a1=2×2=4,即a2=4,
令m=n=2,则a2+2=a2a2=4×4=16,即a4=16.
5.C 因为a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) =a9,即(a1q6)2=a1q8,所以a5=1,又因为a8>a9,所以数列{an}为正项单调递减数列,所以01=q0,所以nS2 022,所以{Sn}不是递增数列,故选项A正确;
对于选项B,当{an}为:1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…时,T2 023=-1,T2 024=1,T2 025=-1,
满足T2 024≥T2 023,但{Tn}不是递增数列,故选项B正确;
对于选项C,当{an}为:1, eq \f(1,2), eq \f(1,4), eq \f(1,8),…,时,Sn= eq \f(1-\f(1,2n),1-\f(1,2))=2(1- eq \f(1,2n)),满足{Sn}为递增数列,此时a2 022= eq \f(1,22 021)
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