统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练36基本不等式理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练36基本不等式理，共5页。
[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝2x＋ eq \f(2,2x)的最小值为( )
A．1 B．2
C．2 eq \r(2) D．4
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则 eq \f(1,ab)的最小值为( )
A．2 B． eq \f(1,2)
C．4 D． eq \f(1,4)
3．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋ eq \f(1,lg x)≥2
B．当x∈(0， eq \f(π,2)]时，sin x＋ eq \f(4,sin x)的最小值为4
C．当x>0时， eq \r(x)＋ eq \f(1,\r(x))≥2
D．当00，y>0，x＋2y＝1，则 eq \f(xy,2x＋y)的最大值为( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,5)
C． eq \f(1,9) D． eq \f(1,12)
6．[2023·福建宁德模拟]已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点).若 eq \(AE,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))，则 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为( )
A．4 B．6
C．8 D．9
7．[2023·安徽淮北一模]函数f(x)＝lga(2x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中m(n－1)＞0，则 eq \f(1,m)＋ eq \f(4,n－1)的最小值为( )
A．2 eq \r(3) B．3 eq \r(2)
C．8 D．9
8．[2023·河南安阳模拟]已知a，b为正实数，且a＋b＝6＋ eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)，则a＋b的最小值为( )
A．6 B．8
C．9 D．12
9．[2023·安徽马鞍山三模]若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋3b)，则a＋b的最小值为( )
A．4 eq \r(3) B．4＋2 eq \r(3)
C．6 D. 3＋3 eq \r(3)
二、填空题
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋ eq \f(1,8b)的最小值为________.
11．[2023·江西九江一模]若a，b为正实数，直线2x＋(2a－4)y＋1＝0与直线2bx＋y－2＝0互相垂直，则ab的最大值为________．
12．[2023·浙江绍兴模拟]若直线ax－by－3＝0(a＞0，b＞0)过点(1，－1)，则 eq \r(a＋1)＋ eq \r(b＋2)的最大值为________．
[能力提升]
13．若a，b都是正数，则(1＋ eq \f(b,a))(1＋ eq \f(4a,b))的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
14．若对于任意的x>0，不等式 eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．a≥ eq \f(1,5) B．a> eq \f(1,5)
C．a< eq \f(1,5) D．a≤ eq \f(1,5)
15．[2023·宁夏石嘴山市三模]设复数z＝a＋bi(a，b＞0，a，b∈R)，若复数z(1＋i)对应的点在直线x＋3y－2＝0上， 则 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)的最小值为________．
16．[2023·安徽淮南一模]我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为
y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－80x2＋5 040x，x∈[120，144）,\f(1,2)x2－200x＋80 000，x∈[144，500]))，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少( )
A．120 B．200
C．240 D．400
专练36 基本不等式
1．C 因为2x>0，所以y＝2x＋ eq \f(2,2x)≥2 eq \r(2x·\f(2,2x))＝2 eq \r(2)，当且仅当2x＝ eq \f(2,2x)，即x＝ eq \f(1,2)时取“＝”．故选C.
2．B ∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2 eq \r(2ab)(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴00，∴a＝ eq \f(4b,b－3)，由a>0，得b>3.∴a＋b＝b＋ eq \f(4b,b－3)＝b＋ eq \f(4（b－3）＋12,b－3)＝(b－3)＋ eq \f(12,b－3)＋7≥2 eq \r(12)＋7＝4 eq \r(3)＋7，即a＋b的最小值为7＋4 eq \r(3).
5．C x＋2y＝1⇒y＝ eq \f(1－x,2)，则 eq \f(xy,2x＋y)＝ eq \f(x－x2,3x＋1).
∵x>0，y>0，x＋2y＝1，
∴0