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    统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练53抛物线理

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    这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练53抛物线理,共6页。

    [基础强化]
    一、选择题
    1.抛物线y= eq \f(1,4)x2的焦点到其准线的距离为( )
    A.1 B.2
    C. eq \f(1,2) D. eq \f(1,8)
    2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为( )
    A.(-1,0) B.(1,0)
    C.(0,-1) D.(0,1)
    3.动点M到点F(2,1)的距离和到直线l:3x+4y-10=0的距离相等,则动点M的轨迹为( )
    A.抛物线 B.直线
    C.线段 D.射线
    4.[2023·江西省赣州摸底]已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,以F为圆心,半径为 eq \r(6)的圆与l交于A,B两点,则|AB|=( )
    A. eq \r(2) B.2 eq \r(2)
    C.2 eq \r(3) D.4
    5.[2022·全国乙卷(理),5]设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
    A.2 B.2 eq \r(2)
    C.3 D.3 eq \r(2)
    6.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 eq \f(x2,3p)+ eq \f(y2,p)=1的一个焦点,则p=( )
    A.2 B.3
    C.4 D.8
    7.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则抛物线的方程为( )
    A.y2=8x B.y2=4x
    C.y2=2x D.y2=x
    8.设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))等于( )
    A. eq \f(3,4) B.- eq \f(3,4)
    C.3 D.-3
    9.[2023·江西省景德镇质检]过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,且|AB|= eq \f(16,3).若 eq \(AF,\s\up6(→))=t eq \(FB,\s\up6(→))(其中t>1),则t的值为( )
    A. eq \f(3,2) B. eq \r(3)
    C.2 D.3
    二、填空题
    10.[2023·全国乙卷(理)]已知点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\r(5)))在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为________.
    11.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|PQ|=________.
    12.已知直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为________.
    [能力提升]
    13.[2023·成都石室中学“二诊模拟”]设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2x上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
    A.1 B. eq \f(1,2)
    C. eq \f(\r(2),2) D. eq \f(\r(5),2)
    14.抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则△ABM的周长为( )
    A. eq \f(71,12)+ eq \r(26) B.9+ eq \r(26)
    C.9+ eq \r(10)D. eq \f(83,12)+ eq \r(26)
    15.[2023·江西省赣州期末]抛物线E:y2=4x的焦点为F,点A,B,C在E上,O是坐标原点,若点F为△ABC的重心,△OFA,△OFB,△OFC的面积分别为S1,S2,S3.则S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) +S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) +S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) =________.
    16.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线,与抛物线分别交于A,B两点(点A在x轴上方),则 eq \f(|AF|,|BF|)=________.
    专练53 抛物线
    1.B y= eq \f(1,4)x2可化为x2=4y,则焦点到准线的距离为 eq \f(1,2)×4=2.
    2.B ∵y2=2px的准线为x=- eq \f(p,2),又准线过点(-1,1),∴- eq \f(p,2)=-1,∴p=2,故其焦点坐标为(1,0).
    3.B ∵F(2,1)在直线l:3x+4y-10=0上,∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线.
    4.B 因为y2=4x,所以焦点F(1,0)到准线l:x=-1的距离为2,又|AF|= eq \r(6),所以|AB|=2 eq \r((\r(6))2-22)=2 eq \r(2).
    5.B 由已知条件,易知抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.又B(3,0),则|AF|=|BF|=2.不妨设点A在第一象限,则A(x0,2 eq \r(x0)).根据抛物线的定义可知x0-(-1)=2,所以x0=1,所以A(1,2),所以|AB|= eq \r((1-3)2+(2-0)2)=2 eq \r(2).故选B.
    6.D 由题意,知抛物线的焦点坐标为( eq \f(p,2),0),椭圆的焦点坐标为(± eq \r(2p),0),所以 eq \f(p,2)= eq \r(2p),解得p=8,故选D.
    7.B
    如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D,设准线与x轴交于点G,设|BF|=a,则由已知得|BC|=2a,由定义得|BD|=a,故∠BCD=30°,在Rt△ACE中,
    ∵|AF|=4,|AC|=4+3a,
    ∴2|AE|=|AC|,∴4+3a=8,从而得a= eq \f(4,3),∵AE∥FG,∴ eq \f(FG,AE)= eq \f(CF,AC),即 eq \f(p,4)= eq \f(4,8),得p=2.∴抛物线方程为y2=4x.故选B.
    8.B 当AB与x轴垂直时,A( eq \f(1,2),1),B( eq \f(1,2),-1), eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))= eq \f(1,2)× eq \f(1,2)+1×(-1)=- eq \f(3,4);
    当AB与x轴不垂直时,
    设l:y=k(x- eq \f(1,2)),
    由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=k(x-\f(1,2)),,y2=2x,))得k2x2-(k2+2)x+ eq \f(k2,4)=0
    设A(x1,y1),B(x2,y2),
    由韦达定理得x1+x2= eq \f(k2+2,k2),x1x2= eq \f(1,4),
    ∴ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))=x1x2+y1y2=
    x1x2+k2(x1- eq \f(1,2))(x2- eq \f(1,2))
    =(1+k2)x1x2- eq \f(1,2)k2(x1+x2)+ eq \f(k2,4)=- eq \f(3,4).
    9.D 抛物线y2=4x的焦点F(1,0),依题意,直线AB不垂直于坐标轴,设直线AB:y=k(x-1),
    由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=k(x-1),y2=4x)),消去y并整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,而k≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
    则有x1x2=1,又|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1= eq \f(16,3),即x1+x2= eq \f(10,3),
    因 eq \(AF,\s\up6(→))=t eq \(FB,\s\up6(→)),且t>1,即|AF|>|BF|,则有x1>x2,解得x1=3,x2= eq \f(1,3),又(1-x1,-y1)=t(x2-1,y2),于是得1-x1=t(x2-1),t= eq \f(x1-1,1-x2)= eq \f(3-1,1-\f(1,3))=3,所以t 值为3.
    10. eq \f(9,4)
    解析:将点A的坐标代入抛物线方程,得5=2p,于是y2=5x,则抛物线的准线方程为x=- eq \f(5,4),所以A到准线的距离为1- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(5,4)))= eq \f(9,4).
    11.8
    解析:|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=6+2=8.
    12.0或1
    解析:由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=kx+2,,y2=8x,))得k2x2+(4k-8)x+4=0,
    若k=0,满足题意;若k≠0,则Δ=(4k-8)2-4×4k2=0,得k=1.综上得k=0或k=1.
    13.C 因为F( eq \f(1,2),0),设M(x0,y0),显然当y0<0时,kOM<0,当y0>0时,kOM>0,则要想求解直线OM的斜率的最大值,此时y0>0,设P(m,n),因为|PM|=2|MF|,所以 eq \(PM,\s\up6(→))=2 eq \(MF,\s\up6(→)),即(x0-m,y0-n)=2( eq \f(1,2)-x0,-y0),解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m=3x0-1,n=3y0)),由于n2=2m,所以9y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) =2(3x0-1),即 eq \f(3,2)y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) + eq \f(1,3)=x0,由于y0>0,则kOM= eq \f(y0,x0)= eq \f(y0,\f(3,2)y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) +\f(1,3))= eq \f(1,\f(3,2)y0+\f(1,3y0))≤ eq \f(1,2\r( \f(3,2)y0·\f(1,3y0)))= eq \f(\r(2),2),当且仅当 eq \f(3,2)y0= eq \f(1,3y0),即y0= eq \f(\r(2),3)时,等号成立,故直线OM的斜率的最大值为 eq \f(\r(2),2).
    14.B 令y=1,得x= eq \f(1,4),即A( eq \f(1,4),1).
    由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F,设直线AB的方程为y=k(x-1),代入y2=4x.
    消去y,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.则xAxB=1,所以xB= eq \f(1,xA)=4.
    |AB|=xA+xB+p= eq \f(25,4).
    将x=4代入y2=4x得y=±4,故B(4,-4).
    故|MB|= eq \r((4-3)2+(-4-1)2)= eq \r(26).
    故△ABM的周长为|MA|+|MB|+|AB|=(3- eq \f(1,4))+ eq \r(26)+ eq \f(25,4)=9+ eq \r(26).故选B.
    15.3
    解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),所以有y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) =4x1,y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) =4x2,y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) =4x3,抛物线的焦点坐标为F(1,0),△ABC的重心坐标为( eq \f(x1+x2+x3,3), eq \f(y1+y2+y3,3)),由题意可知 eq \f(x1+x2+x3,3)=1,即x1+x2+x3=3,
    S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) +S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) +S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) =( eq \f(1,2)×|OF|·|y1|)2+( eq \f(1,2)×|OF|·|y2|)2+( eq \f(1,2)×|OF|·|y3|)2
    = eq \f(1,4)(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) +y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) +y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) )=x1+x2+x3,
    所以S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) +S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) +S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) =x1+x2+x3=3.
    16.3
    解析:
    如图所示,由题意得准线l:x=- eq \f(p,2).作AC⊥l于点C,BD⊥l于点D,BH⊥AC于点H,则|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,|AH|=|AC|-|BD|=|AF|-|BF|,因为在Rt△AHB中,∠HAB=60°,所以cs 60°= eq \f(|AH|,|AB|)= eq \f(|AF|-|BF|,|AF|+|BF|),
    即 eq \f(1,2)(|AF|+|BF|)=|AF|-|BF|,得 eq \f(|AF|,|BF|)=3.
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