统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练62古典概型几何概型和条件概率理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练62古典概型几何概型和条件概率理，共5页。
[基础强化]
一、选择题
1．[2023·全国乙卷(理)]设O为平面坐标系的坐标原点，在区域 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))))1≤x2＋y2≤4))内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 eq \f(π,4)的概率为( )
A． eq \f(1,8) B． eq \f(1,6) C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,2)
2．[2023·安徽省皖北协作区联考]在区间(0，2]上随机取一个数，则使事件“lg eq \s\d9(\f(1,2))(3x－2)≥1”发生的概率为( )
A． eq \f(1,12) B． eq \f(1,6) C． eq \f(5,6) D． eq \f(5,12)
3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现；红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A． eq \f(7,10) B． eq \f(5,8) C． eq \f(3,8) D． eq \f(3,10)
4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A． eq \f(1,8) B． eq \f(3,8) C． eq \f(5,8) D． eq \f(7,8)
5．[2021·全国甲卷]将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(2,5) C． eq \f(2,3) D． eq \f(4,5)
6．[2023·内蒙古包头模拟]将4个A和2个B随机排成一行，则2个B相邻且不排在两端的概率为( )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(2,5) C． eq \f(1,3) D． eq \f(1,5)
7．[2023·江西省景德镇质检]英国数学家贝叶斯(1701～1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B， eq \x\t(A)(A的对立事件)存在如下关系：P(B)＝P(B|A)·P(A)＋P(B| eq \x\t(A))·P( eq \x\t(A)).若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为( )
A．0.01 B．0.009 9
C．0.108 9 D．0.1
8．俄罗斯某电视台记者，在莫斯科大学随机采访了7名大学生，其中有3名同学会说汉语，从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(2,3) C． eq \f(1,5) D． eq \f(1,7)
9．[2023·全国甲卷(理)]某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
二、填空题
10．[2022·全国乙卷(理)，13]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
11．[2022·全国甲卷(理)，15]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
12．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
[能力提升]
13．[2023·西安工业大学附中模拟]因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是( )
A． eq \f(3,10) B． eq \f(1,3) C． eq \f(11,30) D． eq \f(2,5)
14．[2023·山西省临汾二模]第24届冬奥会开幕式于2022年2月4日在北京举行．本届冬奥会开幕式上的“大雪花”融合了中国诗词、中国结和剪纸技艺等中国传统文化元素，很好地将奥林匹克精神和中国人民的友谊传递到世界各个角落，获得了世界人民的普遍赞誉．为弘扬中国优秀传统文化，某艺术中心将举办一次以“雪花”为主题的剪纸比赛．要求参赛选手完成规定作品和创意设计作品各2幅，若选手共有不少于3幅作品入选，则该选手将获得“冰雪之韵”纪念品．某选手完成了规定作品和创意设计作品各6幅，指导教师评定其中规定作品4幅和创意设计作品3幅符合入选标准，现从这12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅，则指导教师预测该选手获得“冰雪之韵”纪念品的概率是( )
A． eq \f(8,15) B． eq \f(16,75) C． eq \f(26,75) D． eq \f(32,75)
15．[2023·江西省南昌第十中学月考]设不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3，,0≤y≤1))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是( )
A． eq \f(3\r(3)＋2π,18) B． eq \f(π－3,6)
C． eq \f(\r(3)＋3π,12) D． eq \f(π,4)
16．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
专练62 古典概型、几何概型和条件概率
1．A
如图所示，题中所给区域为一圆环形区域，其面积为4π－π＝3π.由题意，知A点应在图中的BCDE区域内(包含边界)，其中∠BOx＝ eq \f(π,4)，该部分区域的面积为 eq \f(1,2)× eq \f(π,4)×22－ eq \f(1,2)× eq \f(π,4)×12＝ eq \f(3π,8)，故所求概率为 eq \f(\f(3π,8),3π)＝ eq \f(1,8)，故选A.
2．A 由lg eq \s\d9(\f(1,2))(3x－2)≥1可得0＜3x－2≤ eq \f(1,2)，即 eq \f(2,3)＜x≤ eq \f(5,6)，所以事件“lg eq \s\d9(\f(1,2))(3x－2)≥1”发生的概率为P＝ eq \f(\f(5,6)－\f(2,3),2)＝ eq \f(1,12).
3．B 行人在红灯亮起的25秒内到达路口，即满足至少需要15秒才出现绿灯，∴所求事件的概率P＝ eq \f(25,40)＝ eq \f(5,8).
4．D 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种不同的情形，其中4位同学都选周六有1种不同的情形，都选周日有1种不同的情形，∴所求事件的概率P＝1－ eq \f(2,24)＝1－ eq \f(1,8)＝ eq \f(7,8).
5．C 解法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素) 4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将4个1和2个0随机排成一行有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) 种排法，将1A，1B，1C，1D排成一行有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种排法，再将0A，0B插空有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种排法，所以2个0不相邻的概率P＝ eq \f(A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ,A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) )＝ eq \f(2,3).
解法二(含有相同元素的排列) 将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) 种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有Ceq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5))种排法．所以2个0不相邻的概率P＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝ eq \f(2,3).
6．D 由4个A不区分顺序、2个B不区分顺序，可得总情况有 eq \f(A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ,A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝15种，先排4个A有1种排法，在形成的3个中间的空中插入B即可，故2个B相邻且不排在两端的情况有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝3种，故概率为 eq \f(3,15)＝ eq \f(1,5).
7．C 设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件 eq \x\t(A)，则P(B|A)＝0.99，P(A)＝0.01，P(B| eq \x\t(A))＝0.1，P( eq \x\t(A))＝0.99，故所求概率P(B)＝0.99×0.01＋0.1×0.99＝0.108 9.
8．D 从7名大学生中任选2人共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝21种不同的方法，其中2人都会说汉语的有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝3种不同的情形，∴所求事件的概率P＝ eq \f(3,21)＝ eq \f(1,7).
9．A
方法一 如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为 eq \f(B,B＋C)＝ eq \f(0.4,0.5)＝0.8，故选A.
方法二 令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）)＝ eq \f(0.4,0.5)＝0.8，故选A.
10. eq \f(3,10)
解析：从5名同学中随机选3名参加社区服务工作，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝10(种)选法，甲、乙都入选有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝3(种)选法．根据古典概型的概率计算公式，甲、乙都入选的概率p＝ eq \f(3,10).
11. eq \f(6,35)
解析：从正方体的8个顶点中任选4个，所有的取法有C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ＝70(种)，4个点共面的取法共有12种(表面有6个四边形，对角线可构成6个长方形，所以共有12种)，所以4个点在同一个平面的概率为 eq \f(12,70)＝ eq \f(6,35).
12．0.98
解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 eq \f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.
13．C 5个快递送到5个地方有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝120种方法，
全送错的方法数：
先分步：第一步快递A送错有4种方法，第二步考虑A所送位置对应的快递，假设A送到丙地，第二步考虑快递C，对C分类，第一类C送到甲地，则剩下B，D，E要均送错有2种可能(丁戊乙，戊乙丁)，第二类C送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的B，D，E只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能(甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲)，∴总的方法数为4×(1×2＋3×3)＝44，所求概率为P＝ eq \f(44,120)＝ eq \f(11,30).
14．D 从12幅作品中抽取规定作品和创意设计作品各2幅，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝225种选法；
若选手获得“冰雪之韵”纪念品，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝96种选法；
∴所求概率P＝ eq \f(96,225)＝ eq \f(32,75).
15．A 如图区域D： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3，,0≤y≤1))
表示矩形，面积为3，到坐标原点距离小于2的点，位于以原点O为圆心，半径为2的圆内，即x2＋y2＝4与区域D： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3，,0≤y≤1))的公共部分(如图阴影部分所示)，
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝1，,x2＋y2＝4))得C( eq \r(3)，1)，连接OC，
所以∠AOC＝30°，OC＝OA＝2，OB＝1，
所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝ eq \f(1,2)× eq \f(π,6)×22＝ eq \f(π,3)，
因为S△BOC＝ eq \f(1,2)×BO×BC＝ eq \f(1,2)×1× eq \r(3)＝ eq \f(\r(3),2)，
所以S阴影＝S扇形AOC＋S△BOC＝ eq \f(π,3)＋ eq \f(\r(3),2)，
所以此点到坐标原点的距离小于2的概率为 eq \f(\f(π,3)＋\f(\r(3),2),3)＝ eq \f(3\r(3)＋2π,18).
16．0.18
解析：记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.