统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练67高考大题专练七坐标系与参数方程理

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(1)求α；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．
2．[2022·全国甲卷(理)，22]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2＋t,6),y＝\r(t))) (t为参数)，曲线C2的参数方程为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2＋s,6),y＝－\r(s))) (s为参数).
(1)写出C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cs θ－sin θ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
3．[2023·安阳模拟]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝sin θ)) (θ为参数)，直线l过点M(1，0)且倾斜角为α.
(1)求出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且 eq \f(|MA|·|MB|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(|MA|－|MB|))) ＝ eq \f(\r(3),3) ，求cs α的值．
4.[2023·全国乙卷(理)]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ( eq \f(π,4) ≤θ≤ eq \f(π,2) )，曲线C2： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs α,y＝2sin α)) (α为参数， eq \f(π,2) <α<π).
(1)写出C1的直角坐标方程；
(2)若直线y＝x＋m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m的取值范围．
5．[2023·石嘴山模拟]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs α，,y＝sin α)) (α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上且满足|OA|·|OB|＝8，点B的轨迹为C2.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)设点M的极坐标为(2， eq \f(3π,2) )，求△ABM面积的最小值．
6．[2022·全国乙卷(理)，22]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs 2t，,y＝2sin t))) (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin (θ＋ eq \f(π,3) )＋m＝0.
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
专练67 高考大题专练(七) 坐标系与参数方程
1．解析：(1)记点A，B对应的参数分别为t1，t2.令x＝0，得t2＝－ eq \f(2,cs α) ，
令y＝0，得t1＝－ eq \f(1,sin α) ，
则|PA|·|PB|＝|－ eq \f(2,cs α) ||－ eq \f(1,sin α) |＝| eq \f(2,sin αcs α) |＝| eq \f(4,sin 2α) |＝4，
所以sin 2α＝±1，由题可知α∈[0，π)，所以α＝ eq \f(π,4) 或α＝ eq \f(3π,4) .
因为直线l与x轴正半轴、y轴正半轴相交，所以α＝ eq \f(3π,4) .
(2)根据(1)得直线l的参数方程为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t)) (t为参数)，
转化为普通方程为x＋y－3＝0，
因为x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
所以l的极坐标方程为ρcs θ＋ρsin θ－3＝0.
2．解析：(1)C1的参数方程为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2＋t,6)，,y＝\r(t)．))
消去参数t，得C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0).
(2)曲线C3的极坐标方程为2cs θ－sin θ＝0，
两边同乘ρ，得2ρcs θ－ρsin θ＝0，
则C3的直角坐标方程为y＝2x.
联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝6x－2（y≥0），,y＝2x，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝1)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
将曲线C2的参数方程中的参数s消去，得y2＝－6x－2(y≤0).
联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝－6x－2（y≤0），,y＝2x，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝－1)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2.))
所以C3与C1交点的直角坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) 和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2)) ，C3与C2交点的直角坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1)) 和(－1，－2).
3．解析：(1)曲线C的参数方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝sin θ)) (θ为参数)，转换为普通方程为 eq \f(x2,2) ＋y2＝1；直线l过点M(1，0)且倾斜角为α，则参数方程为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋t cs α，,y＝t sin α)) (t为参数).
(2)把直线l的参数方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋t cs α，,y＝t sin α)) (t为参数)代入 eq \f(x2,2) ＋y2＝1.
得到(1＋sin2α)t2＋2t csα－1＝0，
所以t1＋t2＝－ eq \f(2cs α,1＋sin2α) ，
t1t2＝－ eq \f(1,1＋sin2α) (t1和t2分别为A和B对应的参数)，
t1t2<0，则t1，t2异号，||MA|－|MB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|，
由 eq \f(|MA|·|MB|,||MA|－|MB||) ＝ eq \f(\r(3),3) ，
整理得|t1＋t2|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(2csα,1＋sin2α))) ＝ eq \r(3) |t1t2|＝ eq \f(\r(3),1＋sin2α) ，
解得csα＝± eq \f(\r(3),2) .
4．解析：(1)C1：ρ＝2sin θ，方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝2ρsin θ，
将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入，得x2＋y2＝2y，
又 eq \f(π,4) ≤θ≤ eq \f(π,2) ，所以C1的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1(0≤x≤1，1≤y≤2).
(2)由C2的参数方程可得C2的普通方程为x2＋y2＝4(－2数形结合可知，若直线y＝x＋m与C1没有公共点，则m<0或m>2；
若直线y＝x＋m与C2没有公共点，可先求相切时的临界情况，即 eq \f(|m|,\r(2)) ＝2，得m＝2 eq \r(2) ，
所以当m≤2或m＞2 eq \r(2) 时，直线y＝x＋m与C2没有公共点．
综上，当m＜0或m＞2 eq \r(2) 时，直线y＝x＋m与C1和C2均没有公共点，
故m的取值范围为(－∞，0)∪(2 eq \r(2) ，＋∞).
5．解析：(1)由曲线C1的参数方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs α，,y＝sin α)) (α为参数)，
消去参数，可得普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，
又由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
代入可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cs θ，
设点B的极坐标为(ρ，θ)，A点的极坐标为(ρ0，θ0)，
则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cs θ0，θ＝θ0，
因为|OA|·|OB|＝8，
所以ρ·ρ0＝8，
即 eq \f(8,ρ) ＝2cs θ，即ρcs θ＝4，
所以曲线C2的极坐标方程为ρcs θ＝4.
(2)由题意，可得|OM|＝2，
则S△ABM＝S△OBM－S△OAM＝ eq \f(1,2) |OM|·|xB－xA|＝ eq \f(1,2) ×2×|4－2cs2θ|＝|4－2cs2θ|，
即S△ABM＝4－2cs2θ，
当cs2θ＝1时，可得S△ABM的最小值为2.
6．解析：(1)由ρsin(θ＋ eq \f(π,3) )＋m＝0，
得 eq \f(1,2) ρsin θ＋ eq \f(\r(3),2) ρcs θ＋m＝0.
∵ρcs θ＝x，ρsin θ＝y，
∴l的直角坐标方程为 eq \f(\r(3),2) x＋ eq \f(1,2) y＋m＝0.
(2)(方法一)把x＝ eq \r(3) cs 2t，y＝2sin t代入 eq \f(\r(3),2) x＋ eq \f(1,2) y＋m＝0，得m＝－ eq \f(3,2) cs 2t－sin t＝－ eq \f(3,2) ＋3sin2t－sint＝3(sin t－ eq \f(1,6) )2－ eq \f(19,12) .
∵sin t∈[－1，1]，
∴当sin t＝ eq \f(1,6) 时，m取得最小值－ eq \f(19,12) ；
当sin t＝－1时，m取得最大值 eq \f(5,2) .
∴m的取值范围是[－ eq \f(19,12) ， eq \f(5,2) ].
(方法二)x＝ eq \r(3) cs 2t＝ eq \r(3) (1－2sin2t)＝ eq \r(3) [1－2( eq \f(y,2) )2]＝ eq \r(3) － eq \f(\r(3),2) y2.
∵y＝2sint，sin t∈[－1，1]，∴y∈[－2，2].
联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)－\f(\r(3),2)y2，,\r(3)x＋y＋2m＝0.))
消去x并整理，得3y2－2y－4m－6＝0，
即4m＝3y2－2y－6＝3(y－ eq \f(1,3) )2－ eq \f(19,3) (－2≤y≤2).
∴－ eq \f(19,3) ≤4m≤10，∴－ eq \f(19,12) ≤m≤ eq \f(5,2) .
∴m的取值范围是[－ eq \f(19,12) ， eq \f(5,2) ].