初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形完美版课件ppt

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等边三角形的性质：1、等边三角形的三条边相等，三个角相等，都为60°；2、等边三角形满足等边对等角；3、等边三角形各边上的高、中线和所对角的平分线相互重合；4、等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴.
1、了解等边三角形的判定方法.2、探索并掌握等边三角形判定的过程，并用以解决实际问题.
思考1：等腰三角形的判定？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.所以这个三角形是等腰三角形.
那么三角形的三个内角都相等是否可以判定它是等边三角形，你能证明这个结论吗？
如图：已知在△ABC中，∠A=∠B=∠C.证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠A=∠B, ∴BC=AC. ∵∠B=∠C, ∴AC=AB. ∵BC=AC，AC=AB, ∴AB=BC=AC，则△ABC是等边三角形.
判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠A=∠B=∠C, ∴△ABC是等边三角形.
思考2：等腰三角形有两边相等，能否添加什么条件使得等腰三角形成为等边三角形呢？
结论：1、等腰三角形的腰和底边相等； 2、有一个角是60°的等腰三角形；
结论1其实就是三边相等的三角形，也即是等边三角形，那你能证明结论2吗？
如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC, ∴∠C=∠B . ∵∠A=60°, ∴∠B+∠C=180°-∠A=120° . ∴∠A=∠B=∠C=60°. ∴△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC，∠B=60° , ∴∠C=∠B=60° . ∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60° , ∴∠A=∠B=∠C. ∴△ABC是等边三角形.
如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠B=60°.证明：△ABC是等边三角形.
判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（1）在等腰三角形中，只要有一个角是60° ，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法的选用：若已知三边关系，一般选用定义判定；若已知三角关系，一般选用判定方法1；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定方法2.
例题：如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C. ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴∠A=∠ADE=∠AED. ∴△ADE是等边三角形.
如图，等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？
解：图中与BD相等的线段有CD，CF，BE，DE，FD，AF，AE.容易证明△BDE，△CDF是等边三角形，容易漏掉证明AE，AF与BD相等.
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°∴AD为BC的中线，AD为∠BAC的平分线.∴∠BAC=∠B=∠C=60°，BD=CD，∠BAD=∠CAD=30°.∵∠B=∠BDE=60°， ∴△BDE是等边三角形，∴BD=BE=DE.同理，△CDF是等边三角形，∴CD=CF=DF.∵AD是BC上的高， ∴∠ADB=90°.∵∠BDE=60°， ∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=30°.∵∠ADE=∠BAD=30°， ∴AE=DE.同理：AF=DF， ∴BD=CD=CF=BE=DE=FD=AF=AE.
已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长为多少？
解：∵等腰三角形的一个内角为60°， ∴该等腰三角形是等边三角形， ∵该三角形的一边长为8， ∴它的周长为8+8+8=24.
下列条件中不能得到等边三角形的是（ ）A.有一个角是60°的等腰三角形B.三边相等的三角形C.有两个内角是60°的三角形D.有两个外角相等的等腰三角形
D选项中若是顶角和底角的外角相等，则说明顶角和底角相等，此时等腰三角形的三个内角相等，可以得到等边三角形；若是两个底角的外角相等，则不能得到等边三角形.
如图，AC和BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60〫，且AB//CD.求证：△OCD是等边三角形.
证明：∵∠A=60°，OA=OB，∴∠B=∠A=60°.∵AB//CD， ∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°.∴∠COD=60°.∴∠C=∠D=∠COD=60°，∴△OCD是等边三角形.
如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线.（1）若∠B=60°，求∠C的度数；（2）求证：AD是∠EAC的平分线.
分析：（1）△ABD中∠BDA=∠BAD，∠B=60°，则△ABD是等边三角形.由CD=AB，∠BDA=60°，可得∠C=30°.（2）证明AD是∠EAC的平分线也即是证明∠EAD=∠CAD，一般选用三角形全等或者等边对等角.
解：（1）∵∠BDA=∠BAD，∠B=60°，∴∠BDA=∠BAD= （180°-60°）=60°.∴△ABD是等边三角形，AB=AD.∵CD=AB, ∴CD=AD，∠DAC=∠C.∵∠BDA=∠DAC+∠C=60°，∴∠C=30°.