第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册单元复习（解析版） 试卷

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【单元复习】第1章 一元二次方程
知识精讲
第1章 一元二次方程
一、一元二次方程的概念
1、一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
2、一元二次方程的一般形式
，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b0，
∴方程4x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
3．（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）一元二次方程的一个根是，则另一个根是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根为，
根据题意得：，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
4．（2022·浙江湖州·八年级期末）受国际原油涨价影响，今年国内成品油价格大幅上涨．三月份加“95号”汽油的价格为9.16元/升，五月份加“95号”汽油的价格为9.55元/升，设四月份和五月份的加“95号”汽油价格的月平均增长率为，则可列方程（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，找出等量关系列出方程即可，．
【详解】解； 设四月份和五月份的加“95号”汽油价格的月平均增长率为．
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题的关键．
二、填空题（共4小题）
5．（2022·全国·九年级专题练习）一元二次方程的一般形式及要求
①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成_______的形式，叫做一元二次方程的一般形式；
②一元二次方程的一般形式的要求：
等式左边为关于x的_______，等式右边_______；
【答案】          二次整式     等于0
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成的形式，叫做一元二次方程的一般形式；
②一元二次方程的一般形式的要求：等式左边为关于x的二次整式，等式右边等于0；
故答案为：，二次整式，等于0
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据判别式的意义得到Δ=(-4)2-4×1×(-2m+5)＞0，然后解不等式求出m的取值即可．
【详解】解：根据题意得Δ=(-4)2-4×1×(-2m+5)＞0，
解得m>，
所以实数m的取值范围是m>．
故答案为：m>．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2022·山东潍坊·九年级期末）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______．
【答案】185
【分析】根据m，n是一元二次方程的两个实数根，以及根与系数的关系可得，将代数式变形代入求解即可．
【详解】 m，n是一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
故答案为：185．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，即若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．（2022·全国·九年级期末）2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有______支球队．
【答案】4
【分析】设中国女足所在的A组共有x支球队，则每支球队需要比赛的场数为场，根据×球队数×每支球队需要比赛的场数=6，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设中国女足所在的A组共有x支球队，根据题意得：
，
解得：，（舍去）
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
三、简答题（共3小题）
9．（2022·天津·九年级期中）解方程：
(1)2(x-3)2-8＝0
(2)x(5x+4)＝5x
(3)x2 +12x+27=0
(4)(x＋1)2-3(x＋1)+2＝0．
【答案】(1)x1=5，x2=1；(2)x1=0，x2=；(3)x1=-3，x2=-9；(4)x1=0，x2=1
【分析】（1）移项，系数化为1，利用直接开平方法进行计算即可得到答案；
（2）先把方程整理成一元二次方程的标准形式，再进行因式分解即可得到答案；
（3）用因式分解法进行计算即可得到答案；
（4）把x+1看成一个整体，利用因式分解法进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：移项得，2(x-3)2＝8，
系数化为1得，(x-3)2=4，
开方得，x-3=2或x-3=-2，
解得x1=5，x2=1
（2）解：整理方程得，5x2-x＝0，
因式分解得，x(5x-1)＝0，
解得x1=0，x2=
（3）解：因式分解得，(x+3) (x+9)＝0，
解得x1=-3，x2=-9
（4）解：因式分解得，(x+1-1) (x+1-2)＝0，
即， x (x-1)＝0，
解得x1=0，x2=1
【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程得形式，选择合适的方法是解题的关键．
10．（2021·全国·九年级单元测试）已和关于x的方程有两个正整数根（n是整数）．的三边a、b、c满足：．
求（1）m的值；（2）的面积．
【答案】（1）2；（2）1或
【分析】（1）先求出方程的两个根，然后根据这两个根都是正整数写出的可能的情况，求出的值．
（2）由（1）得出的的值，然后代入将，进行化简，得出，的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的，的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积．
【详解】解：（1）方程有两个实数根，则，
解方程得，．由题意，得
即
故．
（2）把代入两等式，化简得，，
当时，．
当时，、是方程的两根，而△，
由韦达定理得，，，则、．
①，时，由于
故为直角三角形，且，．
②，时，因，
故不能构成三角形，不合题意，舍去．
③，时，因，故能构成三角形．

综上，的面积为1或．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题解题的关键是分类对，的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状．
11．（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于1的整数，求方程的根．
【答案】（1）k＜3;（2）x1=0和x2=﹣2 .
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根,令△＞0，即可解题,
（2）根据k的取值范围确定k的值,代入原方程即可求解.
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣2）＞0，
即12﹣4k＞0，解得：k＜3．
故k的取值范围为k＜3．
（2）∵k为大于1的整数，且k＜3，
∴k=2．
将k=2代入原方程得：x2+2x=x（x+2）=0，
解得：x1=0，x2=﹣2．
故当k为大于1的整数，方程的根为x1=0和x2=﹣2
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和求解,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.
实战演练
一、选择题（共6小题）
1．（2022·江苏·九年级单元测试）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（       ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解法，求出方程的根，然后根据三角形的三边关系判断是否可以构成三角形，最后计算周长即可。
【详解】解：∵，
即（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故选：B．
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法并明确构成三角形的条件是解题的关键．
2．（2022·四川南充·九年级期末）已知m，n是方程x210x＋1＝0的两根，则代数式m29m＋n的值等于（　　）
A．0 B．＋11 C．9 D．11
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2＝10m1，则m29m＋n可化为m＋n1，再根据根与系数的关系得到m＋n＝10，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是方程x210x＋1＝0的两根，
∴m210m＋1＝0，
∴m2＝10m1，
∴m29m＋n＝10m19m＋n＝m＋n1，
∵m，n是方程x210x＋1＝0的两根，
∴m＋n＝10，
∴m29m＋n＝101＝9．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=，x1x2=．
3．（2022·广西崇左·八年级期中）如图，在长为30m，宽为15m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，要使草坪的面积为406m2，则小路的宽度应为多少（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．
【详解】解：将道路进行平移，剩余的草坪为一个小长方形，
设小路宽为x m，
根据题意，得（30−x）（15−x）＝406．
整理得．
解得，（不合题意，舍去）．
则小路宽为1m，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．
4．（2022·甘肃兰州·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（       ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2−4ac＝0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值．
【详解】∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4ac＝4−4×（−k）＝0，且k≠0；
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
5．（2022·广西河池·中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为(     )
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
二、填空题（共5小题）
7．（2022·山东潍坊·九年级期末）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______．
【答案】185
【分析】根据m，n是一元二次方程的两个实数根，以及根与系数的关系可得，将代数式变形代入求解即可．
【详解】 m，n是一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
故答案为：185．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，即若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．（2022·北京昌平·八年级期末）2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有______支球队．
【答案】4
【分析】设中国女足所在的A组共有x支球队，则每支球队需要比赛的场数为场，根据×球队数×每支球队需要比赛的场数=6，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设中国女足所在的A组共有x支球队，根据题意得：
，
解得：，（舍去）
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
9．（2022·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．

【答案】16
【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．
10．（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．

【答案】
【分析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
11．（2021·广东广州·中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则________（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值范围，再由反比例函数函数值的变化规律得出结论．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴点、是反比例函数上的两个点，
又∵，
∴，
故填：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解．
三、简答题（共6小题）
12．（2022·全国·九年级期末）解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）用公式法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，          
∴；；
（2）解：∵，
∴ (x-3)2-2(x-3)=0，
∴，
∴ (x-3)(x-5)=0，
∴或，
∴，．
13．（2020·北京·九年级期末）关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
【答案】（1）m < ；（2）符合条件的m的值为0，．
【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可得到m的范围；
（2）根据（1）中得到的m取值范围，确定满足条件的m的值，再解方程即可得到结论．
【详解】解：（1）根据题意得，
解得；
（2）∵，
又∵m为符合条件的最大整数
∴m的值为：0，
此时方程变形为x2+x＝0，即
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的具体运用，形如的一元二次方程的根的判别式为：，当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根．
14．（2021·全国·九年级单元测试）已和关于x的方程有两个正整数根（n是整数）．的三边a、b、c满足：．
求（1）m的值；（2）的面积．
【答案】（1）2；（2）1或
【分析】（1）先求出方程的两个根，然后根据这两个根都是正整数写出的可能的情况，求出的值．
（2）由（1）得出的的值，然后代入将，进行化简，得出，的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的，的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积．
【详解】解：（1）方程有两个实数根，则，
解方程得，．由题意，得
即
故．
（2）把代入两等式，化简得，，
当时，．
当时，、是方程的两根，而△，
由韦达定理得，，，则、．
①，时，由于
故为直角三角形，且，．
②，时，因，
故不能构成三角形，不合题意，舍去．
③，时，因，故能构成三角形．

综上，的面积为1或．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题解题的关键是分类对，的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状．
15．（2022·广东广州·中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
【答案】(1)；
(2)T=
【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；
(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解．
【详解】（1）解：T==；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，则T=．
【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
16．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．

(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【答案】(1)2022
(2)9
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1），故答案为：2022；
（2）根据题意有：，整理得：，解得n=9，（负值舍去），故n的值为9．
【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．
17．（2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37

(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件
(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元
(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解；
(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；
(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．
【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，由题意可知： ，解出：，故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，由题意可知：，解出：，设销售利润为元，则，∴是关于m的一次函数，且3＞0，∴随着m的增大而增大，当时，销售利润最大，最大为元，故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，解出：a1=3，a2=7，故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题考察了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．