第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册单元复习 试卷

【单元复习】第1章 一元二次方程

知识精讲

第1章 一元二次方程

一、一元二次方程的概念

1、一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

2、一元二次方程的一般形式

，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式

根的判别式：

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

根与系数的关系的应用：

①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；

②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.

③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于 和 的代数式的值，如

④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。

实用技巧：

（1）解一元二次方程应用题：

它是列一元一次方程解应用题的拓展、解题方法是相同的。其一般步骤为：

1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；

2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致

3．解：解所列方程，求出解来；

4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；

5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。

（2）常见考法：

（1）考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵活，所以一直很吸引命题者。主要考查①根与系数的推导，有关规律的探究②已知两根或一根构造一元二次方程，这类题目一般比较开放；

（2）在一元二次方程和几何问题、函数问题的交汇处出题。（几何问题：主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形、圆等涉及到三角形三边关系、三角形全等、面积计算、体积计算、勾股定理等）；

（3）列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题广泛。（常见的题型是增长率问题，注：平均增长率公式）

（3）用一元二次方程解决问题

一、列一元二次方程解应用题时，我们一般将解题过程归结为“审、设、列、解、检验、答”六步。

(1) “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.

(2) “设”是指设未知数，在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个未知量用字母x表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个未知量用含x的代数式表示出来.

(3) “列”就是指列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程.

(4) “解”是指解方程，即求出未知数的值。

(5) “检验”是指检验方程的解能否保证实际问题有意义.在解实际应用题时，一定要注意检验求得的一元二次方程的根是否与题意相符，不相符的一定要舍去。

考点例析

【考点1】一元二次方程

【例1】（2022·全国·九年级期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为从而可得答案．

【详解】解：∵，

∴

∴方程的一般形式为：

故选A

【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解本题的关键．

【例2】（2022·全国·九年级期中）若关于x的方程(m－3)xm²－7－x＋3＝0是一元二次方程，则m的值是________．

【答案】-3

【分析】根据一元二次方程的定义可知，二次项系数为2，则可以得到m2−7＝2；再根据一元二次方程中二次项系数不等于零，即可确定m的值．

【详解】解：∵该方程为一元二次方程，

∴m2−7＝2，

解得m＝±3；

当m＝3时，m-3＝0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；

∴m＝-3，

故答案为：-3．

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），解题的关键是特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．

【考点2】一元二次方程的解法

【例3】（2022·河南安阳·九年级期末）方程的根为（       ）

A． B． C． D．，

【答案】D

【分析】利用因式分解法，即可解得．

【详解】解：由原方程得：，

解得，，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—因式分解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．

【例4】（2022·山东威海·八年级期中）对于二次三项式，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．

【答案】-9

【分析】先将原式进行配方后即可得出m，n的值，再代入计算即可．

【详解】解：

=

=，

∵，

∴，即当时，二次三项式的最小值为-6，

∴，

∴，

故答案为：-9．

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确进行配方是解答本题的关键．

【考点3】*一元二次方程的根与系数的关系

【例5】（2022·江苏·九年级单元测试）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．

【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，

∴﹣1+α＝﹣1，

∴α＝0，

故选：B．

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．

【例6】（2022·湖南长沙·八年级期末）已知是方程的一个根，则的值是______ ，另一根为______ ．

【答案】     0     0

【分析】设方程的另一个根为a，然后根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．

【详解】解：设方程的另一个根为a，

∵是方程的一个根，

∴，

∴，

∴，

故答案为：0；0．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系式解题的关键．

【考点4】用一元二次方程解决问题

【例7】（2022·江苏·九年级专题练习）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．则口罩日产量的月平均增长率为（     ）

A．8% B．10% C．15% D．20%

【答案】B

【分析】设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意列出方程20000（1＋x）2＝24200，求解即可．

【详解】解：设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：

20000（1＋x）2＝24200，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意舍去），

∴x＝10%．

∴口罩日产量的月平均增长率为10%．

故答案选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．

【例8】（2022·全国·九年级单元测试）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒300元下调至192元，则这种药品平均每次降价的百分率为________．

【答案】20%

【分析】因为该药品经过连续两次降价后由每盒300元调至192元，所以可设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是200（1-x）2，即可列方程求解．

【详解】设平均每次降价的百分率为x，由题意得300×（1-x）2=192，

解得x1=0.2，x2=1.8（不合题意舍去），

答：这种药品平均每次降价率是20%．

故答案为：20%.

【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．

举一反三

一、选择题（共4小题）

1．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程是一元二次方程的是（       ）

A．2x-3=0 B．2x-y=0 C． D．

2．（2022·山东威海·八年级期中）方程4x2﹣2x﹣1=0根的情况为(     )

A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

3．（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）一元二次方程的一个根是，则另一个根是（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·浙江湖州·八年级期末）受国际原油涨价影响，今年国内成品油价格大幅上涨．三月份加“95号”汽油的价格为9.16元/升，五月份加“95号”汽油的价格为9.55元/升，设四月份和五月份的加“95号”汽油价格的月平均增长率为，则可列方程（       ）

A． B．

C． D．

二、填空题（共4小题）

5．（2022·全国·九年级专题练习）一元二次方程的一般形式及要求

①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成_______的形式，叫做一元二次方程的一般形式；

②一元二次方程的一般形式的要求：

等式左边为关于x的_______，等式右边_______；

6．（2022·全国·九年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．

7．（2022·山东潍坊·九年级期末）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______．

8．（2022·全国·九年级期末）2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有______支球队．

三、简答题（共3小题）

9．（2022·天津·九年级期中）解方程：

(1)2(x-3)2-8＝0

(2)x(5x+4)＝5x

(3)x2 +12x+27=0

(4)(x＋1)2-3(x＋1)+2＝0．

10．（2021·全国·九年级单元测试）已和关于x的方程有两个正整数根（n是整数）．的三边a、b、c满足：．

求（1）m的值；（2）的面积．

11．（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为大于1的整数，求方程的根．

实战演练

一、选择题（共6小题）

1．（2022·江苏·九年级单元测试）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（       ）

A．12 B．13 C．12或13 D．15

2．（2022·四川南充·九年级期末）已知m，n是方程x210x＋1＝0的两根，则代数式m29m＋n的值等于（　　）

A．0 B．＋11 C．9 D．11

3．（2022·广西崇左·八年级期中）如图，在长为30m，宽为15m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，要使草坪的面积为406m2，则小路的宽度应为多少（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．4

4．（2022·甘肃兰州·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（       ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

5．（2022·广西河池·中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为(     )

A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50

C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50

6．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题（共5小题）

7．（2022·山东潍坊·九年级期末）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______．

8．（2022·北京昌平·八年级期末）2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有______支球队．

9．（2022·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．

10．（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．

11．（2021·广东广州·中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则________（填“＜”或“＞”或“＝”）．

三、简答题（共6小题）

12．（2022·全国·九年级期末）解方程：

(1)；

(2)

13．（2020·北京·九年级期末）关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的解．

14．（2021·全国·九年级单元测试）已和关于x的方程有两个正整数根（n是整数）．的三边a、b、c满足：．

求（1）m的值；（2）的面积．

15．（2022·广东广州·中考真题）已知T=

(1)化简T；

(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．

16．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．

(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；

(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．

17．（2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）

(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；

(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？