2023年江苏省淮安市涟水县灰墩中学中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年江苏省淮安市涟水县灰墩中学中考三模数学试题（含解析），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省淮安市涟水县灰墩中学中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B． C．0 D．6
2．下列各式计算结果为a5的是（    ）
A． B． C． D．
3．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（    ）

A．220，220 B．210，215 C．210，210 D．220，215
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=2，BC=4，则DF的长为（    ）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
6．如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
7．关于的方程的两根分别是，，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（    ）
A． B． C．2 D．3
8．将一根长的细铁丝折成一个等腰三角形（弯折处长度忽略不计），设腰长为，底边长为，则下列选项中能正确描述y与x函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．

二、填空题
9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
10．分解因式：______．
11．已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是____．
12．某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同．以每10000张奖券为一个开奖单位，设一等奖100名，二等奖300名，三等奖600名，则1张奖券中奖的概率为______．
13．如图，已知直线m//n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（），其中点B在直线n上，若，则∠2的度数为______．

14．若二元一次方程组的解为，则________．
15．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，过点作交轴于点，若的面积为5，则的值为______．
  
16．如图，、分别是的中线和角平分线，于点，，则______．
  

三、解答题
17．计算：
(1)．
(2)．
18．先化简，再求值：，其中．
19．某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不完整）．

（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生4000人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
20．4月9日，2023淮安西游乐园淮安马拉松赛暨大运河马拉松系列赛(淮安站)在淮安举办，15000名跑者共同组成春日淮安“醉美”的一道风景．赛事共有三项：A．“马拉松”、B．“半程马拉松”、C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
  
(1)小明被分配到“健康跑”项目组的概率为______；
(2)请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率．
21．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．
（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；
（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．

22．如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

23．如图，已知正方形，点E是边上的一点，连接．
  
(1)请用尺规作图的方法在线段上求作一点F，使得(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在（1）的条件下，若，则的长为______．
24．如图1，在外取一点P，作直线分别交于B、A两点，先以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点O为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点C，连接．完成下列任务：
  
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，继续作点C关于直线的对称点D，连接，交于点E，连接．
①若，则______；
②若的半径为13，，求的长．
25．平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
（1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？
（2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每周获得最大利润，最大利润是多少？
26．如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一动点，作轴，垂足为，连接．
①如图1，若点在第三象限，且，求点的坐标；
②若点在轴左侧时，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，直接写出点的坐标．
27．【探究发现】
（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为______，位置关系为______．
  
【尝试应用】
（2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交CA的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．
①若．求的长度；
②在射线上取一点G，且，连接，直接写出的最小值．

参考答案：
1．D
【详解】解：根据正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，
可得6＞＞0＞﹣2，
所以这四个数中，最大的数是6．
故答案为：D．
2．B
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项逐项计算即可求解．
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；    
B. ，故该选项符合题意；    
C. ，故该选项不符合题意；    
D. ，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项是解题的关键．
3．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．B
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】解：数据210出现了4次，最多，故众数为210，
共10辆车，排序后位于第5和第6位的数分别为210，220，
故中位数为．
故选：B．
【点睛】本题考查了求一组数据的众数和中位数，正确理解众数和中位数的概念是解题的关键．
5．B
【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE=AB=3，BE=BC=2，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理求出EF=BE=2，计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=2，BC=4，
由勾股定理得：AB==6，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∵D，E分别为CA，CB的中点，
∴DE∥AB，DE=AB=3，BE=BC=2，
∴∠ABF=∠EFB，
∴∠EFB=∠EBF，
∴EF=BE=2，
∴DF=DE-EF=1，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6．A
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，进而即可求解．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
7．C
【分析】将，代入方程，求得，的值，得到二次函数解析式，进而求得点和点的坐标，即可求得答案．
【详解】解：将，代入方程，得

解得

二次函数解析式为．
点坐标为．
将代入二次函数，得
，
解得，．
点坐标为．
的长为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，以及二次函数的图象和性质，牢记一元二次方程及二次函数的有关知识是解题的关键．
8．D
【分析】根据已知列出y与x之间函数关系式，再由三角形三边关系确定x取值范围．
【详解】解：由已知得，
由三角形三边关系得：，
解得：，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题关键是列一次函数解析式和如何确定自变量取值范围．
9．/
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题关键．
10．/
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．18π．
【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】∵圆锥的轴截面是一个边长为6的等边三角形，
∴底面半径＝3，底面周长＝6π，
∴圆锥的侧面积＝×6π×6＝18π．
故答案为：18π．
【点睛】本题考查圆锥的计算，等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积的计算方法为解题关键．
12．
【分析】用一等奖、二等奖、三等奖的数量除以奖券的总张数即可．
【详解】解：∵以每10000张奖券为一个开奖单位，设一等奖100名，二等奖300名，三等奖600名，
∴一张奖券中奖概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13．20°
【分析】如图，过点C作直线l平行于直线m，易得m//n//l，根据平行线的性质可得∠4=∠1=25°，由∠ACB=45°可求出∠3的度数，再由平行线的性质可得∠2的度数．
【详解】如图，过点C作直线l平行于直线m，
∵直线m//n，
∴m//n//l，
∴∠4=∠1=25°，
由题意可得∠ACB=45°，
∴∠3=45°-25°=20°，
∴∠2=∠3=20°，

故答案为：20°．
【点睛】本题考查了平行线的性质求角的度数，正确作出辅助线是解题的关键．
14．
【分析】把、的值代入方程组，再将两式相加即可求出的值．
【详解】解：将代入方程组，
得：，
得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出的值．
15．8
【分析】如图，作于，由可知，证明，，，求的值，根据计算求解值即可．
【详解】解：如图，作于，
  
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴．
故答案是8．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数比例系数k的几何意义及应用，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
16．
【分析】先利用全等三角形的判定与性质求出，再求出的面积，并得到各个小三角形的面积，最后利用勾股定理求出，并求出，即可求解．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
连接，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．

  
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、三角形的角平分线与中线的概念等知识，解题关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积，以及利用面积之间的关系进行转化，得到线段之间的关系．
17．(1)1
(2)1

【分析】（1）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则运算并合并即可；
（2）利用零指数幂公式，负整数指数幂公式，特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】（1）解：原式


（2）原式


【点睛】本题考查整式的乘法，运用完全平方公式运算，含特殊角三角函数的实数运算，二次根式的混合运算等知识，掌握相关法则和公式是解题的关键．
18．，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入即可得到结果．
【详解】解：原式

  

把代入得：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．（1）；（2）15人，见解析；（3）1520人
【分析】（1）由折线图得出选择交通监督的人数，除以总人数得出选择交通监督的百分比，再乘以360°即可求出扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）用选择环境保护的学生总人数减去A，B，C三个班选择环境保护的学生人数即可得出D班选择环境保护的学生人数，进而补全折线图；
（3）先求出四个班中选择文明宣传的百分比，用4000乘以样本中选择文明宣传的学生所占的百分比即可．
【详解】解：（1）由折线图可得选择交通监督的各班学生总数为12+15+13+14=54人，
在四个班人数的百分比为54÷200×100%=27%，
扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数=；
（2）由扇形统计图中选择环境保护的占30%，
∴选择环境保护的学生人数为200×30%=60人，
∴D班选择环境保护的学生人数为60－15－14－16＝15（人），
补全折线统计图如图；

（3）四个班中选择文明宣传的学生人数所占百分比为1-30%-5%-27%=38%，
该校4000人选择文明宣传的学生人数为：（人）．
【点睛】本题考查折线统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
20．(1)
(2)

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）从三个项目组中任取1个，小明被分配到“健康跑”项目组的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
  
共有9个等可能的结果，小华和小明被分配到不同项目组的结果有6个，
∴小华和小明被分配到不同项目组的概率为．
【点睛】本题主要考查了用公式法计算概率和画树状图或列表的方法计算概率，正确画出树状图是做出本题的关键．
21．（1）见解析；（2）假命题，见解析
【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）举出反例解答即可．
【详解】解：（1）连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACE＝∠ACF，
在△ACE与△ACF中
，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，
（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，

∴命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．
【点睛】此题考查命题与定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
22．米，米．
【分析】过点作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，设，求得，，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】
解：过点作于，
则四边形是矩形，
∴，
设，
∴，
∴，，
在中，，，
，
解得：，
∴米，米，
答：和的长分别为1.25米，0.35米．
故答案为米，米.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)

【分析】（1）首先根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法，过点C作，垂足为点F，再根据四边形的内角和，即可证得．
（2）先用勾股定理求出，再证明，从而得到，继而得解．
【详解】（1）解：如图：过点C作，垂足为点F，点F即为所求的点，
    
补充证明过程如下：四边形是正方形，
，
，
，
．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴， ，
∴，
又∵，
∴，
又由作图可知：，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，即
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了基本作图—过直线外一点作已知直线的垂线，四边形的内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，作出点F和利用相似三角形对应边成比例求解是解决本题的关键．
24．(1)与相切，理由见解析
(2)①，②

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质，推导，从而证明PC与⊙O相切；
（2）①根据为的切线和点C关于的对称点为点D，从而可知，再根据圆周角定理即可得到，再由求出，继而求出；
②利用⊙O的半径为15，求出，再利用求出，继而求出的长即可．
【详解】（1）由题意得：，，
连接，
  
∵是直径，
∴，即点C是得中点，
又∵，即是等腰三角形，
∴，(三线合一)
∴与相切
（2）①∵为的切线，
∴，
∴．
∵点C与点D关于的对称，
∴，，
∴，点D在圆上，
∴，
∵，
∴；
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
∵，，

∴
∴，即
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识和基本模型是解题的关键．
25．（1）20元；（2）当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是12500元．
【分析】（1）设每顶头盔降价元，从而可得平均每周可售出顶，再根据“每周获利12000元”建立方程，解方程即可得；
（2）设商店每周获得最大利润元，每顶头盔的售价为元，从而可得平均每周可售出顶，再根据利润公式可得与的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：（1）设每顶头盔降价元，则平均每周可售出顶，
由题意得：，
解得或，
当时，售价为，不符题意，舍去，
当时，售价为，符合题意，
答：每顶头盔应降价20元；
（2）设商店每周获得最大利润元，每顶头盔的售价为元，则平均每周可售出顶，且，
由题意得：，
整理得：，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取最大值12500，
答：当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是12500元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键．
26．(1)
(2)①；②或

【分析】（1）把点，代入，即可求解；
（2）①设，过点作于点，求出，根据，列出方程求出的值即可；
②过点作轴于点，先求出直线的解析式为，证得四边形为菱形，可得，然后根据，设点，则点，然后分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：①设，过点作于点，如图，
    
∴
∵
∴
∵轴，
∴
又
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴（不合题意，舍去）
∴
∴；
②如图，过点作轴于点，
  
令，，
解得：舍去，
点，，
，
，
设直线的解析式为，
把点，，，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
点关于直线的对称点落在轴上时，
，，，
轴，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
轴，
，
，
设点，则点，
当点在轴左侧时，，
当时，，
，
，
解得：或舍去，
点的坐标为；
当点在轴左侧，x轴上方时，，
当时，，
，解得：或舍去，
点的坐标为
当点在轴右侧，即时，，，
，解得：或，
不符合题意，舍去；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质和菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线段的长和解一元二次方程是解题的关键．
27．（1），；（2），见详解；（3）①；②
【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定得即可；
（2）延长至点，使，连接，证，得，，再平行线的性质得，，然后证，即可得出结论；
（3）①延长至，连接,先证明，得，，再证明，根据相似三角形的性质即可；②如图，过点作交的延长线于点，点从点向点动时，点从点向点运动，均同时减小，故点在点时，最小，再根据勾股定理即可．
【详解】（1）解：为边的中点，
，
，，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）解：，理由如下：
如图2，延长至点，使，连接，
  
为的中点，
，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
；
（3）解：①延长至，连接,
  
为边的中点,，
，
，
，，
，
在中，，，，D为边的中点，
，

，
，
，，
，
，

，
，
，
  
，
，，
②如图，过点作交的延长线于点，
  
点从点向点动时，点从点向点运动，均同时减小，
故点在点时，最小，
此时，
，即，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，
．
故的最小值为．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．