2023年山东省泰安市新泰市中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年山东省泰安市新泰市中考三模数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省泰安市新泰市中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
2．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是由六个相同的小正方体组成的立方体图形，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
4．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=42°32′，则∠2的度数（ ）

A．17°28′ B．18°28′ C．27°28′ D．27°32′
5．国家统计局的相关数据显示，2018年我国国民生产总值约为万亿元，将这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
6．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于(　　)

A．68° B．58° C．72° D．56°
7．一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（   ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（    ）
A． B．
C． D．
9．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（　　）
A．2023 B．2025 C．2027 D．2028
10．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．则下列四个结论：①；②若与是抛物线上的两个点，则；③；④当时，函数的值为．其中，正确结论的个数是(　　)
  
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，已知Rt△ABC，，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF，则下列结论中：①；②△ABD∽△ACE；③；④F为BD的中点，其中正确的有（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
12．如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段PA的中点，连接，则线段的最小值是（　　）
  
A． B．2 C． D．

二、填空题
13．因式分解=______．
14．如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的切线与边所在直线垂直于点M，若，则等于___________．
  
15．如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为___________km．（结果保留根号）
  
16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E为边CD上一点，将△ADE沿AE所在直线翻折，得到△AFE，点F恰好是BC的中点，M为AF上一动点，作MN⊥AD于N，则BM+AN的最小值为____．

17．过坐标原点，与轴、轴相交于点A、B，且，反比例函数的图象经过圆点，作射线，则图中阴影部分面积为______．

18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，…，则的长度为______．


三、解答题
19．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，从，，中取一个合适的数作为的值代入求值．
20．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛．赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：

(1)参加比赛的学生共有______名，并补全图1的条形统计图；
(2)在图2扇形统计图中，m的值为______，表示D等级的扇形的圆心角为______；
(3)组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求该反比例函数的解析式及的值；
(2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
22．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
23．已知正方形，E，F为平面内两点．
【建模探究】（1）如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：；
【类比应用】（2）如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线，求证：．
  
24．问题探究
（1）如图1所示，在中，，是的高．
求证：①；②．
迁移运用
（2）如图2所示，圆内接四边形中，对角线是直径，，，若，，求．
  
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；
(3)如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．B
【分析】先分别求解零指数幂，有理数的除法运算，然后进行加法运算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数幂，有理数的混合运算．解题的关键在于正确的运算．
2．D
【分析】根据合并同类项、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及完全平方公式计算，即可判断．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及完全平方公式，掌握运算法则和公式是解题的关键．
3．B
【详解】从上面看最后排一个小正方形，中间排两个小正方形，最前排一个小正方形，
故选B．
4．A
【详解】过点A作AE∥NM，

∵NM∥GH，
∴AE∥GH，
∴∠3=∠1=42°32′，
∵∠BAC=60°，
∴∠4=60°-42°32′=17°28′，
∵NM∥AE，
∴∠2=∠4=17°28′，
故选A．
5．A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于67.67万亿有14位，所以可以确定n=14-1=13．
【详解】67.67万亿=67670 000 000 000=6.767×1013．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．D
【分析】根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．
【详解】∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（180°﹣68°）=56°．
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．D
【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【详解】原数据的2、3、3、4的平均数为=3，中位数为=3，众数为3，方差为×[（2–3）2+（3–3）2×2+（4–3）2]=0.5；
新数据2、3、3、3、4的平均数为=3，中位数为3，众数为3，方差为×[（2–3）2+（3–3）2×3+（4–3）2]=0.4；
∴添加一个数据3，方差发生变化.
故选:D．
【点睛】考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法是解题的关键.
8．A
【分析】设甲需持钱x，乙持钱y，根据题意可得，甲的钱+乙所有钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，据此列方程组可得．
【详解】解：设甲需持钱x，乙持钱y，
根据题意得
，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
9．C
【分析】利用一元二次方程根的定义得到，则，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】∵m方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
10．D
【分析】利用图象的信息与已知条件求得、的符号，的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：抛物线的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，
，．
，①正确；
抛物线的对称轴为直线，
点，关于直线对称的对称点为，，
，
当时，随的增大而减小．
，
②正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
直线与抛物线都经过点，．
抛物线一定经过点，，
，
直线与抛物线都经过点，．
，
，
，即，③正确
当时，

，
，
，
，④正确；
综上，结论正确的有：①②③④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件求得、的符号，、的关系式，、的关系式是解题的关键．
11．C
【分析】①根据为等腰直角三角形，直接求出AB的长度即可；②由旋转性质证明△ABD∽△ACE即可判断；③由△ABD∽△ACE，可得∠DBA＝∠ECA，∠FGB＝∠CGA，进而∠BFC＝∠BAC＝45°即可判断；④证明△ABD为等腰三角形即可判断．
【详解】①由旋转性质可知，AC＝BC＝AE＝DE＝2，
∵，
∴AB＝AD，故①正确；
②，，
∴∠DAE＋∠EAB＝∠CAB＋∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD∽△ACE，故②正确；
③设AB、CE交于点G，如图所示：

∵△ABD∽△ACE，
∴∠DBA＝∠ECA，
又∵∠FGB＝∠CGA，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°，故③正确；
④∵∠BFC＝∠BAC＝45°，
∴A、C、B、F四点共圆，
∴四边形ACBF为圆内接四边形，
∴∠BFA＋∠BCA＝180°，
∵，
∴∠BFA＝90°，
∴AF⊥BD，
∵AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AF为BD上中线，即F为BD中点，故④正确；
综上分析可知，①②③④都正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的相关知识，证明△ABD∽△ACE是解题的关键．
12．A
【分析】连接，如图，先解方程得，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，过圆心C时，最小，如图，点P运动到位置时，最小，然后计算出即可得到线段的最小值．
【详解】解：连接，如图，
  
当时，，
解得，
∴，
∵Q是线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
当最小时，最小，
而过圆心C时，最小，如图，点P运动到位置时，最小，
∵，
∴，
∴线段的最小值是．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．确定位置是解题的关键．
13．．
【详解】解：
=
=，
故答案为．
14．/20度
【分析】由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理求出，得出，由过点C的切线与边所在直线垂直于点M，可得，，继而根据三角形的外角性质得出，即可求出的度数．
【详解】解：连接，
  
∵圆内接四边形的边过圆心O，
∴，
∴，，
∵过点C的切线与边所在直线垂直于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
15．
【分析】过点作交于点，过点作，根据题意，则，，，求出，，根据勾股定理求出，再根据，，即可．
【详解】过点作交于点，过点作，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵（），
∴，
∴
∴（），
∵，
∴（），
∴．
故答案为：．
  
【点睛】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是掌握解直角三角形，勾股定理，锐角三角形三角函数的知识．
16．．
【分析】根据矩形的性质得到∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD，由折叠的性质得到AF=AD，∠FAE=∠DAE，求得∠BAF=30°，∠DAF=60°，得到∠BAF=∠FAE，过B作BG⊥AF交AE于G，则点B与点G关于AF对称，过G作GH⊥AB于H交AF于M，则此时，BM+MH的值最小，推出△ABG是等边三角形，得到AG=BG=AB=5，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD．
∵将△ADE沿AE所在直线翻折，得到△AFE，
∴AF=AD，∠FAE=∠DAE．
∵点F恰好是BC的中点，
∴BF，
∴∠BAF=30°，
∴∠DAF=60°，
∴∠FAE，
∴∠BAF=∠FAE，
过B作BG⊥AF交AE于G，则点B与点G关于AF对称，
过G作GH⊥AB于H交AF于M，

则此时，BM+MH的值最小．
∵MN⊥AD，
∴四边形AHMN是矩形，
∴AN=HM，
∴BM+MH=BM+AN=HG．
∵AB=AG，∠BAG=60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG=BG=AB=5，
∴，
∴HG，
∴BM+AN的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换((折叠问题))，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．
【分析】连接，易得是直径，根据勾股定理，可求出半径，再求出的面积和扇形的面积即是阴影部分的面积．
【详解】连接，如图所示，

，
是直径，
，
根据勾股定理，得，
半径为，
根据图形的对称性可将阴影部分转换为一个等腰直角三角形和一个四分之一圆，则：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与圆的综合，熟练掌握反比例函数的性质与圆的性质是解题的关键．
18．
【分析】先根据直线与轴交于点，可得，，，再过作于，过作于，过作于，根据等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，分别求得，，，据此可得的长度．
【详解】解：由直线与轴交于点，可得，，
，，
如图所示，过作于，则，

即的横坐标为，
由题可得，，
，
，
过作于，则，
过作于，
同理可得，，
同理可得，，
由此可得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律．
19．（1）；（2），
【分析】（1）根据，，再根据含锐角三角函数的混合运算，求解即可；
（2）先计算小括号，然后化除为乘，化简分式，再取合适的值代入，即可．
【详解】（1）


；
（2）


；
∵，；
∴当时，原式．
【点睛】本题考查锐角三角函数的特殊值，分式的化简求值，解题的关键是掌握，，含锐角三角函数的混合运算，分式的混合运算的计算．
20．(1)20；形统计图见解析
(2)40，72°
(3)

【分析】（1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，按要求补全条形图；
（2）用C等级人数除以总人数即可求出m的值，用D等级人数除以总人数再乘以360°即可求解；
（3）采用列表法列举即可求解．
【详解】（1）根据题意得：3÷15%＝20（人），
即参赛学生共20人，
则B等级人数（人）．
补全条形统计图如下：

（2）C等级的百分比为，即m＝40，
表示D等级的扇形的圆心角为，
故答案为：40，72°．
（3）列表如下：

男
女
女
男

（男，女）
（男，女）
女
（女，男）

（女，女）
女
（女，男）
（女，女）

所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
则P（恰好是一名男生和一名女生）．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合是解答本题的关键．
21．(1)，
(2)点在该反比例函数的图象上，理由见解答

【分析】（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值；
（2）先求出点的坐标，判断即可得出结论．
【详解】（1）解：将点代入中，得，
反比例函数的解析式为，
将点代入中，
得；
（2）解：因为四边形是菱形，，，
，，
，
由（1）知双曲线的解析式为；
，
点在双曲线上．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标．
22．(1)200
(2)140

【分析】对于（1），设第一次购进冰墩墩x个，可表示第二次购进的个数，再根据单价的差=10列出分式方程，再检验即可；
对于（2），由（1）可知第二购进冰墩墩的数量，再设每个冰墩墩得标价是a元，根据销售利润率不低于20％列出一元一次不等式，求出解集即可．
【详解】（1）解：设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进2x个，根据题意，得
，
解得x=200，
经检验，x=200是原方程得解，且符合题意.
所以该商家第一次购进冰墩墩200个；
（2）解：由（1）可知第二购进冰墩墩的数量是400个，设每个冰墩墩得标价是a元，得
(200+400)a≥(1+20％)(22000+48000)，
解得a≥140．
所以每个冰墩墩得标价是140元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据等量（不等）关系列出方程和不等式是解题的关键．
23．【探究建模】（1）见解析，【类比应用】（2）见解析
【分析】（1）证明，，，证明，从而可得结论；
（2）证明，可得，，可得是等腰直角三角形，，结合，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，熟记正方形的性质与全等三角形的判定方法是解本题的关键．
24．（1）①见解析，②见解析；（2）2
【分析】（1）①由，是的高．证明，，可得，从而可得结论； ②同理可得：，可得；
（2）延长交于点G，连接，如图所示：证明直线是线段的垂直平分线，再证明，可得，，可得，证明，求解，证明，可得，可得，从而可得答案．
【详解】证明：（1）①在中，，是的高．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②同理可得：，
∴
∴，
（2）延长交于点G，连接，如图所示：
  
∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，即，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得，或8，
当时，，不符合题意，
∴．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
25．(1)抛物线的表达式为：y＝，点D（﹣2，4）
(2)矩形PEFG周长最大时，点P的横坐标为
(3)存在，AN＝1或

【分析】（1）抛物线的表达式为：y=-，即可求解；
（2）PE=，PG=2（-2-m）=-4-2m，矩形PEFG的周长=2（PE+PG），即可求解；
（3）分MN=DM、NM=DN、DN=DM，三种情况分别求解．
【详解】（1）抛物线的表达式为：y＝＝，
则点D（﹣2，4）；
（2）设点P（m，），
则PE＝，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，
矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣4﹣2m）＝，
∵＜0，故当m＝时，矩形PEFG周长最大，
此时，点P的横坐标为；
（3）∵∠DMN＝∠DBA，
∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，
∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，
∴∠NMA＝∠MDB，
∴△BDM∽△AMN，，
而AB＝6，AD＝BD＝5，
①当MN＝DM时，
∴△BDM≌△AMN，
即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；
②当NM＝DN时，
则∠NDM＝∠NMD，
∴△AMD∽△ADB，
∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝，
而，即＝，
解得：AN＝；
③当DN＝DM时，
∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，
∴∠DNM＞∠DMN，
∴DN≠DM；
故AN＝1或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．