2023年四川省泸州市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年四川省泸州市中考数学试卷（含答案解析），共27页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（3分）下列各数中，最大的是（　　）
A．﹣3 B．0 C．2 D．|﹣1|
2．（3分）泸州市2022年全市地区生产总值（GDP）为2601.5亿元，将数据260150000000用科学记数法表示为（　　）
A．2.6015×1010 B．2.6015×1011
C．2.6015×1012 D．2.6015×1013
3．（3分）如图，AB∥CD，若∠D＝55°，则∠1的度数为（　　）

A．125° B．135° C．145° D．155°
4．（3分）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．m3﹣m2＝m B．3m2•2m3＝6m5
C．3m2+2m3＝5m5 D．（2m2）3＝8m5
6．（3分）从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
9．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
10．（3分）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（　　）

A． B． C． D．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（　　）
A．0＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞3
C．﹣3＜a＜0或0＜a＜3 D．﹣1＜a＜0或0＜a＜3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）。
13．（3分）8的立方根是 　 　．
14．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 　 　．
15．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，写出a的一个整数值 　 　．
16．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是 　 　．

三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.
17．（6分）计算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．
18．（6分）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．

19．（6分）化简：（+m﹣1）÷．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在80≤x＜90这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）抽取的40名学生成绩的中位数是 　 　；
（3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？

21．（7分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：的斜坡AB前进20m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．

23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．

六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．
①当CD＝CE时，求CD的长；
②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．


2023年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（3分）下列各数中，最大的是（　　）
A．﹣3 B．0 C．2 D．|﹣1|
【分析】先化简|﹣1|，再比较各数大小得结论．
【解答】解：∵|﹣1|＝1，
∴﹣3＜0＜|﹣1|＜2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法和绝对值的意义是解决本题的关键．
2．（3分）泸州市2022年全市地区生产总值（GDP）为2601.5亿元，将数据260150000000用科学记数法表示为（　　）
A．2.6015×1010 B．2.6015×1011
C．2.6015×1012 D．2.6015×1013
【分析】将较大的数表示成科学记数法即可．
【解答】解：260150000000＝2.6015×1011，
则数据260150000000用科学记数法表示为2.6015×1011．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法﹣表示较大的数，注意：将较大的数表示成科学记数法时，10的指数为数位数减去1．
3．（3分）如图，AB∥CD，若∠D＝55°，则∠1的度数为（　　）

A．125° B．135° C．145° D．155°
【分析】设∠1的对顶角为∠2，由AB∥CD，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可求出∠2的度数，再利用对顶角相等，即可得出∠1的度数．
【解答】解：如图，设∠1的对顶角为∠2．
∵AB∥CD，∠D＝55°，
∴∠2＝180°﹣∠D＝180°﹣55°＝125°，
∴∠1＝125°．
故选：A．

【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
4．（3分）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
【分析】先由主视图和左视图确定是柱体、锥体、还是球体，再由俯视图确定具体形状；也可以对选项几何体的各个视图与所给视图比较判断．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，
根据俯视图是三边形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：D．
【点评】本题由物体的三种视图判断原来几何体的形状，考查空间想象能力，一般地，主视图和左视图的大致轮廓为矩形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．m3﹣m2＝m B．3m2•2m3＝6m5
C．3m2+2m3＝5m5 D．（2m2）3＝8m5
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝6m5，符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式＝8m6，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3分）从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的意义用概率公式直接求出即可．
【解答】解：∵1，2，3，4，5，5六个数中，众数是5，有2个，
∴随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为，
故选：B．
【点评】本题考查概率的意义和概率公式，涉及众数的概念，熟悉相关概念是解题的关键．
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，可得∠CDP＝∠APD，根据DP平分∠ADC，可得∠CDP＝∠ADP，从而可得∠ADP＝∠APD，可得AP＝AD＝4，进一步可得PB的长，再根据三角形中位线定理可得EO＝PB，即可求出EO的长．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，
∴∠CDP＝∠APD，
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∵CD＝6，
∴AB＝6，
∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2，
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
∴EO＝PB＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
【分析】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
【解答】解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）
＝4a2﹣4a2+4
＝4＞0．
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与根的解的关系”是解决本题的关键．
9．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m，n进行验证、辨别．
【解答】解：∵当m＝3，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝（m2+n2）＝×（32+12）＝5，
∴选项A不符合题意；
∵当m＝5，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝（m2+n2）＝×（52+12）＝13，
∴选项B不符合题意；
∵当m＝7，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝（m2+n2）＝×（72+12）＝25，
∴选项D不符合题意；
∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，
∴选项C符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
10．（3分）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意，得．
∴菱形的边长＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（　　）

A． B． C． D．
【分析】首先求出AB＝10，先证△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE，BE的长，进而可求出CE的长和AE的长，然后再证△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性质即可求出DE．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：，
连接AE，OE，

设☉O的半径为r，则OA＝OE＝r，
∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，
∵BC与半圆相切，
∴OE⊥BC，
∵∠C＝90°，即AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴，
即：，
由得：，
由得：，
∴，
在Rt△ACE中，AC＝8，，
由勾股定理得：，
∵BE为半圆的切线，
∴∠BED＝∠BAE，
又∠DBE＝∠EBA，
∴△BDE∽△BEA，
∴，
∴DE•AB＝BE•AE，
即：，
∴．
故选：B．
【点评】此题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（　　）
A．0＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞3
C．﹣3＜a＜0或0＜a＜3 D．﹣1＜a＜0或0＜a＜3
【分析】先求出二次函数与y轴的交点和对称轴，然后分a＞0和a＜0讨论得出a的取值范围．
【解答】解：令x＝0，则y＝3，
∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，3），
二次函数的对称轴是：，
当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4•a×3＜0，
解得：a＜3，
∴0＜a＜3；
当a＜0时，令x＝3，则9a﹣6a+3≥0，
解得：a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜0，
综上，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a＜3．
（备注：没有正确选项，故选择D）
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的知识，弄清当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数的意义，然后分情况讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）。
13．（3分）8的立方根是 　2　．
【分析】利用立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：∵23＝8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
14．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 　1　．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
【解答】解：在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称，掌握两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数是解题的关键．
15．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，写出a的一个整数值 　6　．
【分析】解方程组得到x+y的关系式，再根据题目所给的x+y＞2求出取值范围即可得出结论．
【解答】解：
①﹣②得：x+y＝a﹣3．
∵x+y＞2，
∴a﹣3，
解得a．
∵，
∴．
∴，
∵a取整数值，
∴a可取大于5的所有整数．
故本题答案为：6（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二元一次方程组、不等式以及无理数的估算，能正确估计一个无理数在哪两个整数之间是解决问题的关键．
16．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是 　　．

【分析】找出点E关于AC的对称点E'，连接FE'与AC的交点P'即为PE+PF取得最小值时，点P的位置，再设法求出的值即可．
【解答】解：作点E关于AC的对称点E'，连接FE'交AC于点P'，连接PE'，

∴PE＝PE'，
∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，
故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，
∴当PE+PF取得最小值时，求的值，只要求出的值即可．
∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，
∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上，且AE'＝AE，
过点F作FG⊥AB交AC于点G，
则∠GFA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，
∴GF＝AF，
∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，
∴AE'＝AE＝EF＝FB，
∴GC＝AC，，
∴AG＝AC，，
∴AP'＝AG＝AC＝AC，
∴P'C＝AC﹣AP'＝AC﹣AC＝AC，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，熟悉运用将军饮马模型，以及转化思想是解题的关键．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.
17．（6分）计算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及减法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝+1+2×+
＝+1+1+
＝（+）+（1+1）
＝1+2
＝3．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．

【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD＝EC．
【解答】证明：∵BD∥CE，
∴∠ABD＝∠C，
在△ABD和△ECB中，

∴△ABD≌△ECB（SAS），
∴AD＝EB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到平行线的性质，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键．
19．（6分）化简：（+m﹣1）÷．
【分析】先算括号里面，再把除法统一成乘法．
【解答】解：原式＝[+]×
＝×
＝×
＝m+2．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在80≤x＜90这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）抽取的40名学生成绩的中位数是 　82分　；
（3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？

【分析】（1）样本容量减去其余4组人数即可；
（2）根据中位数的意义，判断出中位数处于80≤x＜90这组，再按求中位数的方法求出即可；
（3）先算出样本中优秀人数所占百分比，再乘以学生总数即可．
【解答】解：（1）在70≤x＜80这组的人数为：40﹣4﹣6﹣12﹣10＝8（人），
补全频数分布直方图如下：

（2）中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，
∵数据处于较小的三组中有4+6+8＝18（个）数据，
∴中位数应是80≤x＜90这一组第2，3个数据的平均数，
∴中位数为：＝82（分），
故答案为：82分；
（3）∵样本中优秀的百分比为：，
∴可以估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：55%×800＝440（人），
答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，熟练掌握相关概念的意义是解题的关键．
21．（7分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列分式方程，求解即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定如何进货才能获得最大利润，并求出最大利润即可．
【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得，
解得x＝10或x＝﹣12（舍去），
经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得12m+10（400﹣m）≤4600，
解得m≤300，
w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，
∵2＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400＝3000（元），
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：的斜坡AB前进20m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．

【分析】过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥AD于点G，先求出BF，CG，延长BC，DE交于点H，易知∠CHD＝90°，在Rt△CDH中求出CH，在Rt△CEH中求出EH，即可求出古树DE的高度．
【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥AD于点G，

在Rt△ABF中，
∵i＝2：，
∴可设BF＝2k，AF＝k，
∵AB＝m，
∵BF2+AF2＝AB2，
∴（2k）2+（k）2＝（）2，
解得k＝20（负的已舍），
∴BF＝2k＝40m，
延长BC，DE交于点H，
∵BC是水平线，DE是铅直线，
∴DH⊥CH，△CDH和△CEH都是△Rt，
∵AD，BC都是水平线，BF⊥AD，DH⊥BC，
∴四边形BFDH是矩形，
∴DH＝BF＝40m，
在Rt△CDH中，
∵tan∠DCH＝，
∴CH＝＝（m），
在Rt△CEH中，
∵tan∠CEH＝，
∴EH＝CH•tan∠CEH＝•tan37°≈×＝（m），
∴DE＝DH﹣EH＝（40﹣）
答：古树DE的高度为（40﹣）m．
【点评】本题考查解直角三角形﹣坡度坡角，解直角三角形﹣仰角俯角问题，构造直角三角形，利用好三角函数关系是解题的关键．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．

【分析】（1）根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；
（2）分2n+2﹣＝2、2n+2﹣＝﹣2两种情况，计算即可．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
则﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
∴直线l的解析式为y＝2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2＝6，
∴点C的坐标为（2，6），
∴m＝2×6＝12；
（2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n，），
∴DE＝|2n+2﹣|，
∵OB∥DE，
∴当OB＝DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y＝2x+2与y轴交于点B，
∴OB＝2，
∴|2n+2﹣|＝2，
当2n+2﹣＝2时，n1＝，n2＝﹣（舍去），
此时，点D的坐标为（，2+2），
当2n+2﹣＝﹣2时，n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（舍去），
此时，点D的坐标为（﹣1，2），
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（，2+2）或（﹣1，2）．
【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CF，即∠OCF＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝DE＝CD＝3，∠BEC＝90°，求得∠BCE+∠OBC＝90°，等量代换得到∠BCE＝∠BCF，根据角平分线的定义得到BC平分∠DCF；
（2）连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，根据圆周角定理CD⊥AB，得到CE＝CD＝3，OC＝OG＝AB＝，根据勾股定理得到OE＝＝1，根据相似三角形性质得到GM＝1，设MH＝x，则HE＝3x，根据勾股定理即可得到即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CF是⊙O的切线，点C是切点，
∴OC⊥CF，
即∠OCF＝90°，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE＝DE＝CD＝3，∠BEC＝90°，
∴∠BCE+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCE＝∠BCF，
即BC平分∠DCF；
（2）解：连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝CD＝3，OC＝OG＝AB＝，
∴OE＝＝1，
∵GM⊥AB，CD⊥AB，
∴CE∥GM，
∴△GMH∽△CEH，
∴，
∵CH＝3GH，
∴，
∴GM＝1，
设MH＝x，则HE＝3x，
∴HO＝3x﹣1．OM＝4x﹣1，
在Rt△OGM中，OM2+GM2＝OG2，
∴（4x﹣1）2+12＝（）2，
解得x＝1（负值舍去），
∴BH＝OH+OB＝3×1﹣1+＝2．

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．
①当CD＝CE时，求CD的长；
②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．

【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①求出直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2），得到点D（0，6﹣m），进而求点E（，6﹣），即可求解；
②证明＝＝＝2，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；

（2）令y＝﹣x2+2x+6＝0，则x＝6或﹣2，
即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（6，0）；
①设点F（m，﹣m2+2m+6），
由点A、F得，直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2）①，
当x＝0时，y＝﹣（m﹣6）（x+2）＝6﹣m，即点D（0，6﹣m），
则CD＝6﹣6+m＝m，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6②，
联立①②得：﹣（m﹣6）（x+2）＝﹣x+6，
解得：x＝，则点E（，6﹣），
由点C、E的坐标得，CE＝，
∵CD＝CE，即m＝，
解得：m＝0（舍去）或8﹣2，
则CD＝m＝8﹣2；
②过点E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为点M、N，

∵△CAD，△CDE，△CEF同高，则其面积比为边的比，
即＝＝2，
∵OD∥EM∥FN，
则，，
则＝＝＝2，
即＝2，
整理得：3xE﹣xF＝2，
由①知，xE＝，xF＝m，
则3×﹣m＝2，
解得：m＝±4（舍去负值），
经检验，m＝4是方程的根，
则点F（4，6）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/16 7:40:25；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557