2023年四川省眉山市中考数学试卷(含答案解析)
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一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。
1.(4分)的倒数是( )
A. B. C.﹣2 D.2
2.(4分)生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米,数据0.0000021用科学记数法表示正确的是( )
A.2.1×10﹣6 B.21×10﹣6 C.2.1×10﹣5 D.21×10﹣5
3.(4分)下列运算中,正确的是( )
A.3a3﹣a2=2a B.(a+b)2=a2+b2
C.a3b2÷a2=a D.(a2b)2=a4b2
4.(4分)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
5.(4分)已知一组数据为2,3,4,5,6,则该组数据的方差为( )
A.2 B.4 C.6 D.10
6.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A. B.m>3 C.m≤3 D.m<3
7.(4分)已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x﹣y=4,则m的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.(4分)由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示,则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为( )
A.6 B.9 C.10 D.14
9.(4分)关于x的不等式组的整数解仅有4个,则m的取值范围是( )
A.﹣5≤m<﹣4 B.﹣5<m≤﹣4 C.﹣4≤m<﹣3 D.﹣4<m≤﹣3
10.(4分)如图,AB切⊙O于点B,连结OA交⊙O于点C,BD∥OA交⊙O于点D,连结CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )
A.25° B.35° C.40° D.45°
11.(4分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x=﹣1,下列四个结论:
①abc<0;
②4a﹣2b+c<0;
③3a+c=0;
④当﹣3<x<1时,ax2+bx+c<0.
其中正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.(4分)如图,在正方形ABCD中,点E是CD上一点,延长CB至点F,使BF=DE,连结AE,AF,EF,EF交AB于点K,过点A作AG⊥EF,垂足为点H,交CF于点G,连结HD,HC.
下列四个结论:
①AH=HC;
②HD=CD;
③∠FAB=∠DHE;
④AK•HD=.
其中正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题:本大题共6个小题,每小题4分,共24分,请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。
13.(4分)分解因式:x3﹣4x2+4x= .
14.(4分)已知方程x2﹣3x﹣4=0的根为x1,x2,则(x1+2)•(x2+2)的值为 .
15.(4分)如图,△ABC中,AD是中线,分别以点A,点B为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于点M,N,直线MN交AB于点E,连结CE交AD于点F,过点D作DG∥CE,交AB于点G,若DG=2,则CF的长为 .
16.(4分)关于x的方程的解为非负数,则m的取值范围是 .
17.(4分)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是 海里.
18.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(﹣8,6),过点B分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为点C,点A,直线y=﹣2x﹣6与AB交于点D,与y轴交于点E,动点M在线段BC上,动点N在直线y=﹣2x﹣6上,若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,则点M的坐标为 .
三、解答题:本大题共8个小题,共78分,请把解答过程写在答题卡相应的位置上。
19.(8分)计算:(2)0﹣|1﹣|+3tan30°+(﹣)﹣2.
20.(8分)先化简:(1﹣),再从﹣2,﹣1,1,2中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
21.(10分)某校为落实“双减”工作,推行“五育并举”,计划成立五个兴趣活动小组(每个学生只能参加一个活动小组):A.音乐,B.美术,C.体育,D.阅读,E.人工智能.为了解学生对以上兴趣活动的参与情况,随机抽取了部分学生进行调查统计,并根据统计结果,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图:
根据图中信息,完成下列问题:
(1)①补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数);
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 .
(2)若该校有3600名学生,估计该校参加E组(人工智能)的学生人数;
(3)该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生,计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛,请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
22.(10分)如图,▱ABCD中,点E是AD的中点,连结CE并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:AF=AB;
(2)点G是线段AF上一点,满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H,若AG=2,FG=6,求GH的长.
23.(10分)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味,现决定购买获得茅盾文学奖的甲,乙两种书共100本,已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元;购买3本甲种书和2本乙种书共需165元.
(1)求甲,乙两种书的单价分别为多少元;
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元,那么该校最多可以购买甲种书多少本?
24.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,2),与反比例函数在第四象限内的图象交于点C(6,a).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)当时,直接写出x的取值范围;
(3)在双曲线上是否存在点P,使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
25.(10分)如图,△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点E,AE平分∠BAC,过点E作ED⊥AC于点D,延长DE交AB的延长线于点P.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)若,BP=4,求CD的长.
26.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时,连接BP交AC于点D,如图1,当的值最大时,求点P的坐标及的最大值;
(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M,连结PC,将△PCM沿直线PC翻折,当点M的对应点M′恰好落在y轴上时,请直接写出此时点M的坐标.
2023年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。
1.(4分)的倒数是( )
A. B. C.﹣2 D.2
【分析】乘积是1的两数互为倒数,由此即可得到答案.
【解答】解:的倒数是﹣2.
故选:C.
【点评】本题考查倒数,关键是掌握倒数的定义.
2.(4分)生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米,数据0.0000021用科学记数法表示正确的是( )
A.2.1×10﹣6 B.21×10﹣6 C.2.1×10﹣5 D.21×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:0.0000021=2.1×10﹣6;
故选:A.
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3.(4分)下列运算中,正确的是( )
A.3a3﹣a2=2a B.(a+b)2=a2+b2
C.a3b2÷a2=a D.(a2b)2=a4b2
【分析】各式计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:A、原式不能合并,不符合题意;
B、原式=a2+b2+2ab,不符合题意;
C、原式=ab2,不符合题意;
D、原式=a4b2,符合题意.
故选:D.
【点评】此题考查了整式的混合运算,合并同类项,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方,以及单项式除单项式,熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.
4.(4分)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
【分析】根据等边对等角得到∠B=∠ACB,利用三角形内角和定理求出∠B的度数,再根据三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数.
【解答】解:∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵∠A=40°,
∴∠B=∠ACB=,
∵∠ACD是△ABC的一个外角,
∴∠ACD=∠A+∠B=40°+70°=110°,
故选:C.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质,掌握等腰三角形的性质:等边对等角.
5.(4分)已知一组数据为2,3,4,5,6,则该组数据的方差为( )
A.2 B.4 C.6 D.10
【分析】先计算这组数据的平均数,再根据方差公式计算即可.
【解答】解:=×(2+3+4+5+6)=4,
s2=×[(2﹣4)2+(3﹣4)2+(4﹣4)2+(5﹣4)2+(6﹣4)2]=2.
故选:A.
【点评】本题考查了方差,掌握方差公式是解题的关键.
6.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A. B.m>3 C.m≤3 D.m<3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ>0,可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,对照四个选项即可得出结论.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(﹣2)2﹣4×1×(m﹣2)=12﹣4m>0,
解得:m<3.
故选:D.
【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
7.(4分)已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x﹣y=4,则m的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】把方程组的两个方程相减得到2x﹣2y=2m+6,结合x﹣y=4,得到m的值.
【解答】解:∵关于x、y的二元一次方程组为,
①﹣②,得:
∴2x﹣2y=2m+6,
∴x﹣y=m+3,
∵x﹣y=4,
∴m+3=4,
∴m=1.
故选:B.
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解,解题的关键是把方程组的两个方程相加得到m的方程,此题难度不大.
8.(4分)由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示,则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为( )
A.6 B.9 C.10 D.14
【分析】综合左视图和俯视图,所用的小正方体分上下三层,前后三行,最后一行有一层,三个小正方体;中间一行有二层,最少三个小正方体;前面一行有三层,三个小正方体,即可得出答案.
【解答】解:搭成该立体图形的小正方体的最少个数为3+3+3=9(个),
故选:B.
【点评】本题考查由三视图判断几何体,推出每一行小正方体的个数是解题的关键.
9.(4分)关于x的不等式组的整数解仅有4个,则m的取值范围是( )
A.﹣5≤m<﹣4 B.﹣5<m≤﹣4 C.﹣4≤m<﹣3 D.﹣4<m≤﹣3
【分析】先解不等式组,再根据仅有4个整数解得出m的不等式组,再求解.
【解答】解:解不等式组得:m+3<x<3,
由题意得:﹣2≤m+3<﹣1,
解得:﹣5≤m<﹣4,
故选:A.
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解,掌握解不等式组的方法是解题的关键.
10.(4分)如图,AB切⊙O于点B,连结OA交⊙O于点C,BD∥OA交⊙O于点D,连结CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )
A.25° B.35° C.40° D.45°
【分析】连接OB,由切线的性质得到∠ABO=90°,由平行线的性质得到∠D=∠OCD=25°,由圆周角定理得出∠O=2∠D=50°,因此∠A=90°﹣∠O=40°.
【解答】解:连接OB,
∵AB切⊙O于B,
∴半径OB⊥AB,
∴∠ABO=90°,
∵BD∥OA,
∴∠D=∠OCD=25°,
∴∠O=2∠D=50°,
∴∠A=90°﹣∠O=40°.
故选:C.
【点评】本题考查切线的性质,圆周角定理,关键是由圆周角定理得到∠O=2∠D,由切线的性质定理得到∠ABO=90°,由直角三角形的性质即可求出∠A的度数.
11.(4分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x=﹣1,下列四个结论:
①abc<0;
②4a﹣2b+c<0;
③3a+c=0;
④当﹣3<x<1时,ax2+bx+c<0.
其中正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据二次函数图象的开口方向,顶点的位置、与y轴交点的位置可对a,b,c的符号进行判断,进而可对结论①进行判断;根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点(﹣2,4a﹣2b+c)的位置进行判定,进而可对结论②进行判断;根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论③、结论④进行判断,据此可得出此题的答案.
【解答】解:①∵二次函数图象的开口向上,
∴a<0,
∵二次函数图象的顶点在第四象限,
∴,
∵a>0,
∴b>0,
∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c<0,
∴abc<0,故结论①正确;
②对于y=ax2+bx+c,当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c,
∴点(﹣2,4a﹣2b+c)在二次函数的图象上,
又∵二次函数的对称轴为x=﹣1,与x轴的一个交点为(1,0),
∴二次函数与x轴的另一个交点为(﹣3,0),
∴点(﹣2,4a﹣2b+c)在x轴下方的抛物线上,
∴4a﹣2b+c<0,故结论②正确;
③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为(1,0),(﹣3,0),
∴,消去b得:3a+c=0,故结论③正确;
④∵二次函数图象的开口向上,与y轴的两个交点坐标分别为(1,0),(﹣3,0)
∴当﹣3<x<1时,二次函数图象的位置在x轴的下方,
∴y<0,即:ax2+bx+c<0,故结论④正确.
综上所述:结论①②③④正确.
故选:D.
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系,解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标.
12.(4分)如图,在正方形ABCD中,点E是CD上一点,延长CB至点F,使BF=DE,连结AE,AF,EF,EF交AB于点K,过点A作AG⊥EF,垂足为点H,交CF于点G,连结HD,HC.
下列四个结论:
①AH=HC;
②HD=CD;
③∠FAB=∠DHE;
④AK•HD=.
其中正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】①证明△EAF是等腰直角三角形,根据直角三角形斜边中线可得AH=EF=CH,可得①正确;
②证明∠DAH与∠AHD不一定相等,则AD与DH不一定相等,可知②不正确;
③证明△ADH≌△CDH(SSS),则∠ADH=∠CDH=45°,再由等腰直角三角形的性质可得结论正确;
④证明△AKF∽△HED,列比例式可得结论正确.
【解答】解:①∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠ADE=∠ABC=90°,
∴∠ADE=∠ABF=90°,
∵DE=BF,
∴△ADE≌△ABF(SAS),
∴AE=AF,∠DAE=∠BAF,
∵∠DAE+∠EAB=90°,
∴∠BAF+∠EAB=90°,即∠EAF=90°,
∵AG⊥EF,
∴EH=FH,
∴AH=EF,
Rt△ECF中,∵EH=FH,
∴CH=EF,
∴AH=CH;
故①正确;
③∵AH=CH,AD=CD,DH=DH,
∴△ADH≌△CDH(SSS),
∴∠ADH=∠CDH=45°,
∵△AEF为等腰直角三角形,
∴∠AFE=45°,
∴∠AFK=∠EDH=45°,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB∥CD,
∴∠BKF=∠CEH,
∴∠AKF=∠DEH,
∴∠FAB=∠DHE,
故③正确;
②∵∠ADH=∠AEF,
∴∠DAE=∠DHE,
∵∠BAD=∠AHE=90°,
∴∠BAE=∠AHD,
∵∠DAE与∠BAG不一定相等,
∴∠DAH与∠AHD不一定相等,
则AD与DH不一定相等,即DH与CD不一定相等,
故②不正确;
④∵∠FAB=∠DHE,∠AFK=∠EDH,
∴△AKF∽△HED,
∴=,
∴AK•DH=AF•EH,
在等腰直角三角形AFH中,AF=FH=EH,
∴AK•HD=.
故④正确;
∴本题正确的结论有①③④,共3个.
故选:C.
【点评】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形“三线合一“的性质,直角三角形的性质,熟练掌握正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形“三线合一“的性质,直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键.
二、填空题:本大题共6个小题,每小题4分,共24分,请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。
13.(4分)分解因式:x3﹣4x2+4x= x(x﹣2)2 .
【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:原式=x(x2﹣4x+4)
=x(x﹣2)2.
故答案为:x(x﹣2)2.
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
14.(4分)已知方程x2﹣3x﹣4=0的根为x1,x2,则(x1+2)•(x2+2)的值为 6 .
【分析】直接利用根与系数的关系作答.
【解答】解:∵方程x2﹣3x﹣4=0的根为x1,x2,
∴x1+x2=3,x1•x2=﹣4,
∴(x1+2)•(x2+2)=x1•x2+2x1+2x2+4=﹣4+2×3+4=6.
故答案为:6.
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x1+x2=﹣,x1•x2=.
15.(4分)如图,△ABC中,AD是中线,分别以点A,点B为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于点M,N,直线MN交AB于点E,连结CE交AD于点F,过点D作DG∥CE,交AB于点G,若DG=2,则CF的长为 .
【分析】先判断DG为△BCE的中位线,再根据三角形相似求解.
【解答】解:由作图得:MN垂直平分AB,
∴AE=BE=AB,
∵DG∥CE,
∴AD是中线,
∴GB=EG=BE=AB,
∴GD为△BCE的中位线,
∴CE=2GD=4,
∵DG∥CE,
∴△AEF∽△AGD,
∴,即:,
解得:EF=,
∴CF=EC﹣EF=4﹣=,
故答案为:.
【点评】本题考查了基本作图,掌握三角形的中位线的性质和三角形相似的性质是解题的关键.
16.(4分)关于x的方程的解为非负数,则m的取值范围是 m≥﹣5且m≠﹣3 .
【分析】根据解分式方程的方法,用含m的式子表示x的值,再根据解为非负数和分母不为0即可求解.
【解答】解:,
去分母得:x+m﹣3(x﹣2)=1﹣x,
去括号移项得:x﹣3x+x=1﹣m﹣6,
合并同类项得:﹣x=﹣5﹣m,
系数化为1得:x=5+m,
∵x﹣2≠0,
∴x≠2,即5+m≠2,
∴m≠﹣3,
∵解为非负数,
∴x=5+m≥0,
∴m≥﹣5,
∴m≥﹣5且m≠﹣3.
故答案为:m≥﹣5且m≠﹣3.
【点评】本题考查了分式方程的解,解一元一次不等式,一定要注意分式方程的最简公分母不能为0.
17.(4分)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是 6(﹣1) 海里.
【分析】过点C作CH⊥AB于H.证得BH=CH,在Rt△ACH中,解直角三角形求出CH的值即可.
【解答】解:过点C作CH⊥AB于H.
∵∠DAC=60°,∠CBE=45°,
∴∠CAH=90°﹣∠CAD=30°,∠CBH=90°﹣∠CBE=45°,
∴∠BCH=90°﹣45°=45°=∠CBH,
∴BH=CH,
在Rt△ACH中,∠CAH=30°,AH=AB+BH=12+CH,tan30°=,
∴CH=(12+CH),
解得CH=6(﹣1).
答:渔船与灯塔C的最短距离是6(﹣1)海里.
故答案为:6(﹣1).
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题,正确根据题意画出辅助线,熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键.
18.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(﹣8,6),过点B分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为点C,点A,直线y=﹣2x﹣6与AB交于点D,与y轴交于点E,动点M在线段BC上,动点N在直线y=﹣2x﹣6上,若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,则点M的坐标为 (﹣8,6) .
【分析】过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P,交BC于点Q,此时△APN≌△NQM(AAS),设N(t,2t﹣6),可得OP=2t﹣6,NQ=AP=8﹣t,NP=MQ=t,所以8﹣t+2t﹣6=6,求得t=4,即可求解.
【解答】解:过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P,交BC于点Q,
∴∠APQ=∠NQM=90°,
∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,
∴AN=NM,∠ANM=90°,
∴∠ANP+∠MNQ=∠NMQ+∠MNQ,
∴∠ANP=∠NMQ,
∴△△APN≌△NQM(AAS),
∴AP=NQ,NP=MQ,
设D(t,2t﹣6),
∴NP=MQ=t,OP=2t﹣6,
又∵NQ=AP=8﹣NP=8﹣t,
∴8﹣t+2t﹣6=6,
∴t=4,
CM=MQ+CQ=MQ+OP=t+2t﹣6=6,
∴M(﹣8,6).
故答案为:(﹣8,6).
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征,能够通过作垂线构造全等的直角三角形,由三角形全等对应边相等,将N点坐标转化到三角形的边长关系中,从而建立等量关系求解是解题的关键.
三、解答题:本大题共8个小题,共78分,请把解答过程写在答题卡相应的位置上。
19.(8分)计算:(2)0﹣|1﹣|+3tan30°+(﹣)﹣2.
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,绝对值的代数意义,以及特殊角的三角函数值计算即可求出值.
【解答】解:原式=1﹣(﹣1)+3×+4
=1﹣+1++4
=6.
【点评】此题考查了实数的运算,零指数幂、负整数指数幂,绝对值,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20.(8分)先化简:(1﹣),再从﹣2,﹣1,1,2中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
【分析】先把括号里进行通分,再计算除法,最后代入求解.
【解答】解:(1﹣)
=•
=,
∵x≠1且x≠±2,
∴当x=﹣1时,原式=1.
【点评】本题考查了分式的化简求值,掌握因式分解是解题的关键.
21.(10分)某校为落实“双减”工作,推行“五育并举”,计划成立五个兴趣活动小组(每个学生只能参加一个活动小组):A.音乐,B.美术,C.体育,D.阅读,E.人工智能.为了解学生对以上兴趣活动的参与情况,随机抽取了部分学生进行调查统计,并根据统计结果,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图:
根据图中信息,完成下列问题:
(1)①补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数);
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 120° .
(2)若该校有3600名学生,估计该校参加E组(人工智能)的学生人数;
(3)该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生,计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛,请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
【分析】(1)①先根据B小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数,再根据5个兴趣小组人数之和等于总人数求出D小组人数,从而补全图形;
②用360°乘以D小组人数占被调查人数的比例即可;
(2)用总人数乘以样本中E小组人数占被调查人数的比例即可;
(3)画树状图列举出所有等可能结果,再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数,继而利用概率公式求解即可得出答案.
【解答】解:(1)由题意知,被调查的总人数为30÷10%=300(人),
所以D小组人数为300﹣(40+30+70+60)=100(人),
补全图形如下:
②扇形统计图中的圆心角α的度数为360°×=120°,
故答案为:120°;
(2)3600×=720(名),
答:估计该校参加E组(人工智能)的学生有720名;
(3)画树状图为:
由树状图知,共有12种等可能的结果,其中一名男生和一名女生的结果数为8,
所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为=.
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识.注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
22.(10分)如图,▱ABCD中,点E是AD的中点,连结CE并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:AF=AB;
(2)点G是线段AF上一点,满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H,若AG=2,FG=6,求GH的长.
【分析】(1)先根据AAS证明△CDE≌△FAE,得CE=EF,再根据平行线分线段成比例定理可得结论;
(2)先根据(1)可得:AB=AF=8,由平行线的性质和等腰三角形的判定可得CG=GF=6,证明△DCH∽△AGH,列比例式可得GH的长.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,CD∥AB,
∴∠D=∠FAD,∠DCE=∠F,
∵E是AD的中点,
∴DE=AE,
∴△CDE≌△FAE(AAS),
∴CE=EF,
∵AE∥BC,
∴==1,
∴AF=AB;
(2)解:∵AG=2,FG=6,
∴AF=FG+AG=6+2=8,
∴AB=AF=8,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=8,
∵∠DCE=∠F,∠FCG=∠FCD,
∴∠F=∠FCG,
∴CG=FG=6,
∵CD∥AF,
∴△DCH∽△AGH,
∴=,即=,
∴GH=1.2.
【点评】本题考查平行四边形的性质,相似三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识,掌握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键.
23.(10分)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味,现决定购买获得茅盾文学奖的甲,乙两种书共100本,已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元;购买3本甲种书和2本乙种书共需165元.
(1)求甲,乙两种书的单价分别为多少元;
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元,那么该校最多可以购买甲种书多少本?
【分析】(1)设甲种书的单价是x元,乙种书的单价是y元,根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元;购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设该校购买甲种书m本,则购买乙种书(100﹣m)本,利用总价=单价×数量,结合总价不超过3200元,可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值,即可得出结论.
【解答】解:(1)设甲种书的单价是x元,乙种书的单价是y元,
根据题意得:,
解得:.
答:甲种书的单价是35元,乙种书的单价是30元;
(2)设该校购买甲种书m本,则购买乙种书(100﹣m)本,
根据题意得:35m+30(100﹣m)≤3200,
解得:m≤40,
∴m的最大值为40.
答:该校最多可以购买甲种书40本.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
24.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,2),与反比例函数在第四象限内的图象交于点C(6,a).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)当时,直接写出x的取值范围;
(3)在双曲线上是否存在点P,使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)将A(4,0),B(0,2)代入y=kx+b,求得一次函数表达式,进而可得点C的坐标,再将点C的坐标代入反比例函数即可;
(2)将一次函数与反比例函数联立方程组,求得交点坐标即可得出结果;
(3)过点A作AE⊥BC交y轴于点E,证明△AOB∽△EOA得出点E的坐标,在求出直线AE的表达式,与反比例函数联立方程组即可.
【解答】(1)将A(4,0),B(0,2)代入y=kx+b得:,
解得:,
∴一次函数表达式为:y=﹣x+2,
将C(6,a)代入得:y=﹣×6+2=﹣1,
∴C(6,﹣1),
将C(6,﹣1)代入y=得:m=﹣6,
∴反比例函数的表达式为:y=;
(2)设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D,
联立,
解得:或,
∴D(﹣2,3),
∴由图象可知:当x<﹣2或0<x<6时,kx+b>,
(3)存在,理由:
过点A作AE⊥BC交y轴于点E,
∵∠BAO+∠EAO=90°,∠EAO+∠AEO=90°,
∴∠BAO=∠AEO,
∵∠AOB=∠EOA=90°,
∴△AOB∽△EOA,
∴,
∴,
∴OE=8,
∴E(0,﹣8),
设直线AE的表达式为:y=ax+b,
将(4,0),(0,﹣8)代入得:,
解得:,
∴直线AE的表达式为:y=2x﹣8,
联立:,
解得:或,
∴点P的坐标为:(1,﹣6)或(3,﹣2).
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题,考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式,相似三角形的判定及性质.
25.(10分)如图,△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点E,AE平分∠BAC,过点E作ED⊥AC于点D,延长DE交AB的延长线于点P.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)若,BP=4,求CD的长.
【分析】(1)连接OE,证明OE∥AD,即可得到结论;
(2)根据锐角三角函数先求出半径和AD的长,然后证明△AEB≌△AEC(ASA),AB=AC=4,进而根据线段的和差即可解决问题.
【解答】(1)证明:如图,连接OE,
∵AE平分∠BAC,
∴∠OAE=∠DAE,
∵OE=OA,
∴∠OEA=∠OAE,
∴∠DAE=∠OEA,
∴OE∥AD,
∵ED⊥AC,
∴OE⊥PD,
∵OE是⊙O的半径,
∴PE是⊙O的切线;
(2)解:∵=,BP=4,OB=OE,
∴=,
∴OE=2,
∴AB=2OE=4,
∴AP=AB+BP=8,
在Rt△APD中,sin∠P==,
∴AD=AP=,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°=∠AEC,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE,
∵AE=AE,
∴△AEB≌△AEC(ASA),
∴AB=AC=4,
∴CD=AC﹣AD=4﹣=,
∴CD的长为.
【点评】本题考查切线的判定和性质,全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线,构造基本图形解决问题.
26.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时,连接BP交AC于点D,如图1,当的值最大时,求点P的坐标及的最大值;
(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M,连结PC,将△PCM沿直线PC翻折,当点M的对应点M′恰好落在y轴上时,请直接写出此时点M的坐标.
【分析】(1)运用待定系数法,将点A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c,即可求得抛物线的解析式;
(2)运用待定系数法可得直线AC的解析式为y=x+3,过点P作PE∥x轴交直线AC于点E,设P(t,﹣t2﹣2t+3),则E(﹣t2﹣2t,﹣t2﹣2t+3),可得PE=﹣t2﹣2t﹣t=﹣t2﹣3t,由PE∥x轴,得△EPD∽△ABD,进而得出===﹣(t+)2+,再运用二次函数的性质即可求得答案;
(3)设点P的坐标,则点M的坐标可表示,PM长度可表示,利用翻折推出PM=CM,列方程求解即可求得答案.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),
∴,
解得:,
∴该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
(2)设直线AC的解析式为y=kx+n,则,
解得:,
∴直线AC的解析式为y=x+3,
过点P作PE∥x轴交直线AC于点E,如图,
设P(t,﹣t2﹣2t+3),则E(﹣t2﹣2t,﹣t2﹣2t+3),
∴PE=﹣t2﹣2t﹣t=﹣t2﹣3t,
∵A(﹣3,0),B(1,0),
∴AB=1﹣(﹣3)=4,
∵PE∥x轴,
∴△EPD∽△ABD,
∴=,
∴==﹣(t+)2+,
∵﹣<0,
∴当t=﹣时,的值最大,最大值为,此时点P的坐标为(﹣,);
(3)如图,设P(m,﹣m2﹣2m+3),
则M(m,m+3),
∴PM=|m+3﹣(﹣m2﹣2m+3)|=|m2+3m|,
CM==|m|,
∵△PCM沿直线PC翻折,M的对应点为点M′,M′落在y轴上,
而PM∥y轴,
∴PM∥CM′,PM=PM′,CM=CM′,∠PCM=∠PCM′,
∴∠PCM′=∠MPC,
∴∠PCM=∠MPC,
∴PM=CM,
∴|m2+3m|=|m|,
当m2+3m=m时,
解得:m1=0(舍去),m2=﹣3,
此时点M(﹣3,);
当m2+3m=﹣m时,
解得:m1=0(舍去),m2=﹣﹣3,
此时点M(﹣﹣3,﹣);
综上,点M的坐标为(﹣3,)或(﹣﹣3,﹣).
【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,点坐标转换为线段长度,几何图形与二次函数结合的问题,相似三角形的判定和性质,翻折变换的性质等,最后一问推出PM=CM为解题关键.
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