2023年江西省中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年江西省中考数学试卷（含答案解析），共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江西省中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。错选、多选或未选均不得分。
1．（3分）下列各数中，正整数是（　　）
A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）若有意义，则a的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．6
4．（3分）计算（2m2）3的结果为（　　）
A．8m6 B．6m6 C．2m6 D．2m5
5．（3分）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
6．（3分）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）单顶式﹣5ab的系数为 　 　．
8．（3分）我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为 　 　．
9．（3分）化简：（a+1）2﹣a2＝　 　．
10．（3分）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　 　cm．

11．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝　 　m．

12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 　 　．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：+tan45°﹣30．
（2）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．

14．（6分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
15．（6分）化简（+）•．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

（1）甲同学解法的依据是 　 　，乙同学解法的依据是 　 　；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
16．（6分）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是 　 　事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
17．（6分）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．
（1）求直线AB和反比例函数图象的表达式；
（2）求△ABC的面积．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
19．（8分）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）

（1）连接CD，求证：DC⊥BC；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求的长；
（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表
视力
人数
百分比
0.6及以下
8
4%
0.7
16
8%
0.8
28
14%
0.9
34
17%
1.0
m
34%
1.1及以上
46
n
合计
200
100%
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 　 　；
分析处理
（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．

22．（9分）课本再现
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：▱ABCD是菱形．

知识应用
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：▱ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．
初步感知
（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当t＝1时，S＝　 　；
②S关于t的函数解析式为 　 　．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．
延伸探究
（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．
①t1+t2＝　 　；
②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积．


2023年江西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。错选、多选或未选均不得分。
1．（3分）下列各数中，正整数是（　　）
A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2
【分析】整数和分数统称为有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数，据此进行判断即可．
【解答】解：A．3是正整数，
则A符合题意；
B．2.1是有限小数，即为分数，
则B不符合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，
则C不符合题意；
D．﹣2是负整数，
则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的分类，其相关定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：选项A、C、D中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项A、C、D不符合题意；
选项B中的图形是中心对称图形，故D符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3．（3分）若有意义，则a的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．6
【分析】直接利用二次根式的定义得出a的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：有意义，
则a﹣4≥0，
解得：a≥4，
故a的值可以是6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确得出a的取值范围是解题关键．
4．（3分）计算（2m2）3的结果为（　　）
A．8m6 B．6m6 C．2m6 D．2m5
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：（2m2）3＝8m6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】利用光的反射得∠BOD＝∠AOC＝35°，根据垂直的定义得∠ODB＝90°，再利用三角形内角和即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°，
∵PD⊥CD，
∴∠ODB＝90°，
∴∠OBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查垂线，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和性质．
6．（3分）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论．
【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个，
故选：D．
【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）单顶式﹣5ab的系数为 　﹣5　．
【分析】单项式前面的数字因数即为单项式的系数，据此即可得出答案．
【解答】解：﹣5ab的系数为：﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查单项式的系数，特别注意单项式的系数也包括前面的符号．
8．（3分）我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为 　1.8×107　．
【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：18000000＝1.8×107，
故答案为：1.8×107．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．（3分）化简：（a+1）2﹣a2＝　2a+1　．
【分析】根据完全平方公式将原式展开后合并同类项即可．
【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2
＝2a+1，
故答案为：2a+1．
【点评】本题考查完全平方公式及合并同类项，此为整式运算的基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10．（3分）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　2　cm．

【分析】先由平行线的性质可得∠ACB的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB＝BC，则可得出AB的长．
【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB＝∠α＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形，平行线的性质，能够得出AB＝BC是解答此题的关键．
11．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝　6　m．

【分析】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到PQ的长．
【解答】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，
∴△ABC∽△AQP，
∴，
即，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故答案为：6
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 　90°或180°或270°　．

【分析】P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动，有固定轨迹，△PCD为直角三角形，要分三种情况讨论求解．
【解答】解：由题意可知，P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动．
如图：延长BA与⊙A交于P3，连接P3C．
∵P3C＝2AB＝BC，
又∵∠B＝60°，
∴△P3BC为等边三角形，
∴AC⊥AB．
在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴CD⊥AC．
∴∠ACD＝90°，
∴当P在直线AC上时符合题意，
∴α1＝90°，α2＝270°．
连接P3D，
∵AP3∥CD，AP3＝AB＝CD，
∴四边形ACDP3为平行四边形．
∴∠P3DC＝∠P3AC＝90°，
即：P运动到P3时符合题意．
∴α3＝180°．
记CD中点为G，以G为圆心，GC为半径作⊙G．
AG＝＝＝＝＞，
∴⊙A与⊙G相离，
∴∠DPC＜90°．
故答案为：90°、180°、270°．

【点评】本题考查了直角三角形的定义，等边三角形，等腰三角形的性质及判定，以及圆周角定理，勾股定理等知识点．题目新颖、灵活，解法多样，需要敏锐的感知图形的运动变化才能顺利解题．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：+tan45°﹣30．
（2）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．

【分析】（1）由零指数幂：a0＝1（a≠0），立方根的定义，特殊角的正切值，即可计算；
（2）由角平分线定义得到∠BAC＝∠DAC，由SAS即可证明△ABC≌△ADC．
【解答】（1）解：+tan45°﹣30
＝2+1﹣1
＝2；
（2）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．

【点评】本题考查全等三角形的判定，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，关键是掌握全等三角形的判定方法，零指数幂：a0＝1（a≠0），立方根的定义，特殊角的正切值．
14．（6分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
【分析】（1）根据锐角三角形的定义及网格线的特点作图；
（2）根据网格线的特点及垂线段最短作图．
【解答】解：如图：

（1）△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）点Q即为所求．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征是解题的关键．
15．（6分）化简（+）•．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

（1）甲同学解法的依据是 　②　，乙同学解法的依据是 　③　；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
【解答】解：（1）甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
（2）选择乙同学的解法．
（+）•
＝+
＝+
＝x﹣1+x+1
＝2x．
【点评】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
16．（6分）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是 　随机　事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【分析】（1）根据题意可知：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求得甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）树状图如下所示：

由上可得，一共有12种等可能事件，其中甲、丁同学都被选为宣传员的可能性有2种，
∴甲、丁同学都被选为宣传员的概率为：＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
17．（6分）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．
（1）求直线AB和反比例函数图象的表达式；
（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）通过直线解析式求得B点的坐标，由反比例函数的解析式求得C点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，3），
∴3＝2+b，3＝，
∴b＝1，k＝6，
∴直线AB为y＝x+1，反比例函数为y＝；
（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，
∴B（0，1），
把y＝1代入y＝，解得x＝6，
∴C（6，1），
∴BC＝6，
∴△ABC的面积S＝＝6．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据“如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵”，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（3×45+20﹣y）棵，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5400元，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该班的学生人数为x人，
根据题意得：3x+20＝4x﹣25，
解得：x＝45．
答：该班的学生人数为45人；
（2）设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（3×45+20﹣y）棵，
根据题意得：30y+40（3×45+20﹣y）≤5400，
解得：y≥80，
∴y的最小值为80．
答：至少购买了甲树苗80棵．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19．（8分）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）

（1）连接CD，求证：DC⊥BC；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ADC＝∠ACD，然后利用三角形内角和定理可得∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，从而可得∠ACB+∠ACD＝90°，进而可得∠BCD＝90°，即可解答；
（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，在Rt△DCB中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而求出BE的长，然后在Rt△BEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，
∴2∠ACB+2∠ACD＝180°，
∴∠ACB+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴DC⊥BC；
（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，

在Rt△DCB中，∠B＝55°，BC＝1.8m，
∴BD＝≈＝（m），
∵DE＝2m，
∴BE＝BD+DE＝（m），
在Rt△BEF中，EF＝BE•sin55°≈×0.82≈4.2（m），
∴雕塑的高约为4.2m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求的长；
（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．

【分析】（1）由圆周角定理求出∠AOE＝2∠ADE＝80°，由邻补角的性质的∠EOB＝180°﹣∠AOE＝100°，由弧长公式即可求出的长．
（2）由圆周角定理得到∠EAB＝∠EOB＝50°，因此∠BAC＝∠EAD﹣∠EAB＝26°，得到∠C+∠BAC＝90°，因此∠ABC＝90°，得到直径AB⊥BC，即可证明CB为⊙O的切线．
【解答】（1）解：∵∠ADE＝40°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝80°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝100°，
∵AB＝4，
∴⊙O半径长是2，
∴的长＝＝；
（2）证明：∵∠EAB＝∠EOB＝50°，
∴∠BAC＝∠EAD﹣∠EAB＝76°﹣50°＝26°，
∵∠C＝64°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠C+∠BAC）＝90°，
∴直径AB⊥BC，
∴CB为⊙O的切线．

【点评】本题考查弧长的计算，切线的判定，圆周角定理，关键是由圆周角定理求出∠AOE＝80°，得到∠EOB的度数，即可求出的长，求出∠EAB的度数，得到∠BAC的度数，即可求出∠ABC＝90°，从而证明CB为⊙O的切线．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表
视力
人数
百分比
0.6及以下
8
4%
0.7
16
8%
0.8
28
14%
0.9
34
17%
1.0
m
34%
1.1及以上
46
n
合计
200
100%
（1）m＝　68　，n＝　23%　；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 　320　；
分析处理
（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．

【分析】（1）根据初中各视力的总人数＝人数÷百分比求解可得m、n的值；
（2）将高中各视力人数相加即可得出答案；
（3）①选择合适的统计量，比较即可得出答案；
②用总人数乘以样本中视力不良的人数和占被调查的总人数的比例即可．
【解答】解：（1）m＝200×34%＝68，n＝46÷200×100%＝23%，
故答案为：68，23%；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为14+44+60+82+65+55＝320，
故答案为：320；
（3）①初中学生的视力水平比高中学生的好，
初中视力水平的中位数为1.0，高中视力水平的中位数为0.9，
所以初中学生的视力水平比高中学生的好；
②26000×＝14300（名），
答：估计该区有14300名中学生视力不良，建议高年级学生坚持每天做眼保健操，养成良好的用眼习惯．
【点评】本题考查频数（率）分布表、频数分布直方图，从统计图表中得出解题所需数据是解答本题的关键．
22．（9分）课本再现
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：▱ABCD是菱形．

知识应用
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：▱ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件判定AC是BD的垂直平分线，推出AB＝AD后利用菱形的定义即可判定▱ABCD是菱形；
（2）①根据平行四边形的性质求出AO、DO的长，然后根据勾股定理逆定理判定∠AOD，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形．”即可得证；
②设CD的中点为G，连接OG，根据已知条件求出OG、CE的长，判定△OGF∽△ECF，然后根据相似三角形的性质即可求出的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
又∵D⊥AC，垂足为O，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形．
（2）①证明：∵▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝CO＝AC＝4，DO＝BD＝3，
又∵AD＝5，
∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2，
∴∠AOD＝90°，
即BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形；
②解：如图，设CD的中点为G，连接OG，

∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝AD＝，
由①知：四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD＝∠ACB，
又∵∠E＝∠ACD，
∴∠E＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠E+∠COE，
∴∠E＝∠COE，
∴CE＝CO＝4，
∵OG是△ACD的中位线，
∴OG∥AD∥BE，
∴△OGF∽△ECF，
∴，
又∵OG＝，CE＝4，
∴．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及中位线定理，深入理解题意是解决问题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．
初步感知
（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当t＝1时，S＝　3　；
②S关于t的函数解析式为 　S＝t2+2　．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．
延伸探究
（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．
①t1+t2＝　4　；
②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积．

【分析】（1）①当t＝1时，CP＝1，运用勾股定理即可求得答案；
②由题意得CP＝t，运用勾股定理可得S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+（）2＝t2+2；
（2）观察图象可得当点P运动到点B处时，PD2＝BD2＝6，当点P运动到点A处时，PD2＝AD2＝18，抛物线的顶点坐标为（4，2），由勾股定理可得BC＝＝2，AD＝3，即M（2，6），设S＝a（t﹣4）2+2，将M（2，6）代入，即可求得S＝t2﹣8t+18，再利用勾股定理即可求得线段AB的长；
（3）①过点D作DH⊥AB于点H，可证得△ADH∽△ABC，得出＝＝，可求得DH＝，AH＝4，根据存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，可得DP1＝DP2＝DP3，再证得Rt△CDP1≌Rt△HDP2（HL），可得CP1＝HP2，列出等式即可；
②证明Rt△DHP3≌Rt△DCP1（HL），得出P3H＝CP1，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）①当t＝1时，CP＝1，
又∵∠C＝90°，CD＝，
∴S＝DP2＝CP2+CD2＝12+（）2＝3．
故答案为：3；
②当点P由点C运动到点B时，CP＝t，
∵∠C＝90°，CD＝，
∴S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+（）2＝t2+2．
故答案为：S＝t2+2；
（2）由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2＝BD2＝6，当点P运动到点A处时，PD2＝AD2＝18，
抛物线的顶点坐标为（4，2），

∴BC＝＝＝2，AD＝＝3，
∴M（2，6），
设S＝a（t﹣4）2+2，将M（2，6）代入，得4a+2＝6，
解得：a＝1，
∴S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18，
∴AC＝AD+CD＝3+＝4，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝6，
CB+AC＝2+6＝8，
∴抛物线的解析式为S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8）；
（3）①如图，则∠AHD＝90°＝∠C，

∵∠DAH＝∠BAC，
∴△ADH∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
∴DH＝，AH＝4，
∴BH＝2，DH＝CD，
∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，
∴DP1＝DP2＝DP3，
∴CP1＝t1，P2H＝4﹣t2，
在Rt△CDP1和Rt△HDP2中，
，
∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2（HL），
∴CP1＝HP2，
∴t1＝4﹣t2，
∴t1+t2＝4．
故答案为：4；
②∵DP3＝DP1，DH＝DC，∠DHP3＝∠C＝90°，
∴Rt△DHP3≌Rt△DCP1（HL），
∴P3H＝CP1，
∵P3H＝t3﹣4，
∴t3﹣4＝t1，
∵t3＝4t1，
∴t1＝，
∴S＝（）2+2＝．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等；解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．
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