2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）（含解析）

2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，为虚数单位，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  直线，互相平行的一个充分条件是(    )

A. ，都平行于同一个平面 B. ，与同一个平面所成角相等
C. ，都垂直于同一个平面 D. 平行于所在平面

4.  在四边形中，已知，则四边形为(    )

A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形

5.  某同学投掷一枚骰子次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为，方差为，则点数出现的次数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，则能满足平面的是(    )

A.  B.
C.  D.  

7.  在一个盒子中有红球和黄球共个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件“第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件“第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在长方体中，，，为棱上一点，且，平面上一动点满足，设是该长方体外接球上一点，则，两点间距离的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数，其共轭复数为，下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为摄氏度，该年月平均气温如表所示，并绘制如图所示的折线图，则(    )

A. 昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差
B. 昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差
C. 郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数
D. 郑州月平均气温的第一四分位数为

11.  平面向量，，满足，，与夹角为，且，则下列结论正确的是(    )

A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为

12.  如图，在长方形中，，，点，分别为边，的中点，将沿直线进行翻折，将沿直线进行翻折的过程中，则(    )

A. 直线与直线可能垂直 B. 直线与所成角可能为
C. 直线与平面可能垂直 D. 平面与平面可能垂直

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  如图，由，两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件“电路是通路”包含的样本点个数为______ ．

14.  已知平面向量，，则在方向上的投影向量的模为______ ．

15.  “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线与平面所成角的正弦值为______ ．

16.  如图，四边形为筝形有一条对角线所在直线为对称轴的四边形，满足，的中点为，，则筝形的面积取到最大值时，边长为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
关于的一元二次方程有两个根，，其中．
求的值；
设，在复平面内所对应的点分别为，，求线段的长度．

18.  本小题分
在菱形中，，，记，．
用，表示；
若，求的值．

19.  本小题分
如图，正方形是圆柱的轴截面，是圆柱的母线，圆柱的体积为．
求圆柱的表面积；
若，求点到平面的距离．

20.  本小题分
现行国家标准中规定了大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼条，从中随机抽取了条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．

求的值，并估计这条鱼汞含量的样本平均数；
用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；
从这批鱼中顾客甲购买了条，顾客乙购买了条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率．

21.  本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，已知．
若，求的大小；
若，过作的垂线交于，求的取值范围．

22.  本小题分
如图，在矩形中，，，点是边上的动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角．
当时，求证：；
当线段的长度最小时，求二面角的正弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
由复数的除法运算求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，，，
由正弦定理可得，，
则．
故选：．
根据题中条件，由正弦定理，直接计算，即可得出结果．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：当，都平行于同一个平面时，两直线可能异面，A错误；
当，与同一个平面所成角相等时，直线，可能相交，B错误；
当，都垂直于同一个平面时，直线，一定平行，C正确；
当平行于所在平面时，，也可能异面，D错误．
故选：．
由已知结合空间直线与直线，直线与平面的位置关系分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了空间直线与直线位置关系的判断，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
四边形为平行四边形．
故选：．
根据即可得出，从而得出四边形的形状．
本题考查向量减法的几何意义，相等向量的概念，以及平行四边形的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设这五个数为，，，，，
则．
因为为正整数，
所以这五个数必有个，另外两个为或．
又，所以这五个数为，，，，，
点数出现的次数为．
故选：．
由平均数和方差的公式推理得出这五个数，进而得出答案．
本题主要考查平均数与方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于：连接，，由图可知，与平面相交，故不满足平面，故A错误；

对于：如图所示，，，，分别是所在棱的中点，连接，，，，
则平面和平面为同一平面，因为，
因为与平面相交，所以不满足平面，故B错误；

对于：连接，交与点，连接，因为，分别为，中点，
所以，由线面平行的判定定理可知，平面，故C正确；

对于：，，分别是所在棱的中点，连接，，，，，，，
平面与平面为同一平面，
取的中点为，连接，由中位线定理可知，，
因为与平面相交，所以不满足平面，故D错误；

故选：．
由与平面相交，判断；由，结合不在平面判断；由线面平行的判定判断；由中位线定理判断．
本题考查平面的基本性质，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意，事件，对立，，故B正确；
设盒子中有个红球，个黄球，
，，故AD正确；
，故C错误．
故选：．
由对立事件的性质判断；由结合乘法公式得出，进而判断．
本题考查对立事件的性质以及相互独立事件概率乘法公式，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．
设，长方体外接球球心记为，
则，，，，，
，
．
，
，
又动点在面上，所以可设，
则，即，
将代入中整理得，
在三棱锥中，且，，两两互相垂直，
所以三棱锥为正三棱锥且底边，
当面时，最小，
在正三棱锥中，由等体积法有，解得，
又，
先代入再代入有，
则，此时有最大值，解得．
当点与点重合时，满足最大，此时，
则，
点到外接球球心距离为，
将代入中整理得，
又，所以，
因为，所以当时，，
因为长方体外接球半径为，
所以，两点间距离的最大值为．
故选：．
建立空间直角坐标系，设出点坐标，结合平面向量基本定理求出点到外接球球心距离的最大值，然后加上外接球半径即为要求的最大值．
本题考查几何体的外接球问题，考查了立体几何与向量的综合，属于难题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，则，
对于，，，则，故选项A正确；
对于，，，则，故选项B不正确；
对于，，故选项C错误；
对于，，因为，当且仅当时等号成立，所以，故选项D正确．
故选：．
先设出，则，由共轭复数的定义、复数相等的定义、模的定义以及复数的运算，对四个选项逐一分析判断即可．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，昆明月平均气温的极差为，
郑州月平均气温的极差为，故A正确；
对于，由折线图可知，昆明月平均气温相较于郑州月平均气温更为集中，
所以昆明月平均气温的标准差小于郑州月平均气温的标准差，故B错误；
对于，昆明的月平均气温按从小到大的顺序排列：
，，，，，，，，，，，，
则昆明月平均气温的中位数为，
郑州的月平均气温按从小到大的顺序排列：
，，，，，，，，，，，，
则郑州的月平均气温的中位数为，
郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数，故C正确；
对于，因为，
所以郑州月平均气温的第一四分位数为，故D正确．
故选：．
根据极差的定义即可判断；根据标准差的几何意义结合折线图即可判断；根据中位数的定义即可判断；根据百分位数的定义即可判断．
本题主要考查统计的知识，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：不妨设，
由于，与夹角为，
则或，
设，则或，
所以或，
解得或，
则或，
对于，，选项A正确；
对于，当时，设，作点关于直线对称的点，如图，

则；
当时，设，作点关于直线对称的点，如图，

则，选项B错误；
对于，当时，设，，如图，

则，
由于点在直线上运动，则无最大值，
同理当，此时时，也无最大值，选项C错误；
对于，当时，，
则；
当时，，
则，选项D正确．
故选：．
根据题意设，可得或，或，然后结合平面直角坐标系和向量的坐标运算逐项分析判断即可．
本题考查平面向量的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，将沿直线进行翻折，得到以为轴，线段绕旋转形成的一个圆锥，点在圆锥的底面圆周上，
同理将沿直线进行翻折的过程中，点也在相应的圆锥的底面圆周上，

对于，如图，在长方形中，，旋转形成的圆锥的轴截面张角最大，
由，，
则，，
所以，
则，
假设不作旋转，在旋转过程中可以与旋转前的初始位置垂直，
即在旋转过程中可以与垂直，故选项A正确．
对于，由选项A同理可得，
则，轴截面张角，
则直线与所成角不可能为，故选项B错误；
对于，若直线与平面垂直，则直线与垂直，
由选项B可知，，直线不可能与垂直，
所以直线与平面不可能垂直，故选项C错误；
对于，易知当平面不作旋转，平面旋转到与平面垂直时，
平面与平面垂直，故选项D正确．
故选：．
将沿直线进行翻折，得到以为轴，线段绕旋转形成的一个圆锥，点在圆锥的底面圆周上，将沿直线进行翻折的过程中，点也在相应的圆锥的底面圆周上，求得圆锥轴截面的最大张角，再逐项分析判断即可．
本题考查立体几何中的动态问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设元件正常为，失效为，
由，两个元件组成并联电路，
则至少有一个元件正常，
故事件包含的样本点为，，共个．
故答案为：．
由，两个元件组成并联电路，至少有一个元件正常，列举出所有的样本点即可得解．
本题主要考查随机事件的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：在方向上的投影向量的模为．
故答案为：．
由投影向量的模长公式，结合数量积运算求解即可．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：将多面体放置于正方体中，连接，设的中点为，连接，，
因为，分别为中点，
所以，且，
则四边形为平行四边形，
所以，
所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
又平面，
所以直线与平面所成角即为，
设正方体的棱长为，
则，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：．
将多面体放置于正方体中，借助正方体分析多面体的结构，由此求解出直线与平面所成角的正弦值．
本题主要考查了空间角的求解，考查了数学运算的核心素养及空间象限能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：以点为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系．
设，，
则．
因为，所以，
即，当且仅当时，取等号．
筝形的面积为
即当时，筝形的面积最大．
此时边长为．
故答案为：．
建立坐标系，利用向量法结合基本不等式得出，，进而得出边长．
本题考查解三角形问题，坐标法的应用，属中档题．
 

17.【答案】解：因为关于的一元二次方程有两个复数根，，
所以复数，互为共轭复数，
则，
所以，解得；
因为，在复平面内所对应的点分别为，，
所以，
所以线段的长度为． 

【解析】根据题意可得复数，互为共轭复数，再利用韦达定理即可求出；
根据复数的几何意义求出，两点的坐标，进而可得答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：如图，在菱形中，，，记，，
；
，
，
，
，又，
，
，
，． 

【解析】根据向量的线性运算，即可求解；
根据向量的线性运算，向量数量积的运算，向量夹角公式，即可求解．
本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，向量夹角公式，属中档题．
 

19.【答案】解：设圆柱的底面半径为，则，解得．
则圆柱的表面积为．
连接，因为，，所以，
设点到平面的距离为，
易知，，，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
所以，
，，
因为，所以．
即，解得． 

【解析】由体积公式计算底面半径，再有表面积公式求解；
证明平面，再有等体积法得出点到平面的距离．
本题考查圆柱的表面积的求解，等体积法求解点面距，属中档题．
 

20.【答案】解：由，解得．
则这条鱼汞含量的样本平均数为．
样本中汞含量在内的频率为．
则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标．
由题意可知，样本中汞含量在内的频率为，
则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，
顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为，
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为． 

【解析】由频率之和等于得出，进而由平均数的公式求解即可；求出样本中汞含量在内的频率，利用频率进行估计；由概率的乘法公式计算甲乙两人购买的鱼汞含量有超标的概率，进而得出所求概率．
本题考查频率分布直方图，属于基础题．
 

21.【答案】解：，
由余弦定理得，
化简得，
又，则，即，
则，
又，则；
在中，，
则，
又由得，
则，
，，
又，，
则，即，
，
，
令
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，则，
，即，
故的取值范围为． 

【解析】利用余弦定理化角为边，求出，的关系，再利用余弦定理，即可得出答案；
先求得，再根据三角形的面积公式结合，化简整理，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：证明：当时，，
又，
在中，，
在中，，
所以，
所以，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，面，
所以面，
又因为面，
所以．
在图二中过点作，垂足为，连接，

因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，，
所以面，
又因为面，
所以，
设，则，
，
所以，
，
所以，
因为，
所以当时，长最短，
在矩形中，过点作，垂足为，再过点作，

因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，
所以面，
由三垂线定理可得，
所以二面角的平面角为，
，
，
，
所以，
由∽得，，即，
所以，
所以，
所以． 

【解析】先由勾股定理可得，，进而可得，则，又面面，由面面垂直的性质定理可得面，进而可得答案．
在图二中过点作，垂足为，连接，分析只有当点与点重合时，最短，在矩形中，过点作，垂足为，再过点作，由三垂线定理可得，则二面角的平面角为，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角正弦值，解题中需要理清思路，属于中档题．