2022-2023学年江苏省淮安市六校联盟高二（下）学情调查数学试卷（6月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省淮安市六校联盟高二（下）学情调查数学试卷（6月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省淮安市六校联盟高二（下）学情调查数学试卷（6月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若集合，则满足的集合的个数为(    )A.  B.  C.  D. 2.  一个袋中有个红球，个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得分，取到一个黑球得分，从袋中任取个球，则小明得分大于分的概率是(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，，向量，，，且，，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  命题：，是假命题，则实数的值可能是(    )A.  B.  C.  D. 5.  质地均匀的正四面体表面上分别标有数字，，，，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为偶数”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法错误的是(    )A.  B. 事件和事件互为对立事件
C.  D. 事件和事件相互独立6.  某工厂为研究某种产品的产量吨与所需某种原材料的质量吨的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如表所示残差观测值预测值 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  现实世界中的很多随机变量遵循正态分布例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布若某物理量做次测量，最后结果的误差，，则为使的概率控制在以下，至少要测量的次数为(    )
【附】随机变量，则，，．A.  B.  C.  D. 8.  已知数列的前项和为，数列中的每一项可取或，且取和取的概率均为，则能被整除的概率为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列结论正确的是(    )A. 若随机变量服从二项分布，则
B. 若随机变量服从正态分布，，则
C. 若随机变量服从两点分布，，则
D. 若随机变量的方差，则10.  某大学的名男生和名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是(    )A. 若要求名女生相邻，则这名同学共有种不同的排法
B. 若要求女生与男生相间排列，则这名同学共有种排法
C. 若要求名女生互不相邻，则这名同学共有种排法
D. 若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这名同学共有种排法11.  如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点含边界，则下列说法中正确的是(    )A. 若平面，则动点的轨迹是一条线段
B. 存在点，使得平面
C. 当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D. 若，那么点的轨迹长度为
 
 12.  若实数，满足，，，则(    )A. 且 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  的展开式中，常数项为______用数字作答14.  有人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在、、三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有______ ．15.  已知函数，则它的最小值为______ ．16.  有个编号分别为，，，的盒子，第个盒子中有个白球个黑球，其余盒子中均为个白球个黑球，现从第个盒子中任取一球放入第个盒子，再从第个盒子中任取一球放入第个盒子，以此类推，则从第个盒子中取到白球的概率是______ ，从第个盒子中取到白球的概率是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
设函数的定义域为，集合．
求集合；
若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．18.  本小题分
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度单位：，得下表：
 估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率．
根据所给数据，完成下面的列联表：
     根据中的列联表，依据的独立性检验，分析该市一天空气中浓度与浓度是否有关附：，其中．  19.  本小题分
如图，在直棱柱中，，，，，．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求直线与平面所成的角的正弦值．

 20.  本小题分
在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．条件：“展开式中所有项的系数之和是所有二项式系数之和的倍”；条件：“展开式中前三项的二项式系数之和为”．
问题：已知二项式，若______填写条件前的序号，，为正整数．
求展开式中含项的系数；
求展开式中系数最大的项；
写出展开式中系数最大项的位置不要求推导过程．21.  本小题分
为营造浓厚的全国文明城市创建围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动高二班某小组有男生人，女生人，现从中随机选取人作为志愿者参加活动．
求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择每名女生至多从中选择项活动，且选择参加项或项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性也均为每人每参加项活动可获得个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望．22.  本小题分
如图所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图的四棱锥．

求四棱锥的体积的最大值；
设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
解不等式求出集合，再由并集概念求解即可．
【解答】
解：对于集合，由解得，
又，．
又，
满足条件的集合可能为，，，，共个．
故选：．  2.【答案】 【解析】解：设小明得分为，则的可能取值为，，，，
，，
小明得分大于分的概率为：
．
故选：．
设小明得分为，则的可能取值为，，，，求出，，由此能求出小明得分大于分的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，，向量，，，且，，
，
解得，，故，，
故．
故选：．
先根据，，求出，的值，然后利用模长公式求解
本题考查向量的模的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 4.【答案】 【解析】解：命题：，是假命题，
：，是真命题，
，
解得，
实数的值可能是．
故选：．
由题意可知，：，是真命题，所以，从而求出的取值范围．
本题主要考查了特称命题的否定，考查了二次函数的性质，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：选项A：，判断正确；
选项B：事件：第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，
则两次向下的数字之和为奇数．则事件和事件不是对立事件，判断错误；
选项C：，则，判断正确；
选项D：，又，，
则有成立，则事件和事件相互独立，判断正确．
故选：．
求得的值判断选项A；举反例否定选项B；求得的值判断选项C；利用公式是否成立判断选项D．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：在样本处的残差为，
，解得，
经验回归方程为，
，，
则，解得．
故选：．
由在样本处的残差求，可得线性回归方程，再求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得值．
本题考查线性回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
 7.【答案】 【解析】解：根据题意，，
而，则，所以．
故选：．
根据得到，进而结合正态分布的概率求法求得答案．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：由古典概型可知，数列共有种情况，能被整除，有以下种情况：
中有个，个，有种情况；
中有个，个，有种情况；
中有个，个，有种情况；
中有个，个，有种情况，
所以，被整除的概率为．
故选：．
按古典概型得出数列共有种情况，讨论能被整除的种情况计算即可．
本题考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 9.【答案】 【解析】解：对于，若随机变量服从二项分布，则，故选项A正确．
对于，若随机变量服从正态分布，，则，
故，故选项B正确．
对于，若，，，故选项C错误．
对于，根据方差的计算公式，，则，故选项D错误．
故选：．
根据二项分布的概率，正态曲线的对称性，两点分布的期望，方差的性质，即可分别求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，先将名女生看成一个整体，与名男生全排列即可，有种排法，A正确；
对于，若要求女生与男生相间排列，有种排法，B正确；
对于，先将名男生排好，再将名女生安排在男生的空位中，有种排法，C正确；
对于，当男生甲在排尾，则有种排法，当男生甲不在排尾，则有种，则有种排法，D错误．
故选：．
根据题意，由排列、组合数公式依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：对于，取，中点，，连接，，，，
由，且，得四边形是平行四边形，
，平面，平面，平面，
同理平面，
，平面平面，则点的轨迹为线段，故A正确；
对于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，，
则，，，
设是平面的一个法向量，
则，取，得，
若平面，则，即存在，使得，
则，解得，
不存在点使得平面，故B错误；
对于，为定值，当且仅当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，
，
，，则当时，有最大值，
，，则当时，有最大值，
综上，当，即与重合时，三棱锥的体积最大，故C正确；
对于，平面，，
，，
点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长为，故D正确．
故选：．
对于，取，中点，，连接，，，，证明平面平面，则点的轨迹为线段；对于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解判断；对于，为定值，当且仅当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大；对于，推导出 为定值，从而判断点的轨迹，由此能求出点的轨迹长度．
本题考查命题真假的判断，考查空间位置关系的判断与应用、线面平行、面面平行的判定理和性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 12.【答案】 【解析】解：因为，若，则，又，显然不成立，即，
同理可得，所以，即且，故A正确；
又，即，
所以，当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确；
又
，
当且仅当，即时取等号，故C错误；
对于：，
因为，所以，即，即，
即，
因为，所以，即，故D正确；
故选：．
根据指数函数的性质判断，利用基本不等式判断、，根据指数幂的运算判断．
本题考查了指数函数的性质和指数的运算、基本不等式的应用，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得常数项为，
故答案为：．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意，分步进行分析：
将人分为组，种是按照，，；另一种是按照，，；
当按照，，来分组时共有种分组方法，
当按照，，来分组时共有种分组方法，
则一共有种分组方法；
将分好的三组对应三家酒店，有种对应方法；
则安排方法共有种，
故答案为：．
根据题意，分步进行分析：把人分层三组，一种按照，，；另一种按照，，；由组合数公式可得分组的方法数目，将分好的三组对应三家酒店，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：，，，
函数，
当且仅当，即时，等号成立，
函数的最小值为．
故答案为：．
函数，因为，，所以再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
 16.【答案】  【解析】解：记事件表示从第个盒子里取出白球，
则，，
，
，
，
进而得，，
又，，，
是首项为，公比为的等比数列，
，
．
故答案为：；．
记事件表示从第个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 17.【答案】解：要使得函数有意义，
只需要，解得，
所以集合．
因为是的必要不充分条件，所以，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上可知，实数的取值范围是． 【解析】由定义域的定义即可求解；由是的必要不充分条件可判断集合是集合的真子集，分类讨论的情况即可求解．
本题考查了函数定义域的定义，考查了命题的充分性和必要性，以及与集合之间的综合应用，属于基础题．
 18.【答案】解：由表可知，该市天中，空气中的浓度不超过，且浓度不超过的天数为，
由频率估计概率，该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率约为．
由所给数据，可得列联表为：
 根据列联表中的数据可得，
根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关． 【解析】由频率估计概率，求出相应的频率即可；
由题中条件直接求出各分类变量的值；
由公式直接代入数据计算即可．
本题考查频率估计概率和独立性检验，还考查了分析处理数据的能力和数学运算，属于基础题．
 19.【答案】解：Ⅰ平面，平面，
，
又，、是平面内的相交直线，
平面，
平面，
；
Ⅱ，，
，
由此可得：直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角记为，连接，

直棱柱中，，
平面，结合平面，得
又，
四边形是正方形，可得，
、是平面内的相交直线，
平面，
又平面，
可得，
由Ⅰ知，结合，、平面，
可得平面，从而得到，
在直角梯形中，，
，从而得到∽，
因此，，可得，
连接，可得是直角三角形，
，，
在中，，
即，
可得直线与平面所成的角的正弦值为． 【解析】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题．
Ⅰ根据直棱柱性质，得平面，从而，结合，证出平面，从而得到；
Ⅱ根据题意得，可得直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，连接，利用线面垂直的性质与判定证出平面，从而可得D.由，可得平面，从而得到与与平面所成的角互余．在直角梯形中，根据∽，算出，且可得，最后在中可得，由此即可得出直线与平面所成的角的正弦值．
 20.【答案】解：若选，
二项式展开式中所有项的系数之和是所有二项式系数之和的倍，
，
解得；
若选，由题意得，
，
解得；
故的通项为，
的通项为，
故项的系数为；
设第项系数最大，，
故，
解得，
故，
所以系数最大项为；
设第项系数最大，，
故，
解得，
故当为整数时，
系数最大项为第项或第项，
当不为整数时，
系数最大项为第项． 【解析】若选，由题意得，解方程求，
若选，由题意写出前三项的二项式系数并求和，解方程求，
再分别写出与的通项，从而求项的系数即可；
设第项系数最大，写出通项，从而得不等式组，解不等式组即可；
类比得不等式组，从而解得，再分类讨论即可．
本题综合考查了二项式定理的性质的应用，属于中档题．
 21.【答案】解：设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动为事件，
则，，
所以；
依题意知服从超几何分布，
所以，，，
所以的分布列为：所以；
设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，，的所有可能取值为，，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动，，
所以，
即两人工时之和的期望为个工时． 【解析】根据条件概率公式可求出结果；
根据超几何分布概率公式可求出结果；
先求出一名女生和一名男生参加活动可获得工时的数学期望，再根据期望的性质可求出结果．
本题主要考查了条件概率的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 22.【答案】解：取的中点，连接，

因为，则，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，
此时平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为
连接，因为，所以，所以为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
过作于点，由题意得平面，
设，因为，所以，，，
所以，，
所以，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
设平面的法向量为，
因为，，
则，即，
令，可得：，
设两平面夹角为，
则
，
令，，所以
所以，
因为的对称轴为，
所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【解析】取的中点，连接，即当平面平面时，点到平面的距离最大，即可得到结果；
连接，过点作平面，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果．
本题主要考查棱锥体积的求法，平面与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．