安徽省江淮十校2023届高三下学期5月联考数学试卷（含答案）

安徽省江淮十校2023届高三下学期5月联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，集合，则集合的元素个数为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

2、已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为(   )

A. B. C. D.

3、已知a，b为实数，则使得“"成立的一个充分不必要条件为(   )

A.  B.

C.  D.

4、“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”(明《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是，那么大约经过(   )天后“进步”的是“退步”的一万倍.

A.20 B.21 C.22 D.23

5、哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高筑、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC、BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，若，则(   )

A. B. C. D.

6、将函数的图像向左平移个单位后的函数图像关于y轴对称，则实数a的最小值为(   )

A. B. C. D.

7、若的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对共有(   )组不同的解

A.1 B.2 C.3 D.4

8、已知O为坐标原点，椭圆，平行四边形OACB的三个顶点A，B，C在椭圆E上，若直线AB和OC的斜率乘积为，四边形OACB的面积为，则椭圆E的方程为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、下列命题正确的有(   )

A.空间中两两相交的三条直线一定共面

B.已知不重合的两个平面，，则存在直线，，使得a，b为异面直线

C.过平面外一定点P，有且只有一个平面与平行

D.已知空间中有两个角，，若直线直线，直线直线，则或

10、学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品.小明同学决定每隔9天去老麻抄手窗口消费一次，连续去了5次，他发现这5次的日期中没有星期天，则小明同学在这5次中第一次去北园食堂可能是(   )

A.星期一 B.星期三 C.星期五 D.星期六

11、某项科学素养测试规则为：系统随机抽取5道测试题目，规定：要求答题者达到等级评定要求或答完5道题方能结束测试.若答题者连续做对4道，则系统立即结束测试，并评定能力等级为A；若连续做错3道题目，则系统自动终止测试，评定能力等级为C；其它情形评定能力等级为B.已知小华同学做对每道题的概率均为，且他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是(   )

A.小华能力等级评定为A的概率为

B.小华能力等级评定为B的概率为

C.小华只做了4道题目的概率为

D.小华做完5道题目的概率为

12、已知函数，则下列说法正确的有(   )

A.，函数是奇函数

B.，使得过原点O至少可以作的一条切线

C.，方程一定有实根

D.，使得方程有实根

三、填空题

13、复数z满足，其中i为虚数单位，则的最大值为_______.

14、是公差不为零的等差数列，前n项和为，若，，，成等比数列，则_______.

15、函数的值域为_______.

16、若函数与函数的图像恰有三个不同交点，且交点的横坐标构成等差数列，则实数a的取值范围是_________.

四、解答题

17、在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知.

（1）求角A的大小；

（2）点D为边BC上一点(不包含端点)，且满足，求的取值范围.

18、移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.下图是2018-2022年移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5.

(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；

(2)求w关于t的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数.

附：样本相关系数，，，

19、已知平行六面体中，底面ABCD和侧面都是边长为2的菱形，平面平面，.

（1）求证：四边形ABCD是正方形；

（2）若，求二面角的余弦值.

20、设数列的前n项和为，且，.

（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）设，证明：.

21、已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的标准方程；

（2）过F的直线与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与圆的另一个交点分别为D，E，求与面积之比的最大值.

22、对于定义在D上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点.设函数，已知为函数的不动点.

（1）求实数a的取值范围；

（2）若，且对任意满足条件的成立，求整数k的最大值.

(参考数据：，，，，)

参考答案

1、答案：B

解析：由，消去y得，即，

解得或(舍去)，

所以或，

即函数与有两个交点，

又集合，集合，

所以，

即集合的元素个数为2个.

2、答案：A

解析：由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.

3、答案：D

解析：对于A，如果，例如，，则，不能推出，如果，则必定有，既不是充分条件也不是必要条件，错误；

对于B，如果，根据对数函数的单调性可知，，但不能推出，例如，，不是充分条件，如果，则，，是必要条件，即是的必要不充分条件，错误；

对于C，如果，因为是单调递增的函数，所以，不能推出，例如，.

对于D，如果，则必有，是充分条件，如果，例如，，则不能推出，所以是充分不必有条件，正确.故选：D.

4、答案：D

解析：根据题意可列出方程，求解即可，设经过x天“进步”的值是“退步”的值的10000倍，

则，

即，

.

5、答案：A

解析：设圆的半径为r，则，，，

6、答案：C

解析：，将函数图像向左平行移动a个单位后的函数记为，则，而函数的图像关于y轴对称有，，，，，实数a的最小值为.

7、答案：D

解析：由第6项的二项式系数最大知n的可能取值为9，10，11，又由题得：，当时，；当时，或-1，故有序实数对共有4组不同的解.

8、答案：B

解析：设，，则，将C坐标代入椭圆方程有，又四边形OACB的而积为，即，又根据AB和OC的斜率乘积为，知，所以，.

9、答案：BC

解析：

选项A：空间中两两相交的三条直线可以共面也可以不共面.判断错误；

选项B：已知不重合的两个平面，，则，或，相交，

两种情况均存在直线，，使得a，b为异面直线.判断正确；

选项C：过平面外一定点P，有且只有一条直线m与平面垂直，

过点P有且只有一个平面与直线m垂直，则.

则过平面外一定点P，有且只有一个平面与平行.判断正确；

选项D：在如图正方体中，直线直线，直线直线，由，，可得，

且.判断错误.

10、答案：BD

解析：若第一次是星期一，则第二次是星期四，第三次是星期日，不符合题意，故A错误；
若第一次是星期三，则第二次是星期六，第三次是星期二，第四次是星期五，第五次是星期一，符合题意，故B正确；
若第一次是星期五，则第二次是星期一，第三次是星期四，第四次是星期日，不符合题意，故C错误；
若第一次是星期六，则第二次是星期二，第三次是星期五，第四次是星期一，第五次是星期四，符合题意，故D正确；

11、答案：ABC

解析：，，

，，.

12、答案：AD

解析：对A：定义域对称，且，显然成立；

对B：设当直线，联立方程：，显然不成立，

对C：若，，则，

即，由的有界性，显然不一定有解

对D：，显然掺杂，，b，使方程有解.

13、答案：

解析：因为，则在复平面内复数z对应的点到点之间的距离为1，复数z表示的点在以为圆心，1为半径的圆周上，故的最大值为，故答案为：.

14、答案：1012

解析：设等差数列的首项为，公差为，则因为，

所以，即，解得.

因为，，，成等比数列，

所以，即，解得或(舍)，

所以，解得，

所以，

所以.

15、答案：

解析：令，，则的值域转化为的值域，由于得的值域为

16、答案：

解析：函数与函数的图像三个不同交点的横坐标等价于考查函数有三个不同的零点，则，故必有方程有两个不同的实数根，则，，，另一方面，由三个不同交点的横坐标构成等差数列可知：令得，则由三次函数的对称性知当且仅当时符合题意，化简整理即有，故，且所以实数a的取值范围是.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）由，结合正弦定理可得：

（舍）或，

所以.

（2）由知且，

所以中，有，，

由正弦定理得：

所以.

18、答案：(1)0.98，两个变量具有很强的线性相关性

(2)，2024年移动物联网连接数31.4亿户

解析：(1)由图可知，两个变量线性相关.

由已知条件可得：，，

所以，

，

，

所以相关系数，

因此，两个变量具有很强的线性相关性.

(2)结合(1)可知，，，

所以回归方程是：，

当时，有，

即预测2024年移动物联网连接数为31.4亿户.

19、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）连接，作于.

因为是菱形，所以，

又付为，所以面，所以，

又平面平面，平面平面，所以面，所以面，而ABCD为菱形，所以四边形ABCD是正方形.

（2）

时，H为AB的中点，如图建立空间直角坐标

则，，，，

，，

设平面的一个法向量，则，令，

解得，设平面的一个法向量，则，令，解得，则，又因为为锐二面角，所以的余弦值为.

20、答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

解析：（1）设数列的前n项和为，且.，，，相减得：，

所以，

又，所以是以首项为6，公比为3的等比数列，即，所以.

（2），即证：

力法一：令.则，

因为，所以

所以单调递增，即，

即：.

方法二：放缩法：所以：，，，，相乘得：，

即：.

21、答案：（1）

（2）

解析：（1）过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，则，则点P到直线和定点距离相等，则P的轨迹为以为焦点以直线为准线的抛物线，则曲线C的方程为：.

（2）

设A，B，D，E，坐标分别为，，，，

付为

令直线，，，，与圆联立得：，

同理：，所以

令，与联立得：，所以：，，

所以，代入得，

又因为，所以，当且仅当，，时取等号，所以与面积之比的最大值.

22、答案：（1）

（2）2

解析：（1）在定义域内有的零点，所以

令，令

则，，，

所以在递减，递增，，即在递增，递增

由洛必达法则得：，，，，

所以：

（2）由题可知：，可得：，即因为，取，易得：，所以k取2

下证：对任意成立.

易证：对恒成立，当时，，

易证：，所以，成立，

当时，只需证：成立.

方法一：令，，只需证

，，显然递增

，，所以存在，使，且在递减，在递增，

，整理得

因为函数在递减，

所以

所以在恒成立，即在递增

显然，所以成立.

方法二：令，，只需证

，令，则

显然递增，且，，

所以存在，使，且在递减，在递增，

，整理得，

显然在递减，所以

所以，即对恒成立，所以，成立.

方法三：因为对任意恒成立，令，

所以在递增，所以，即，

所以成立，即.