2.3-基本不等式的应用（解析版）-2023-2024学年初升高（新高一）数学暑假衔接教材（人教版）

这是一份2.3-基本不等式的应用（解析版）-2023-2024学年初升高（新高一）数学暑假衔接教材（人教版），共10页。试卷主要包含了恒成立问题，基本不等式的实际应用等内容，欢迎下载使用。
❊2.3 基本不等式的应用知 识考 点 基本不等式1.恒成立问题2.基本不等式的实际应用1.恒成立问题常用的方法是：参变分离法；1.若a<f(x)恒成立，则a<f(x)的最小值；若a>f(x)恒成立，则a<f(x)的最大值.已知，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）A．或B．或C．D．【答案】C已知，若恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】-1≤a≤2（多选）已知，且，若不等式恒成立，则m的值可以为（    ）A．10B．9C．8D．7.5【答案】BC【分析】根据基本不等式求出的最小值，得的取值范围，根据范围可得答案.【详解】由，且，可得，当且仅当时，即时，等号成立，又因为不等式恒成立，所以，又，结合选项，可得BC符合题意.故选：.已知，且．若恒成立，则实数m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由已知等式可得，由，利用基本不等式可求得，根据恒成立的思想可得，解不等式即可求得结果.【详解】由，，得：，（当且仅当，时取等号），恒成立，，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.（多选）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（    ）A．5B．6C．7D．8【答案】AB【分析】将不等式恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式即可求解.【详解】要使不等式恒成立，只需要即可.由，得，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为，即，故的最大值为.故选：AB.已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】通过恒成立，则，所以问题转化为求，而，可以化简为，所以通过1的代换对进行化简，得到，通过基本不等式得到，从而求出的范围.【详解】若恒成立，则，且当且仅当，即，时取等号，即故选：A若正数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】将变成，可得，展开后利用基本不等式求解即可．【详解】解：，，，，∴ 当且仅当，即时等号成立，解得，时等号成立，因为不等式恒成立，所以，即所以，实数的最大值为.故选：D．已知对任意正实数x、y，且，恒成立，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得，由此可得结果.【详解】由得：，，，，（当且仅当时取等号），当恒成立时，.故选：D. （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由已知得，由，可得，所以，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.由，可得，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为64m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）当且仅当时，，，所用篱笆最短48m；（2）当且仅当时，，面积最大为．【分析】由已知结合基本不等式应用条件：积定和最小，和定积最大即可求解．【详解】（1）设矩形的两边长分别为，，则，所用篱笆长为，当且仅当时取等号，此时最短篱笆的长度为48m；（2）设矩形的两边长分别为，，则，所用篱笆的面积，当且仅当时取等号，此时篱笆的最大面积为．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本已知购买m台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备（    ）A．100台B．200台C．300台D．400台【答案】B【分析】由题意求出平均成本的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.【详解】由题意，，当且仅当，即时，等号成立，所以应购买台，使得每台设备的平均成本最低.故选：B在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（    ）A．大于20克B．小于20克C．大于等于20克D．小于等于20克【答案】C【分析】设出力臂和药品数量，根据杠杆原理得到，再根据均值不等式计算得到答案.【详解】设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，，则由杠杆原理得：，于是，故，当且仅当时取等号.  故选：C.经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系.在该时段内，当汽车的平均速度为______千米/时时车流量最大，最大车流量为______千辆/时（精确到0.01）.【答案】     40     11.08【分析】变形后由基本不等式求出答案.【详解】因为，，当且仅当，即时，等号成立，即当汽车的平均速度为40千米/时时车流量最大，最大车流量为千辆/时.故答案为：40，11.08中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意可得，代入三角形的面积公式可得，再结合利用基本不等式可得.【详解】根据题意可知，所以，由，所以，同理可得；由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立；即；即此三角形面积的最大值为.故选：D 1.若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】将不等式等价转化为，利用均值不等式求出不等式左边的最小值即可求解.【详解】由题意可知：不等式恒成立等价转化为，因为，所以，则（当且仅当，也即时等号成立），所以，故选：.2.已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ）A．25B．6C．4D．5【答案】D【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值.【详解】因为不等式恒成立，，，所以恒成立，设，则当且仅当时等号成立，所以，所以，所以m的最大值为5，故选：D．3.当，，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，把问题转化为求的最小值，由，对进行恒等变形，利用基本不等式求出其最小值为，解即得答案.【详解】由恒成立，需求的最小值，因为，，且满足，所以4.已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】由已知得：，，当且仅当时取等号；由题意：，即，解得：或，故答案为：.
当且仅当即时取到最小值，所以,化简得解得.故选：A.5.若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】首先把不等式恒成立转化为求的最小值，再解关于的不等式即可．【详解】两个正实数，满足，，，当且仅当，即，时等号成立，，若不等式恒成立，则应，解得，，故答案为：．6.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为______m，宽为______m时菜园面积最大．【答案】     15     【分析】设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋2y＝30，利用基本不等式可求出结果.【详解】设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋2y＝30，因为，所以，即，所以菜园面积，当且，即米，米时，等号成立.所以这个矩形的长为米，宽为米时，菜园面积最大.故答案为：15；7.已知某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），那么f（Q）的最小值是______．【答案】1600【分析】由题意得到年产量为Q时的平均成本为，再利用基本不等式求解.【详解】解：因为某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．所以年产量为Q时的平均成本为，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为1600，故答案为：16008.某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价y，问泳池的长为多少米时，可使总造价y最低，并求出泳池的最低造价．    【答案】，泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．【分析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解.【详解】因为泳池的长为x米，则宽为米．则总造价，整理得到，当且仅当时等号成立．故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．