3.5-函数的奇偶性（解析版）-2023-2024学年初升高（新高一）数学暑假衔接教材（人教版）

这是一份3.5-函数的奇偶性（解析版）-2023-2024学年初升高（新高一）数学暑假衔接教材（人教版），共24页。试卷主要包含了函数的奇偶性，函数的奇偶性的判断，函数的奇偶性的性质，利用奇偶性性质比较大小等内容，欢迎下载使用。
❊3.5 函数的奇偶性
考点先知

知 识
考 点
函数的奇偶性及其性质
1.函数奇偶性的判断
2.函数奇偶性图像特点的应用
3.利用奇偶性性质求参数的值
4.利用奇偶性性质求函数值
5.利用奇偶性性质比较大小
6.利用奇偶性求分段函数的解析式
7.利用奇偶性解函数不等式

题型精析

知识点一 函数的奇偶性


内容
定义
若函数的定义域关于原点对称，且满足，则称函数为偶函数；若满足，则称函数为奇函数．
【注意】函数的奇偶性的前提是定义域关于原点对称，所以，若函数的定义域没有关于原点对称，则函数不可能有奇偶性．
知识点二 函数的奇偶性的判断

判断方法
要点
次数法
通过判断次数来判断函数的奇偶性
定义法
若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数
结论法
①奇±奇=奇；②偶±偶=偶；③奇×奇=偶（奇÷奇=偶）；④奇×偶=奇
（奇÷偶=奇）；⑤；⑥；⑦为偶函数；⑧为偶函数
特别提醒：1.判断函数奇偶性的第一步是看定义域是否关于原点对称；2.奇±偶=非奇非偶函数.
知识点三 函数的奇偶性的性质

函数类型
函数性质
奇函数
①图像关于原点对称；②；③原点左右单调性相同；
④若可为，则
偶函数
①图像关于轴对称；②；③原点左右单调性相反




题型一 函数奇偶性的判断

例1

判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
（3）


（4）
（5）
（6）


（7）
（8）



【答案】奇；奇；偶；奇；偶；非奇非偶；非奇非偶；偶

变1
判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
（3）


（4）
（5）



【答案】偶；非奇非偶；奇；偶；非奇非偶


例2

1．若函数是偶函数，则的值是_______．
2．已知函数是偶函数，且其定义域为，求，的值．

3．已知函数是奇函数，则的值是_______．
【答案】0；；0
变2
已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

【答案】B
变2
（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数是奇函数
C．若，则函数是奇函数
D．若，则函数是偶函数

【答案】BC

例3

判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）


（3）
（4）



【答案】偶；偶；奇；偶
变3
判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）


（3）
（4）



【答案】奇；偶；奇；奇



例4

判断下列函数的奇偶性：
【易错警示】注意判断函数的定义域是否关于原点对称．所以，第一步应先求出函数的定义域.
（1）
（2）



（3），①；②
（4）

【答案】奇；偶；非奇非偶，既奇又偶；非奇非偶




变4
判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2），


（3）
（4），



【答案】偶；非奇非偶；奇；奇




变5
下列函数中既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
例5

1.若函数是奇函数，是偶函数，则是_____函数；是_____函数；
是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数.
2.①已知是偶函数，则函数是_____函数（奇/偶）；
②已知是奇函数，则函数是_____函数（奇/偶）；
③已知是奇函数，则函数是_____函数（奇/偶）.
【答案】1.非奇非偶；奇；奇；偶；偶；偶；偶；2.偶；奇；偶

变6
设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是奇函数
D．是奇函数
【思路分析】由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．
【答案】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）为奇函数，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．
再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，
可得 f（x）g（x）为奇函数，|f（x）|g（x）为奇函数，
故选：C．
题型二 函数奇偶性的性质

类型一 奇偶函数图像特点的应用

例1

已知定义在上的奇函数在单调递增，那么函数在上的单调性是_______．
【答案】单调递增
例2

已知定义在上的偶函数在上有最小值，最大值，那么函数在上有最大值_______，最小值_______．
【答案】5；2

变1
已知定义在上的偶函数在单调递增，那么函数在上的单调性是_______．
【答案】单减
变2
已知定义在上的奇函数在上有最小值，最大值，那么函数在上有最大值_______，最小值_______．
【答案】10；-3

类型二 利用奇偶性性质求参数的值

例1

已知函数为上的奇函数，求的值．
【答案】1



例2

已知函数（为常数）若为奇函数，求的值．
【答案】1



例3

已知函数是偶函数，求实数的值．
【答案】3



变1
若为奇函数，求值．
【答案】1




变2
已知函数是其定义域内的奇函数，且，求 的表达式．

变3
为上的偶函数，求的值．
【答案】1


类型三 利用奇偶性性质求函数的值

例1

已知，．若，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
例2

定义在函数满足，且当时，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
变1
已知函数，．若，则的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
例3

已知，若，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A

例4

已知，若，则_______．
【答案】14
变2
已知，若，则_______．
【答案】-26
变3
已知函数，若，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
类型四 利用奇偶性性质比较大小

例1

设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为函数是偶函数，所以
因为时，是增函数，所以，所以.故选：A
例2

已知函数是偶函数，当时， 恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】当时，，则，
所以，函数为上的增函数，
由于函数是偶函数，可得，
，
，因此，.故选：A.

变1
已知定义在R上的偶函数在上是减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】先化简，再利用函数的单调性判断得解.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以.
因为函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，
所以函数在上是增函数，
因为.
故选：D.
变2
已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为为偶函数，所以，
又因为且在上单调递增，所以，
所以，故选：B.
变3
设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，试确定，，之间的大小关系．
【答案】
【解析】
【分析】
先比较、、的大小，再根据奇偶性可得题设中三者之间的大小.
【详解】
因为当时，是减函数，故，
而为偶函数，故，
故.
题型三 利用奇偶性求函数的解析式

我们可利用函数的对称变换来快速的求解分段函数的解析式，即①f(x)→f(-x)，函数关于y轴对称（偶函数）；②f(x)→-f(-x)，函数关于原点对称（奇函数）.例如例1（1）题中，函数为奇函数，则x、y都要添上负号，即可快速选出答案A.
例1

（1）为定义在R上的奇函数，当时，，则时，（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）已知)是R上的奇函数，且当时，，则的解析式___________．
【答案】（1）A（2）
【解析】（1）设，则，
因为函数为定义在上的奇函数，且时，，
可得，即当时，.故选：A.
（2）由题得，
设，则，
又是奇函数，，
故答案为：．
例2

已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，___________．
【答案】.
【解析】当时，，所以，
因为是奇函数，
所以.
故答案为：.
变1
已知是定义在R上的奇函数，时，，则在，上的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为时，，
设，则，
所以，
又因为是定义在R上的奇函数，
所以，
故选： A.
变2
已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，___________．
【答案】
【解析】当时，，
则，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
故答案为：.
变3
已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则函数的解析式为___________．
【答案】
【解析】设，
所以，
因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，
所以.
所以函数的解析式为.
故答案为：

题型四 利用奇偶性解函数不等式

解函数不等式需要：1．函数的单调性；2．不等式两边都必须要上函数f(x)的形式．
若函数为偶函数，解不等式f(a)>f(b)：1.若函数在(0，+∞)上单增，那么只需满足|a|>|b|（或两边平方）；
2.若函数在(0，+∞)上单减，那么只需满足|a|