小学数学人教版五年级上册整数乘法运算定律推广到小数教案

人教版数学五年级上册《分段计费解决问题》教学设计

教材分析

认知冲突是个人已经建立的认知结构与当前面临的学习情境之间产生的矛盾与冲突，这种心理失衡会促使学生产生认知需要，引发深度学习。

“分段计费”问题是人教版教材五年级上册的教学内容，是学生学习函数的雏形。本节课以水费问题、出租车付费问题、停车费问题为载体，通过设置四次冲突，暴露学生的学习经验，并通过数形结合、辩论等形式改造学生的学习经验，从而提高学生解决问题的能力，以及结构化思维和可迁移的能力。下面是本节课的教学设计。

教学目标

1. 理解分段计费的含义，探究分段计费问题的数量关系，能运用分段计算的方法正确解决实际问题。

2. 经历自主探究分段计费问题的学习过程，感受分段计费问题的多元表达，进一步提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

3.初步体会数形结合、函数、分类等数学思想方法，感受数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。

教学重点：

了解分段计费问题的特点，掌握解决问题的方法。

教学难点：

探究分段计费问题的数量关系，初步体会函数思想。

教学过程

一、第1次冲突，引出课题

01导入，创设情境

数学来源于生活，也应用于生活。生活中的水费问题蕴含着怎样的数学问题呢？

仔细观察，从图中你获得了哪些数学信息？要求什么问题?

02尝试，暴露冲突

预设：

小明家：2.5×9=22.5（元）

小刚家：方法①3×17=51（吨）

方法 ②2.5×10+ 3×（17-10）=46（元）

03分析，辩论冲突

追问：小刚家的用水量哪种解决方法是正确的呢？

辩论：可以通过画图等方式来证明自己的观点。

通过辩论，证明方法②是正确的。

比较：小明家和小刚家的水费计算方法有什么异同？

小结：小明家是单一收费标准，小刚家是两段收费标准。

04揭题，寻找关键

（1）出示课题：像水费问题这样，将收费标准分成两段，计费也分成两段的问题叫“分段计费问题”。

（2）追问：解决“分段计费问题”的关键是什么呢？

①找到两段的分界点；

②明确每段的单价和对应的数量。

设计意图

创设“水费问题”情境，小明家和小刚家计算水费的不同方法，前者是学生已有的学习经验，后者则蕴含了新知。当用已有的经验解决新问题时产生了认知冲突，然后通过辩论、画图等形式改造了已有的经验，使学生对“分段计费问题”有了初步的感知。

二、第二次冲突，多元理解

01出示任务

请学生仔细思考并完成学习任务。

任务1：用画图、表格等思考工具表示出租车分段收费情况。

任务2：列式解答。

02反馈学习

（1）思考工具：列表

①列表分析，认识分界点（起步价）

②暴露冲突，理解进一法

追问：求出租车费该如何列式解答呢？

方法1：7＋1.5×3.3=11.95（元）

方法2：7＋1.5×4=13（元）

辩论：“不足1千米，按1千米计算。”什么意思？

小结：超过部分要用进一法取整数。

（2）思考工具：数轴

①数形结合

7＋1.5×4=13（元）

②假设法

假设每千米都是 1.5 元：1.5×7=10.5（元）

前3km少算的钱：7-1.5×3=2.5（元）

实际付的钱：10.5+2.5=13（元）

（3）思考工具：统计图

问：图A和图B哪幅图表达了题目的意思？（图B）为什么？

在图B中找到6.3千米和相应的车费。

图A和图B有什么相同和不同？

相同点：横轴表示行驶的距离，纵轴表示对应的价格；

分界点都是 3 千米；在行驶里程不超过 3 千米时，价格都是 7 元。

不同点：图 A，3km 后，价格随着路程的增加而增加；图 B，3km 后，每千米内的价格不变。

动画演示：

找到3.3千米和3.8千米以及相应的价格。

设计意图

这一环节首先通过辩论理解冲突点“不足1千米，按1千米计算”的意思；其次借助表格、数轴、统计图等思考工具进一步理解“分段计费问题”含义，通过同一问题的不同表征让学生初步体会函数、假设、数形结合等数学思想方法，提高学生信息整理、数学建模、问题解决的能力。

三、第三次冲突，逆向进阶

01猜问题，图转文

出示下图，问：这幅图表达了什么意思？从哪里看出来的？请根据图说出相关的信息。

通过讨论揭晓答案：这是停车场收费问题。

图意①：停车场2小时内，收费6元，超过2小时每小时收费2元；

图意②：停车场2小时内，收费6元，超过2小时每小时收费2元，8小时后不管停多久都收停车费20元。

02 辩冲突，明图意

辩题：哪个图意是正确的？你是从哪里看出来的？

小结：

分界点有两个：2 小时和 8 小时。

计费分三段：

第一段：前 2 小时内，收费 6 元

第二段：超过 2 小时，到6小时的部分每小时收费 2 元，不足 1 小时按 1 小时计算。

第三段：超过8小时，不论停车多久都是 20 元。

设计意图

前两个环节都是“先文后图”，本环节是“先图后文”，分别从“正向”“逆向”两个层次帮助学生理解“分段计费问题”。并且，前两个环节都是分两段计费的，本环节分三段计费，再一次打破学生的思维定势，提高了学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

四、第四次冲突，结构化理解

01知识结构化

问：同学们，学了这节课，你有什么收获？

根据学生不同的表达，整合学生的认知冲突，动态完成下图。

02回归生活意义

问“分段计费”的意义是什么呢？

小结：节约资源，降低成本。

设计意图

“学习任何学科知识，归根结底就是掌握该学科的基本知识结构”。每一节数学课都应该让学生进行结构化小结，首先，要对数学知识进行“梳理与整合”，从而让学生的认知结构得以重构和突破；其次，要对数学思想方法进行归纳和总结，以提高学生可迁移的能力。