高中数学必修第一册人教A版（2019）4.1《指数》知识探究 素材

《指数》知识探究探究点1 根式1.根式的概念(1)在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数;负数的奇次方根是一个负数;零的奇次方根是零.设是大于1的奇数,则的次方根是.(2)在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数;零的偶次方根是零;负数的偶次方根没有意义.设是大于1的偶数,则的次方根是.2.根式的性质根据次方根的意义,可以得到:(1).(2)【要点辨析】1.在次方根的概念中,关键是数的次方根满足,因此求一个数的次方根就是求哪个数的次方等于.2.求的次方根的运算称为开方运算,开方运算与乘方运算是互逆运算.3.与的区别是实数的次方根,是一个恒有意义的式子,不受的奇偶限制,但这个式子的值受的奇偶限制.算法是对先乘方,再开方(都是次),结果不一定等于,当为奇数时,;当为偶数时,学科素养:根据根式的概念和性质解决问题,从而培养学生的数学运算核心素养.典例1-1 [分析计算能力](2018广西南宁三中高一检测)求使等式成立的实数的取值范围.解析:根据根式的意义和性质进行分析计算,即可解答本题.具体解题过程如下:原式,要使成立,需解得.典例1-2  [推测解释能力](1)(2019广西南宁三中高一检测)下列说法:①的运算结果是;②16的4次方根是2;③当为大于1的偶数时,只有当时才有意义;④当为大于1的奇数时,对任意有意义.正确的是__________.(2)(2019山东潍坊一中月考)若,则下列说法中正确的是_______.①当为奇数时,的次方根为;②当为奇数时,的次方根为;③当为偶数时,的次方根为;④当为偶数时,的次方根为.(3)(2018四川成都七中高一检测)若.则实数的取值范围是(    )A.B.C.D.解析:理解根式性质是解决本题的关键.具体解题过程如下:(1)因为偶次根式的结果只能是正数,偶次方根的结果有正有负,所以③④正确.(2)当为奇数时,的次方根只有1个,为;当为偶数时,由于,所以的次方根有2个,为,所以②④是正确的.(3),所以,解得.答案:(1)③④   (2)②④   (3)探究点2 分数指数幂1.的意义(1)分数指数幂不可理解为个相乘,它是根式的一种新的写法,规定..(2)根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式不同而已.同时,指数幂概念实现了由整数向有理数的扩充.的指数幂0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义.3.分数指数幂的运算性质在形式上与整数指数幂的运算性质完全一致.【要点辨析】1.规定的原因:指数幂的概念扩充到有理数指数幂后,当时,有时有意义,有时无意义.如,但就没有意义了,为了保证算取任何有理数时,有意义,所以规定.2.有时必须注意幂指数不能随意约分,如,而在实数范围内无意义.学科素养:利用分数指数幂的性质解决问题,提升数学运算、逻辑推理核心素养.典例2  ［简单问题解决能力］(1)(2018湖北武汉三中高一周测的值是(   )A.1B.C.D.(2)(2018河北承德二中高一周测)把下列根式化成分数指数幂的形式,其中.①;②;③;④.解析:根据分数指数幂的性质进行数学运算和推理是解决本题的关键.具体解题过程如下:(1)原式.答案:(1)D(2)①;②;③;④.探究点3 指数幂运算及其性质1.有理数指数幂对于任意的有理数,均有下面的运算性质:(1).(2).(3).(4).(5).2.无理数指数幂(1)由于无理数是无限不循环小数,因此可以取无理数的近似值来逐步逼近它,即从不足近似值和过剩近似值来逐步逼近,那么无理数指数幂便可从有理数指数幂加以逼近,所以,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.(2)对于任意实数,都有的无理数指数幂是0,0的负无理数指数幂没有意义.【要点辨析】1.实数指数幂的运算性质整数指数幂运算性质底数、指数取值范围实数指数幂运算性质底数、指数取值范围,且,且,,且2.幂指数幂指数定义底数的取值范围整数指数正整数指数零指数且负整数指数且分数指数正分数指数,且互质)为奇数为偶数负分数指数1,且互质)为奇数且为偶数无理数指数当且是无理数时,也是一个确定的实数一般规定学科素养:利用指数幂的运算性质解决化简求值问题,提升数学运算、数学抽象核心素养.典例3  [分析计算能力]化简求值:(1);(2);(3);(4);(5);(6).思路:本题主要考查学生的分析计算能力.进行指数幂运算时,根据式子的结构特点,灵活运用计算法则.通常,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,便于进行乘除、乘方、开方运算.化简的结果形式上要统一,不能既含根号,又含分数指数幂;也不能既有分母,又有负整数幂.具体解题过程如下:解析:(1)原式.(2)原式.(3)原式.(4)原式.(5)原式.(6)原式.