四川省达州市2022-2023学年高二下学期期末监测数学（文）试题

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达州市2023年普通高中二年级春季期末监测数学试题（文科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再求两集合的交集.【详解】由，得，所以，因为，所以，故选：A2. 复数，则的虚部是（    ）A. bi B.  C. 0 D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解作答.【详解】复数，则，因此，所以的虚部是0.故选：C3. 某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：身高范围（单位：cm）学生人数54040105根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（    ）A. 165 B. 167 C. 170 D. 173【答案】B【解析】【分析】根据给定的频率分布表，求出各分组区间的中间值与对应频率积的和作答.【详解】由数表知，身高在区间内的频率依次为：，则，所以该地区高三学生的平均身高约为.故选：B4. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式结合已知条件可求得结果.【详解】因为，所以，故选：A5. 是定义域为R的奇函数，，，则（    ）A. 3 B.  C. 6 D. 0【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用函数的周期性及奇偶性求解作答.【详解】由知，函数是以4为周期的周期函数，又是奇函数，，所以.故选：B6. 已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由离心率为2，利用双曲线的性质可得，由此可得渐近线的方程．【详解】由得双曲线的渐近线方程为．∵双曲线的离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为 ．故选：A．7. 设，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数与正弦函数的性质求出，，的范围，即可求解.【详解】因为，，，所以.故选：D.8. 已知1，，，成等差数列（，，都是正数），若其中的3项按一定的顺序成等比数列，则这样的等比数列个数为（    ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】设出等差数列的公差，再对每个3项按照不同顺序构造等比数列进行判断即可.【详解】设这个等差数列的公差为，则此数列为，而数列各项都为正，则，若是的等比中项，则，解得，等比数列为；若是的等比中项，则，解得或，等比数列为；若1是的等比中项，则，解得或，等比数列为；若是的等比中项，则，解得或，等比数列为或或；若是的等比中项，则，解得或，等比数列为；若1是的等比中项，则，解得或，等比数列为；若是的等比中项，则，解得或，等比数列为或或；若是的等比中项，则，解得或，等比数列为；若1是的等比中项，则，解得或，等比数列为；若是的等比中项，则，解得，等比数列为；若是的等比中项，则，解得或，等比数列为；若是的等比中项，则，解得或，等比数列为，所以这样的等比数列为或或或或，共5个.故选：C9. 已知棱长为正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ）A. 1 B.  C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面平行求出的关系，再借助二次函数求出向量模的最小值作答.【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，  则，，于是，即有，向量是平面的一个法向量，，则，而，于是，因为平面，则，即，化简得，即，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：C10. 如图，函数的图象交坐标轴于点B，C，D，直线BC与曲线的另一交点为A．若，的重心为，则（    ）  A. 函数在上单调递减B. 直线是函数图象的一条对称轴C. D. 将的图象向左平移个单位长度，得到的图象【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象求出函数解析式，由正弦函数的性质判断AB；求出点的坐标，利用夹角公式求出判断C；由三角函数的图象变换判断D作答.【详解】依题意，重心为，则点是线段的中点，且，函数的周期，即，解得，即，由，得，而，则，因此，对于A：当时，，而函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，A错误；对于B：，因此直线不是函数图象的对称轴，B错误；对于C：由，得，而点是线段的中点，于是点，而点，则，，，，，因此，C正确；对于D：将的图象向左平移个单位长度得到的图象，D错误.故选：C11. 椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据蒙日圆的定义，将问题转化为两圆有公共点的问题，根据两圆关系即可求解.【详解】由题意可知：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为圆：，圆心由于在圆，圆心，故两圆有公共点即可，故两圆的圆心距为，故.故选：D12. 设是正项数列的前n项和，，则（    ）A. 如果，那么 B. C. 如果，那么 D. 【答案】D【解析】【分析】根据即可排除BC,根据，即可排除A,由排除法进而可判断D.【详解】由，当时，由于，所以，此时，故排除C，当时，显然不满足,故排除B,对于A,由于，当时，,所以，由于,,所以,故,故排除A，因为，故，故，故，故D成立.故选：D【点睛】递推关系式转化的常见形式（1）转化为常数，则数列是等差数列．（2）转化为常数，则数列是等差数列．（3）转化为常数，则数列是等差数列．（4）转化为常数，则数列是等差数列．（5）转化为常数，则数列是等差数列．（6）转化为常数，则数列是等差数列．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 平面向量，满足，，则______．【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标表示计算作答.【详解】因为，，则，所以.故答案为：114. 如果x，y满足，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中，  令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最小，最小，即，所以的最小值为.故答案为：15. 某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4 cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为______cm．【答案】【解析】【分析】依题意该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高的最小，则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，求出正四面体外接球的半径，即可得解.【详解】依题意该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高最小，则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，如图正四面体，设点在面内的射影为，即面，则球心上，，所以，设外接圆的半径为，，所以，在中，，即，解得，所以该圆柱形容器内壁高的最小值为.  故答案为：16. 已知是曲线上的点，是曲线上的点，恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】要恒成立即求的最小值，因为曲线与曲线互为反函数，关于直线对称，故的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍，利用导数的几何意义求出即可.【详解】要恒成立即求的最小值，因为曲线与曲线互为反函数，所以图像关于直线对称，又是曲线上的点，是曲线上的点，所以的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍，由，设与直线的平行且在上的切点为：，则，即，所以曲线上切点为，所以到直线的距离的最小值即为点到直线的距离的最小值，即，所以，所以，即实数a的取值范围是：.故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．（1）求和的值；（2）若的面积为，求的值．【答案】（1），；    （2）13.【解析】【分析】（1）在中，利用同角公式、二倍角的正余弦公式及和角的余弦公式求解作答.（2）由（1）中信息，结合三角形的面积求出，再由正弦定理求解作答.【小问1详解】在中，，，则，而，则，，因此.【小问2详解】在中，由（1）知，而，则，于是的面积，解得，由正弦定理得，即，因此，所以.18. 某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？ 选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数   没选考物理的人数   合计    （2）若甲、乙、丙三人选考的是物理、化学和生物，A，B两人选考的是历史、地理和政治，从这5人中随机选出2人，求这两人中选考物理和政治的各一人的概率.附参考数据和公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.70638415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】（1）列联表见解析，可以    （2）【解析】【分析】（1）根据题意完成列联表，再计算出与比较即可得出判断；（2）列举出从5人中抽取2人包含基本事件，再分析出选考物理和政治的各一人的基本事件，根据古典概型计算公式，计算即可.【小问1详解】根据题意，选考物理的考生有人，选考政治的考生有人，列联表补充完整如下： 选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数8040120没选考物理的人数701080合计15050200因为，所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.【小问2详解】从5人中抽取2人包含的基本事件有甲乙、甲丙、乙丙、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B、AB，共10个，其中选考物理和政治的各一人的基本事件有、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B，共6个，所以所求概率.19. 已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点．  （1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）连接，证明与可得，平面，利用线面垂直的性质可得结论；（2）求出，结合E为PB中点，可得，利用可得答案.【小问1详解】连接，因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以，且是的中点，因为，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以  【小问2详解】因为，所以，又因为，所以，即，因为平面ABCD，所以平面ABCD，因为底面ABCD是边长为2的菱形，且，，所以，因为E为PB中点，所以，所以20. 已知是抛物线上的点．当时，．（1）求E的标准方程；（2）F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．【答案】（1）；    （2）4.【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程求解作答.（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线定义结合韦达定理求出点B的横坐标作答.【小问1详解】依题意，抛物线过点，则，解得，所以E的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，抛物线E的焦点，准线方程为，  显然直线不垂直于轴且斜率不为0，设直线的方程为：，点，由消去并整理得：，则，，而，解得，于是，，所以.21. 已知函数．（1）若，函数的极大值为，求a的值；（2）若在上恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后分，和三种情况求函数的极大值，使其极大值等于，从而可求出a的值；（2）问题转化为在上恒成立，当时，上式恒成立，当时，构造函数，然后利用求出其最小值大于等于零，从而可求出a的取值范围．【小问1详解】由，得，①当时，，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，不合题意，②当时，令，则当时，，当时，，所以当时，取得极大值，解得，③当时，令，则或，当时，，则在上递增，所以无极值，所以不合题意，当时，，当或时，，当时，，所以在和上递增，在上递减，所以当时，取得极大值，解得（舍去），综上，【小问2详解】由在上恒成立，得在上恒成立，当时，上式恒成立，当时，令，则，①当时，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时取得极小值，也是最小值，所以，解得，②当时，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以，解得，综上，，即a的取值范围为【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题和不等式恒成立问题，解题的关键是对函数求导后，合理分类判断导数的正负，考查数学分类思想和计算能力，属于较难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程］22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出直线l的参数方程（用P点坐标与表示）和曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的最小值．【答案】（1）（为参数），；    （2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出直线l的参数方程，再用极坐标与直角坐标互化公式求出曲线C的极坐标方程.（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义求解作答.【小问1详解】因为直线l过点且倾斜角为，则直线l的参数方程为（为参数），把代入方程得：，所以曲线C的极坐标方程是.【小问2详解】由（1）知，把直线l的参数方程代入方程得：，设点所对参数分别为，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.    ［选修4-5：不等式选讲］23. 已知函数，函数的最小值为k．（1）求k的值；（2）已知a，b，c均为正数，且，求的最小值．【答案】（1）3；    （2）.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求解作答.（2）由（1）的结论，利用柯西不等式求解作答.【小问1详解】依题意，，当且仅当，即时取等号，所以k的值为3.【小问2详解】由（1）知，，而均为正数，所以，当且仅当时取等号，由解得，所以当时，取得最小值.