专题05 极值点偏移问题与拐点偏移问题 -新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题05 极值点偏移问题与拐点偏移问题【考点预测】1.极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。             图1 极值点不偏移                     图2  极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。【方法技巧与总结】1.对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2.应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.3. 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.【题型归纳目录】题型一：极值点偏移:加法型题型二：极值点偏移:减法型题型三：极值点偏移:乘积型题型四：极值点偏移:商型题型五：极值点偏移:平方型题型六：拐点偏移问题  【典例例题】题型一：极值点偏移:加法型例1．（2022•浙江期中）已知函数有两个不同的零点，．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．  例2．（2022•汕头一模）已知函数有两个相异零点，．（1）求的取值范围；（2）求证：．例3．（海淀区校级月考）已知函数，．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）若，求的零点个数；（Ⅲ）若有两个零点，，证明：．  例4．（2022•江门一模）已知函数，是常数．（Ⅰ）求曲线在点，（2）处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；（Ⅱ）证明：时，设、是的两个零点，且．  题型二：极值点偏移:减法型例5．（2022•七星区校级月考）已知函数．（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．  例6．（2022•常熟市月考）设函数，，其中．（1）若，证明：当时，；（2）设，且，其中是自然对数的底数．①证明恰有两个零点；②设如为的极值点，为的零点，且，证明：．  例7．（2022•黄州区校级模拟）已知函数，的导数为．（1）当时，讨论的单调性；（2）设，方程有两个不同的零点，，求证：．   例8．（2022•道里区校级二模）已知函数，为函数的导数．（1）讨论函数的单调性；（2）若当时，函数与的图象有两个交点，，，，求证：．     题型三：极值点偏移:乘积型例9．（2021春•汕头校级月考）已知，函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围；设的两个零点分别为，，证明：．   例10．（2022•攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．  例11．（2022•张家口二模）已知函数是自然对数的底数）有两个零点．（1）求实数的取值范围；（2）若的两个零点分别为，，证明：．  例12．（2022•武进区校级月考）已知函数．（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（2）若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；（3）若方程有两个不等的实数根、，试证明．   题型四：极值点偏移:商型例13．已知函数有两个相异零点、，且，求证：．  例14．（2022•新疆模拟）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）已知，，为函数的两个极值点，求的最大值． 例15．（2021春•湖北期末）已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性：（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．  例16．（2022•宁德三模）已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性：（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．  题型五：极值点偏移:平方型例17．（2022•广州一模）已知函数．（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，，且，证明：．    例18．（2022•浙江开学）已知，（其中为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：．      例19．（2021秋•泉州月考）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若是自然对数的底数），且，，，证明：．     例20．（2022•开封三模）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，对于任意，证明：．   题型六：拐点偏移问题 例21．已知函数．（1）求曲线在点，（1）处的切线方程．（2）若正实数，满足，求证：．      例22．已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：．           例23．已知函数，．（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，若存在正实数，满足，求证：．     【过关测试】1．（2022·天津河东·二模）已知函数（且）．(1)，求函数在处的切线方程．(2)讨论函数的单调性；(3)若函数有两个零点，且，证明：． 2．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：. 3．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：①；②；③；请从①②③中任选一个进行证明．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数(1)求证：当时，；(2)当方程有两个不等实数根时，求证： 5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，（其中是自然对数的底数）(1)试讨论函数的零点个数；(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.   6．（2022·安徽淮南·二模（理））已知函数．(1)若，证明：时，；(2)若函数恰有三个零点，证明：． 7．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数.(1)讨论的单调性和最值；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：. 8．（2022·山东·青岛二中高三期末）已知函数，.(1)讨论f（x）的单调性；(2)若时，都有，求实数a的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：. 9．（2021·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：. 10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数，求的单调区间；(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：. 11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．(1)求的单调区间和极值；(2)若存在，满足，求证：． 12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若f（1）=2，求a的值；(2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明：①；②. 13．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知函数.(1)求的单调区间；(2)已知，且，若，求证：.