专题08 证明不等式问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题08 证明不等式问题【方法技巧与总结】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形 【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）题型三：分析法题型四：凹凸反转、拆分函数题型五：对数单身狗，指数找朋友题型六：放缩法题型七：虚设零点题型八：同构法题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理题型十：分段分析法、主元法、估算法题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值题型十二：函数与数列不等式问题题型十三：三角函数         【典例例题】题型一：直接法例1．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：，． 例2．设函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当且时，证明：． 例3．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当，，时，证明：． 题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）例4．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：当时，． 例5．已知．（1）若时，不等式恒成立，求的取值范围；（2）求证：当时，． 例6．已知函数．（1）当时，求在点，处的切线方程；（2）当时，若的极大值点为，求证：． ．例7．已知函数．（1）判断的单调性，并说明理由；（2）若数列满足，，求证：对任意，． 题型三：分析法例8．已知，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）． 例9．已知，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：．（参考数值： 例10．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：． 题型四：凹凸反转、拆分函数例11．已知函数且（1）．（1）求函数的单调区间；（2）证明：． 例12．已知函数，．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：当时，．  例13．已知函数．（Ⅰ）当时，判断函数的单调性；（Ⅱ）证明：当时，不等式恒成立． 题型五：对数单身狗，指数找朋友例14．已知函数．（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）当时，求证． 例15．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．（1）求、的值；（2）当且时．求证：． 例16．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数图象过点，求证：． 例17．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．   题型六：放缩法例18．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意的，当时，．  例19．已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，． 例20．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）解关于的不等式 题型七：虚设零点例21．设函数．（1）讨论的导函数零点的个数；（2）证明：当时，． 例22．设函数．（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；（Ⅱ）证明：当时，． 例23．已知函数．（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若，证明：当时，．参考数据：，． 题型八：同构法例24．已知函数．（1）讨论在区间上的单调性；（2）当时，证明：． 例25．已知函数，．（1）讨论的单调区间；（2）当时，证明． 例26．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若，，证明：当时， 题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例27．已知函数，．（1）若恰为的极小值点．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求在区间上的零点个数；（2）若，，又由泰勒级数知：，．证明：．   例28．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．  例29．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，，．（1）证明：当时，；（2）设，若区间，满足当定义域为，时，值域也为，，则称为的“和谐区间”，（ⅰ）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ⅱ）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 题型十：分段分析法、主元法、估算法例30．设且，函数．（1）若在区间有唯一极值点，证明：，；（2）若在区间没有零点，求的取值范围． 例31．已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，，． 例32．已知函数=.（1）讨论的单调性；（2）设，当时，,求的最大值；（3）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）例33．已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若取，试估计的范围．（精确到0.01）题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值例34．已知函数为自然对数的底数）．（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；（2）设方程有两个实数根，，求证：． 例35．已知函数为自然对数的底数）．（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；（2）若方程有两个实数根，，求证：． 例36．已知函数为自然对数的底数）．（1）求曲线在点，处的切线方程：（2）若方程有两个不等的实数根，，求证：． 题型十二：函数与数列不等式问题例37．已知函数，其中为实常数．（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；（2）证明：当时，；（3）求证：． 例38．证明：． 例39．已知，为自然对数的底数）．（1）求证：恒成立；（2）设是正整数，对任意正整数，，求的最小值．    题型十三：三角函数例40．已知函数.(1)设且，求函数的最小值；(2)当，证明：. 例41．已知函数，其中为自然对数的底数．（1）若，求实数的值；（2）证明：． 例42．已知.（1）当有两个零点时，求a的取值范围；（2）当，时，设，求证：.  【过关测试】1．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）已知函数，且．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有三个极值点，且，求证：． 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上有两个极值点，，且．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当时，． 3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知.(1)若在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明. 4．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知函数（其中是自然对数的底数）.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：. 5．（2022·江苏江苏·高二阶段练习）已知函数， .(1)试讨论f（x）的单调性；(2)若对任意 ， 均有 ，求a的取值范围；(3)求证: . 6．（2022·天津·模拟预测）已知函数.(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论；(2)若对于恒成立，求正整数的最大值；(3)求证：． 7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数.(1)若是的极值点，求的值域；(2)当时，证明： 8．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知函数在处的切线方程为.(1)求实数的值；(2)（i）证明：函数有且仅有一个极小值点，且；（ii）证明：.参考数据：，，，.    9．（2022·广东·高二阶段练习）关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.(1)证明：有唯一零点，且；(2)现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤：在处作曲线的切线，交轴于点； 在处作曲线的切线，交轴于点；……在处作曲线的切线，交轴于点；可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.（i）设，求的解析式(用表示)； （ii）证明：当，总有.    10．（2022·浙江大学附属中学高三阶段练习）已知函数．（其中e是自然底数，）(1)求证：；(2)求证：当；(3)当时，恒成立，求实数a的取值范围．