专题10 利用导数解决一类整数问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题10 利用导数解决一类整数问题【题型归纳目录】题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离题型二：整数解问题之直接限制法题型三：整数解问题之虚设零点题型四：整数解问题之必要性探路【典例例题】题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离例1．已知函数．（1）求函数在处的切线方程（2）证明：在区间内存在唯一的零点；（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．   例2．已知函数，.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）令，若在恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）.   例3．已知函数．（1）证明：在区间内存在唯一的零点；（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值．      题型二：整数解问题之直接限制法例4．已知偶函数满足，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有300个整数解，求实数的取值范围      例5．已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）试讨论的单调性；（2）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．    例6．已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在．请说明理由．       例7．已知集合，集合，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若中恰含有一个整数，求实数的取值范围．  题型三：整数解问题之虚设零点例8．设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）    例9．已知函数，求：（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，总有，求整数的最小值.     例10．已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；（3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．   例11．已知函数．（1）求函数在处的切线方程（2）证明：在区间内存在唯一的零点；（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．     题型四：整数解问题之必要性探路例12．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数（1）若函数与有公共点，求的取值范围；（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.    例13．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习）已知，，．（1）若，证明：；（2）对任意都有，求整数的最大值．     例14.是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值.        例15.求k的最大整数值.       【过关测试】1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）设函数，．(1)讨论的单调性；(2)若，且不等式对恒成立，求整数的最大值．   2．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性与极值；(2)当时，函数在上的最大值为，求使得上的整数k的值（其中e为自然对数的底数，参考数据：，）. 3．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）设函数．(1)当时，恒成立，求b的范围；(2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值． 4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中e为自然对数的底数，．(1)讨论函数的单调性；(2)当a＝0时，若存在使得关于x的不等式成立，求k的最小整数值．（参考数据：） 5．（2021·陕西·铜川市第一中学高二阶段练习（理））设函数.(1)求的单调区间；(2)当时，恒成立，求整数的最大值. 6．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值. 7．（2022·陕西汉中·二模（理））已知函数，曲线在点处切线方程为.(1)求实数a的值及函数的单调区间；(2)若时，，求整数m的最大值. 8．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）设函数， 为实数， 若有最大值为(1)求的值；(2)若，求实数的最小整数值. 9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数 ，为的导函数．(1)证明：当时，函数在区内存在唯一的极值点，；(2)若在上单调递减，求整数a的最小值． 10．（2022·全国·模拟预测）已知，e为自然对数的底数．(1)设在上的最小值为m，证明：；(2)若恒成立，求最大整数a的值．（参考数据：，，）