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专题19 数列的综合应用-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）
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这是一份专题19 数列的综合应用-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用），文件包含专题19数列的综合应用解析版docx、专题19数列的综合应用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共99页， 欢迎下载使用。
专题19 数列的综合应用
【题型归纳目录】
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用
题型二：数列中的新定义问题
题型三：数列与函数、不等式的综合问题
题型四：数列在实际问题中的应用
题型五：数列不等式的证明
题型六：公共项问题
题型七：插项问题
题型八：蛛网图问题
题型九：整数的存在性问题（不定方程）
题型十：数列与函数的交汇问题
题型十一：数列与导数的交汇问题
题型十二：数列与概率的交汇问题
题型十三：数列与几何的交汇问题
【典型例题】
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用
例1．（2023·全国·高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）
A．2696 B．2697 C．2698 D．2700
例2．（2022·新疆喀什·高三期末（文））70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的倍，那么训练n天产生的总数据量为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（ ）
A．200 B．210 C．220 D．242
例4．（2022·全国·模拟预测（理））《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
例5．（2022·山西太原·三模（理））斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的： 已知 是该数列的第100项，则m=（ ）
A．98 B．99
C．100 D．101
【方法技巧与总结】
（1）解决数列与数学文化相交汇问题的关键
（2）解答数列应用题需过好“四关”
题型二：数列中的新定义问题
例6．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，，若，则k等于（ ）
A．12 B．13 C．89 D．144
例8．（2022·全国·高三专题练习）高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，例如．已知数列满足，，设数列的前n项和为，则______．
例9．（2022·陕西西安·二模（理））“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”，表示把A中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如，则．设是一个有限“0，1数列”，定义，k=1，2，3，…．若有限“0，1数列”，则数列的所有项之和为______．
例10．（2022·甘肃张掖·高三阶段练习（文））已知数列满足．给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为________
例11．（2022·山东潍坊·模拟预测）对于项数为m(m≥3)的有穷数列，若存在项数为m+1的等比数列，使得，其中k=1，2，…，m，则称数列为的“等比分割数列”．已知数列7，14，38，60，则该数列的一个“等比分割数列”可以是_______．(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可)
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知表示不小于x的最小整数，表示不大于x的最大整数，如，，数列满足，且对，有，若为递增数列，则整数b的最小值为______．
例13．（2022·江苏南通·高三期末）数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．
例14．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：
①不可能为0；
②等差数列一定是“等差比数列”；
③等比数列一定是“等差比数列”；
④“等差比数列”中可以有无数项为0.
其中所有正确的序号是________．
例15．（2022·全国·高三阶段练习（文））任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数，根据上述运算法则得出，至少需经过个步骤变成(简称为步“雹程”).一般地，一个正整数首次变成需经过个步骤(简称为步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推，关系如下：已知数列满足为正整数)，，若，即步“雹程”对应的的所有可能取值的中位数为__________.
【方法技巧与总结】
（1）新定义数列问题的特点
通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．
（2）新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
题型三：数列与函数、不等式的综合问题
例16．（2022·山西吕梁·二模（文））已知是各项均为正数的等比数列，，且，则k的最小值是___________.
例17．（2022·山东烟台·三模）已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
例18．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，，.若对任意的正整数n，都有，则整数k＝（ ）
A．34 B．35 C．18 D．19
例19．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知等差数列的前n项和为，，.若对任意且，总有恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
例20．（2022·河南·模拟预测（理））已知数列中，，，则满足的n的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
例21．（2022·四川·树德中学高三开学考试（理））已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
例22．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
例23．（2022·浙江·高三专题练习）数列的前n项和为，且，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【方法技巧与总结】
（1）数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
（2）数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
恒成立；
恒成立.
题型四：数列在实际问题中的应用
例26．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．
(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）
(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．
例27．（2022·全国·高三专题练习）保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米．
(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?
(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于?
例28．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中（理））某高校2021届毕业生春季大型招聘会上，A，B两家公司的工资标准分别是：A公司许诺第一年的月工资为3000元，以后每年月工资比上一年月工资增加300元；B公司许诺第一年月工资为3500元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上增加5%.若某人被A，B两家公司同时录取，试问：
（1）若此人分别在A公司或B公司连续工作年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？
（2）此人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资总收入作为应聘的标准，此人应该选择哪家公司？
参考数据：.
例29．（2022·全国·高三专题练习）商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式（年利率5%，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.
（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；
（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）？（参考数据：lg1.7343=0.2391，lg1.05=0.0212，1.058=1.4774）
例30．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，….
记第行第个数为.
（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；
（Ⅱ）求第行所有数的和.
例31．（2022·全国·模拟预测（文））某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）
例32．（2022·辽宁实验中学模拟预测）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.日前正在世界范围内广泛传播，并对人类生命构成了巨大威胁.针对病毒对人类的危害，科研人员正在不断研发冠状病毒的抑制剂.某种病毒抑制剂的有效率为60%，现设计针对此抑制剂的疗效试验：每次对病毒使用此抑制剂，如病毒被抑制，得分为2分，如抑制剂无效，得分1分，持续进行试验.设得分为时的概率为.
（1）进行两次试验后，总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）求证：.
例33．（2022·全国·高三专题练习（理））足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．
（Ⅰ）为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．
下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．
【方法技巧与总结】
现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的3个关键点
①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
题型五：数列不等式的证明
例34．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列满足．
(1)求证：；
(2)求证：．
例35．（2022秋•邛崃市月考）已知函数，其中为实常数．
（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；
（2）证明：当时，；
（3）求证：．
例36．（2022•广州二模）已知数列和满足，且对任意都有，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）证明：．
例37．（2022秋•泰山区校级月考）设函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当且时证明不等式：．
例38．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数，，．
（1）求的最大值；
（2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）证明不等式（其中是自然对数的底数）．
例39．（2021·四川·射洪中学高三月考（文））已知函数，，.
（1）求的最大值；
（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；
（3）证明不等式：.
例40．（2021·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且.
（1）计算、、，猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明数列的通项公式；
（3）证明不等式对任意恒成立.
例41．（2021·全国·高二单元测试）设数列的前项和为，已知，且．
（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，且，证明；
（3）在（2）的条件下，若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．
例42．（2021·全国·高三月考（理））设函数，其中．
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当，且时，证明不等式．
【方法技巧与总结】
（1）构造辅助函数（数列）证明不等式
（2）放缩法证明不等式
在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：；.
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
方法1：对进行放缩，然后求和.
当既不关于单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对进行放缩，使目标变成可求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的度.
方法2：添舍放缩
方法3：对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含n的式子看作是一个数列的前n项的和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析出放缩法证明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一边不是含有n的式子，而是常数，则需要寻找目标不等式的加强不等式，再予以证明.
方法4：单调放缩
题型六：公共项问题
例43．（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列5，8，11，…，302与3，7，11，…，399，则它们所有公共项的个数为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
例44．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A． B．
C．的前项和 D．的前项和为
例45．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二开学考试）已知两个等差数列：5，8，11，…与：3，7，11，…，它们的公共项组成数列，则数列的通项公式___________；若数列和的项数均为100，则的项数是___________.
例46．（2022·北京昌平·高二期末）数列，，，，；，，，，，定义数列，，，，，，，.
①设，，，则数列的所有项的和等于___________；
②设，，，则数列与有___________个公共项.
例47．（2022·江苏·高二单元测试）将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为________
例48．（2022·江西·南昌市八一中学高一月考）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和为_____________．
例49．（2022·河南商丘·高三月考（理））将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.
题型七：插项问题
例50．（2022·全国·高三专题练习（文））若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第n（）次得到数列1，，，，…，，2；记，若成立，则n的最小值为___________.
例51．（2022·全国·高二课时练习）在和3之间插入n个数，使这个数组成和为的等差数列，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
例52．（2022·全国·高二专题练习）已知数列的通项公式为，在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…在和之间插入n个数，使成等差数列．这样得到一个新数列：，记数列的前项和为，有下列结论：①②③④其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例53．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，在，之间插入n个1，构成数列：，1，，1，1，，1，1，1，，…，则数列的前100项的和为（ ）
A．211 B．232 C．247 D．256
例54．（2022·全国·高二专题练习）在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（ ）
A． B．
C． D．
例55．（2022·全国·高二课时练习）等比数列的通项公式为，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列，那么162是新数列的
A．第5项 B．第12项 C．第13项 D．第6项
例56．（多选题）（2022·吉林松原·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
例57．（多选题）（2022·湖南·永州市第一中学高三月考）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（ ）
A． B． C． D．
题型八：蛛网图问题
例58．（2022秋•虹口区校级期中）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是 （参考数据：，
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
例59．（2022•浙江模拟）数列满足，，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是
A．若，则
B．若，则递减
C．若，则
D．若，则
例60．（2022•浙江模拟）已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项中错误的是
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
例61．（2022•下城区校级模拟）已知数列满足：，且，下列说法正确的是
A．若，则 B．若，则
C． D．
例62．（多选题）（2022秋•9月份月考）已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项正确的是
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
题型九：整数的存在性问题（不定方程）
例63．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
例64．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目.
设首项为2的数列的前项和为，前项积为，且___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例65．（2022·天津·耀华中学一模）设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前项和为，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.
例66．（2022·江苏南通·模拟预测）已知等差数列{an}满足a5=16，a7=22，正项等比数列{bn}的前n项和为Sn，满足S6=5S4－4S2，且b2=a1．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)是否存在n使得，若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
例67．（2022·江苏·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，现在有以下三个条件：
①数列的前n项和为；
②；
③，当时，．
从上述三个条件中任选一个，完成以下问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，试问中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由．
例68．（2022·辽宁辽阳·二模）①为等差数列，且；②为等比数列，且.从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在数列中，，________.
(1)求的通项公式；
(2)已知的前n项和为，试问是否存在正整数p，q，r，使得？若存在，求p，q，r的值；若不存在，说明理由.
例69．（2022·全国·高三专题练习（理））等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
5
8
2
第二行
4
3
12
第三行
16
6
9
(1)请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式.
(2)记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列?若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由.
例70．（2022·天津·耀华中学模拟预测）已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}前2k项和S2k；
(3)在数列{an}中，是否存在连续的三项am，am+1，am+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．
例71．（2022·浙江·舟山市田家炳中学高三开学考试）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
例72．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知等差数列的前项和为，公差，，且是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，是否存在一个非零常数，使得数列也为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
题型十：数列与函数的交汇问题
例73．（2022•龙泉驿区校级一模）已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则
A． B． C．2 D．3
例74．（2022•日照模拟）已知数列的通项公式，则
A．150 B．162 C．180 D．210
例75．（2022•新郑市校级模拟）已知等差数列的前项和为，若，
，下列为真命题的序号为
①；②；③；④．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
例76．（2022秋•仁寿县月考）设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是
A．， B．，
C．， D．，
例77．（2022•琼海校级模拟）已知函数．项数为27的等差数列满足，且公差，若，当时，则的值为
A．14 B．13 C．12 D．11
例78．（2022秋•江苏期中）已知定义域为的函数满足，当，时，，设在，上的最大值为则数列的前项和的值为
A． B． C． D．
题型十一：数列与导数的交汇问题
例79．（2022•全国模拟）函数，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．
（1）求；
（2）讨论的单调性；
（3）设，，证明：．
例80．（2022•枣庄期末）已知函数，，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．
（1）求；
（2）讨论函数和的单调性；
（3）设，，求证：．
例81．（2022•武侯区校级模拟）已知，，其中与关于直线对称）
（1）若函数在区间上递增，求的取值范围；
（2）证明：；
（3）设，其中恒成立，求满足条件的最小整数的值．
例82．（2022•揭阳一模）已知函数，，其中，．
（1）若函数有极值1，求的值；
（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；
（3）证明：．
题型十二：数列与概率的交汇问题
例83．（2022·江苏·镇江江河艺术高级中学有限公司高二期中）随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为（ ）参考答案
A． B． C． D．
例84．（2022·全国·高二专题练习）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（ ）轮传染？（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）
A．4 B．5 C．6 D．7
例85．（2022·江苏海安·模拟预测）如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点处，若移了次后，棋子落在上底面顶点的概率记为．则（ ）
A． B．
C． D．
例86．（2022·全国·高三专题练习（文））满足，的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列．如图，依次以斐波那契数列各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋”）．下图圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，若在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B．
C． D．
例87．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（文））意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，．若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A． B．
C． D．
例88．（2022·全国·高二课时练习）已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A． B． C．[－3，3] D．[0，1]
例89．（2022·河北·衡水第一中学高三月考（理））甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例90．（2022·江苏·海安高级中学高二期中）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
题型十三：数列与几何的交汇问题
例91．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和等于（ ）
A． B． C． D．1
例92．（2022·全国·高三专题练习）已知各项都不相等的数列，2，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ）
A．2014 B．2015 C．4028 D．4030
例93．（2022·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
例94．（2022·江西信丰·高三月考（理））已知ABCD-A1B1C1D1为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→……，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第与第段所在直线必须是异面直线(其中是自然数)，设白，黑蚂蚁都走完2011段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是
A．1 B． C． D．0
例95．（多选题）（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）已知双曲线且，设直线与双曲线在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，记的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．
C．数列为等差数列 D．
例96．（2022·湖北黄石·高三开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（ ）
A．向量与向量所成角为
B．
C．
D．若，则数列的前n项和为
专题19 数列的综合应用
【题型归纳目录】
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用
题型二：数列中的新定义问题
题型三：数列与函数、不等式的综合问题
题型四：数列在实际问题中的应用
题型五：数列不等式的证明
题型六：公共项问题
题型七：插项问题
题型八：蛛网图问题
题型九：整数的存在性问题（不定方程）
题型十：数列与函数的交汇问题
题型十一：数列与导数的交汇问题
题型十二：数列与概率的交汇问题
题型十三：数列与几何的交汇问题
【典型例题】
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用
例1．（2023·全国·高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）
A．2696 B．2697 C．2698 D．2700
例2．（2022·新疆喀什·高三期末（文））70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的倍，那么训练n天产生的总数据量为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（ ）
A．200 B．210 C．220 D．242
例4．（2022·全国·模拟预测（理））《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
例5．（2022·山西太原·三模（理））斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的： 已知 是该数列的第100项，则m=（ ）
A．98 B．99
C．100 D．101
【方法技巧与总结】
（1）解决数列与数学文化相交汇问题的关键
（2）解答数列应用题需过好“四关”
题型二：数列中的新定义问题
例6．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，，若，则k等于（ ）
A．12 B．13 C．89 D．144
例8．（2022·全国·高三专题练习）高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，例如．已知数列满足，，设数列的前n项和为，则______．
例9．（2022·陕西西安·二模（理））“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”，表示把A中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如，则．设是一个有限“0，1数列”，定义，k=1，2，3，…．若有限“0，1数列”，则数列的所有项之和为______．
例10．（2022·甘肃张掖·高三阶段练习（文））已知数列满足．给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为________
例11．（2022·山东潍坊·模拟预测）对于项数为m(m≥3)的有穷数列，若存在项数为m+1的等比数列，使得，其中k=1，2，…，m，则称数列为的“等比分割数列”．已知数列7，14，38，60，则该数列的一个“等比分割数列”可以是_______．(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可)
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知表示不小于x的最小整数，表示不大于x的最大整数，如，，数列满足，且对，有，若为递增数列，则整数b的最小值为______．
例13．（2022·江苏南通·高三期末）数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．
例14．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：
①不可能为0；
②等差数列一定是“等差比数列”；
③等比数列一定是“等差比数列”；
④“等差比数列”中可以有无数项为0.
其中所有正确的序号是________．
例15．（2022·全国·高三阶段练习（文））任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数，根据上述运算法则得出，至少需经过个步骤变成(简称为步“雹程”).一般地，一个正整数首次变成需经过个步骤(简称为步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推，关系如下：已知数列满足为正整数)，，若，即步“雹程”对应的的所有可能取值的中位数为__________.
【方法技巧与总结】
（1）新定义数列问题的特点
通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．
（2）新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
题型三：数列与函数、不等式的综合问题
例16．（2022·山西吕梁·二模（文））已知是各项均为正数的等比数列，，且，则k的最小值是___________.
例17．（2022·山东烟台·三模）已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
例18．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，，.若对任意的正整数n，都有，则整数k＝（ ）
A．34 B．35 C．18 D．19
例19．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知等差数列的前n项和为，，.若对任意且，总有恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
例20．（2022·河南·模拟预测（理））已知数列中，，，则满足的n的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
例21．（2022·四川·树德中学高三开学考试（理））已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
例22．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
例23．（2022·浙江·高三专题练习）数列的前n项和为，且，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【方法技巧与总结】
（1）数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
（2）数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
恒成立；
恒成立.
题型四：数列在实际问题中的应用
例26．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．
(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）
(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．
例27．（2022·全国·高三专题练习）保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米．
(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?
(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于?
例28．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中（理））某高校2021届毕业生春季大型招聘会上，A，B两家公司的工资标准分别是：A公司许诺第一年的月工资为3000元，以后每年月工资比上一年月工资增加300元；B公司许诺第一年月工资为3500元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上增加5%.若某人被A，B两家公司同时录取，试问：
（1）若此人分别在A公司或B公司连续工作年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？
（2）此人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资总收入作为应聘的标准，此人应该选择哪家公司？
参考数据：.
例29．（2022·全国·高三专题练习）商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式（年利率5%，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.
（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；
（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）？（参考数据：lg1.7343=0.2391，lg1.05=0.0212，1.058=1.4774）
例30．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，….
记第行第个数为.
（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；
（Ⅱ）求第行所有数的和.
例31．（2022·全国·模拟预测（文））某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）
例32．（2022·辽宁实验中学模拟预测）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.日前正在世界范围内广泛传播，并对人类生命构成了巨大威胁.针对病毒对人类的危害，科研人员正在不断研发冠状病毒的抑制剂.某种病毒抑制剂的有效率为60%，现设计针对此抑制剂的疗效试验：每次对病毒使用此抑制剂，如病毒被抑制，得分为2分，如抑制剂无效，得分1分，持续进行试验.设得分为时的概率为.
（1）进行两次试验后，总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）求证：.
例33．（2022·全国·高三专题练习（理））足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．
（Ⅰ）为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．
下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．
【方法技巧与总结】
现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的3个关键点
①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
题型五：数列不等式的证明
例34．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列满足．
(1)求证：；
(2)求证：．
例35．（2022秋•邛崃市月考）已知函数，其中为实常数．
（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；
（2）证明：当时，；
（3）求证：．
例36．（2022•广州二模）已知数列和满足，且对任意都有，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）证明：．
例37．（2022秋•泰山区校级月考）设函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当且时证明不等式：．
例38．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数，，．
（1）求的最大值；
（2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）证明不等式（其中是自然对数的底数）．
例39．（2021·四川·射洪中学高三月考（文））已知函数，，.
（1）求的最大值；
（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；
（3）证明不等式：.
例40．（2021·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且.
（1）计算、、，猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明数列的通项公式；
（3）证明不等式对任意恒成立.
例41．（2021·全国·高二单元测试）设数列的前项和为，已知，且．
（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，且，证明；
（3）在（2）的条件下，若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．
例42．（2021·全国·高三月考（理））设函数，其中．
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当，且时，证明不等式．
【方法技巧与总结】
（1）构造辅助函数（数列）证明不等式
（2）放缩法证明不等式
在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：；.
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
方法1：对进行放缩，然后求和.
当既不关于单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对进行放缩，使目标变成可求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的度.
方法2：添舍放缩
方法3：对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含n的式子看作是一个数列的前n项的和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析出放缩法证明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一边不是含有n的式子，而是常数，则需要寻找目标不等式的加强不等式，再予以证明.
方法4：单调放缩
题型六：公共项问题
例43．（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列5，8，11，…，302与3，7，11，…，399，则它们所有公共项的个数为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
例44．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A． B．
C．的前项和 D．的前项和为
例45．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二开学考试）已知两个等差数列：5，8，11，…与：3，7，11，…，它们的公共项组成数列，则数列的通项公式___________；若数列和的项数均为100，则的项数是___________.
例46．（2022·北京昌平·高二期末）数列，，，，；，，，，，定义数列，，，，，，，.
①设，，，则数列的所有项的和等于___________；
②设，，，则数列与有___________个公共项.
例47．（2022·江苏·高二单元测试）将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为________
例48．（2022·江西·南昌市八一中学高一月考）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和为_____________．
例49．（2022·河南商丘·高三月考（理））将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.
题型七：插项问题
例50．（2022·全国·高三专题练习（文））若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第n（）次得到数列1，，，，…，，2；记，若成立，则n的最小值为___________.
例51．（2022·全国·高二课时练习）在和3之间插入n个数，使这个数组成和为的等差数列，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
例52．（2022·全国·高二专题练习）已知数列的通项公式为，在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…在和之间插入n个数，使成等差数列．这样得到一个新数列：，记数列的前项和为，有下列结论：①②③④其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例53．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，在，之间插入n个1，构成数列：，1，，1，1，，1，1，1，，…，则数列的前100项的和为（ ）
A．211 B．232 C．247 D．256
例54．（2022·全国·高二专题练习）在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（ ）
A． B．
C． D．
例55．（2022·全国·高二课时练习）等比数列的通项公式为，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列，那么162是新数列的
A．第5项 B．第12项 C．第13项 D．第6项
例56．（多选题）（2022·吉林松原·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
例57．（多选题）（2022·湖南·永州市第一中学高三月考）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（ ）
A． B． C． D．
题型八：蛛网图问题
例58．（2022秋•虹口区校级期中）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是 （参考数据：，
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
例59．（2022•浙江模拟）数列满足，，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是
A．若，则
B．若，则递减
C．若，则
D．若，则
例60．（2022•浙江模拟）已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项中错误的是
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
例61．（2022•下城区校级模拟）已知数列满足：，且，下列说法正确的是
A．若，则 B．若，则
C． D．
例62．（多选题）（2022秋•9月份月考）已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项正确的是
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
题型九：整数的存在性问题（不定方程）
例63．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
例64．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目.
设首项为2的数列的前项和为，前项积为，且___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例65．（2022·天津·耀华中学一模）设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前项和为，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.
例66．（2022·江苏南通·模拟预测）已知等差数列{an}满足a5=16，a7=22，正项等比数列{bn}的前n项和为Sn，满足S6=5S4－4S2，且b2=a1．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)是否存在n使得，若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
例67．（2022·江苏·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，现在有以下三个条件：
①数列的前n项和为；
②；
③，当时，．
从上述三个条件中任选一个，完成以下问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，试问中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由．
例68．（2022·辽宁辽阳·二模）①为等差数列，且；②为等比数列，且.从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在数列中，，________.
(1)求的通项公式；
(2)已知的前n项和为，试问是否存在正整数p，q，r，使得？若存在，求p，q，r的值；若不存在，说明理由.
例69．（2022·全国·高三专题练习（理））等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
5
8
2
第二行
4
3
12
第三行
16
6
9
(1)请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式.
(2)记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列?若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由.
例70．（2022·天津·耀华中学模拟预测）已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}前2k项和S2k；
(3)在数列{an}中，是否存在连续的三项am，am+1，am+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．
例71．（2022·浙江·舟山市田家炳中学高三开学考试）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
例72．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知等差数列的前项和为，公差，，且是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，是否存在一个非零常数，使得数列也为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
题型十：数列与函数的交汇问题
例73．（2022•龙泉驿区校级一模）已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则
A． B． C．2 D．3
例74．（2022•日照模拟）已知数列的通项公式，则
A．150 B．162 C．180 D．210
例75．（2022•新郑市校级模拟）已知等差数列的前项和为，若，
，下列为真命题的序号为
①；②；③；④．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
例76．（2022秋•仁寿县月考）设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是
A．， B．，
C．， D．，
例77．（2022•琼海校级模拟）已知函数．项数为27的等差数列满足，且公差，若，当时，则的值为
A．14 B．13 C．12 D．11
例78．（2022秋•江苏期中）已知定义域为的函数满足，当，时，，设在，上的最大值为则数列的前项和的值为
A． B． C． D．
题型十一：数列与导数的交汇问题
例79．（2022•全国模拟）函数，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．
（1）求；
（2）讨论的单调性；
（3）设，，证明：．
例80．（2022•枣庄期末）已知函数，，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．
（1）求；
（2）讨论函数和的单调性；
（3）设，，求证：．
例81．（2022•武侯区校级模拟）已知，，其中与关于直线对称）
（1）若函数在区间上递增，求的取值范围；
（2）证明：；
（3）设，其中恒成立，求满足条件的最小整数的值．
例82．（2022•揭阳一模）已知函数，，其中，．
（1）若函数有极值1，求的值；
（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；
（3）证明：．
题型十二：数列与概率的交汇问题
例83．（2022·江苏·镇江江河艺术高级中学有限公司高二期中）随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为（ ）参考答案
A． B． C． D．
例84．（2022·全国·高二专题练习）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（ ）轮传染？（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）
A．4 B．5 C．6 D．7
例85．（2022·江苏海安·模拟预测）如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点处，若移了次后，棋子落在上底面顶点的概率记为．则（ ）
A． B．
C． D．
例86．（2022·全国·高三专题练习（文））满足，的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列．如图，依次以斐波那契数列各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋”）．下图圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，若在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B．
C． D．
例87．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（文））意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，．若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A． B．
C． D．
例88．（2022·全国·高二课时练习）已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A． B． C．[－3，3] D．[0，1]
例89．（2022·河北·衡水第一中学高三月考（理））甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例90．（2022·江苏·海安高级中学高二期中）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
题型十三：数列与几何的交汇问题
例91．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和等于（ ）
A． B． C． D．1
例92．（2022·全国·高三专题练习）已知各项都不相等的数列，2，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ）
A．2014 B．2015 C．4028 D．4030
例93．（2022·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
例94．（2022·江西信丰·高三月考（理））已知ABCD-A1B1C1D1为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→……，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第与第段所在直线必须是异面直线(其中是自然数)，设白，黑蚂蚁都走完2011段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是
A．1 B． C． D．0
例95．（多选题）（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）已知双曲线且，设直线与双曲线在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，记的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．
C．数列为等差数列 D．
例96．（2022·湖北黄石·高三开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（ ）
A．向量与向量所成角为
B．
C．
D．若，则数列的前n项和为
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