专题26 活用隐圆的五种定义妙解压轴题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）
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【题型归纳目录】
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
【典例例题】
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
例1．（2022•和平区校级月考）平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为
A． B． C． D．
例2．（2022春•温州期中）已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是
A． B． C．， D．
例3．（2022•延边州一模）如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．，，
例4．（2022•花山区校级期末）设点为直线上的动点，若在圆上存在点，使得，则的纵坐标的取值范围是
A．， B． C． D．
例5．（2022•广元模拟）在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值为 ．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
例6．（2022•普陀区二模）如图，是边长为1的正三角形，点在所在的平面内，且为常数）．下列结论中，正确的是
A．当时，满足条件的点有且只有一个
B．当时，满足条件的点有三个
C．当时，满足条件的点有无数个
D．当为任意正实数时，满足条件的点是有限个
例7．（2022•江苏模拟）在平面直角坐标系中，圆，圆为实数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为 ．
例8．（2022•通州区月考）在平面直角坐标系中，，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为 ．
例9．（2022•盐城三模）已知，，，四点共面，，，，则的最大值为 ．
例10．（2022•大武口区校级期末）已知圆，点，，点是圆上的动点，则的最大值为 ，最小值为 ．
例11．（2022•大观区校级期中）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，求的取值范围．
例12．已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
例13．（2022春•湖北期末）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A． B． C． D．
例14．（2022春•龙凤区校级期末）已知圆和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
例15．（2022•荆州区校级期末）已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为
A． B． C． D．
例16．（2022•浙江期中）已知点，，若圆上存在一点，使得，则实数的最大值是
A．4 B．5 C．6 D．7
例17．（2022•彭州市校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．，2 B．，4 C．，4 D．，2
例18．（2022•安徽校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A． B． C． D．
例19．（2022•北京模拟）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A． B． C． D．
例20．（2022春•大理市校级期末）已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为
A．7 B．6 C．5 D．4
例21．（2022春•红岗区校级期末）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则的最大值与最小值之差为
A．1 B．2 C．3 D．4
例22．（2022•兰州一模）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是
A．， B．， C．， D．，
例23．（2022•海淀区校级三模）过直线上的点作圆的切线，若在直线上存在一点，使得过点的圆的切线，，为切点）满足，则的取值范围是
A．， B．，
C．，， D．，，
例24．（2022春•东阳市校级期中）如图，四边形中，，，，，则的长度的取值范围是 ．
例25．（2022春•淮安校级期中）若实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点坐标为，则线段长度的最小值是 ．
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
例26．（2022•长治模拟）已知，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量，满足，则的最小值为 ．
例27．（2022春•瑶海区月考）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为
A．27 B．16 C．10 D．25
例28．（2022秋•沈河区校级期中）设向量，，满足：，，，，则的最大值为
A．2 B． C． D．1
例29．（2022•闸北区一模）在平面内，设，为两个不同的定点，动点满足：为实常数），则动点的轨迹为
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不确定
例30．（2022•和平区校级一模）如图，梯形中，，，，，和分别为与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
例31．（2022•宁城县一模）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点使得成立，那么的取值范围是
A． B． C． D．
例32．（2022•黄浦区校级三模）在边长为8的正方形中，是的中点，是边上的一点，且，若对于常数，在正方形的边上恰有6个不同的点满足：，则实数的取值范围是 ．
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
例33．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中指出：平面内与两定点距离的比为常数k（且的点的轨迹是圆，已知平面内两点A（，0），B（2，0），直线，曲线C上动点P满足，则曲线C与直线l相交于M、N两点，则|MN|的最短长度为（ ）
A． B． C．2 D．2
例34．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例35．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）
A． B． C． D．
例36．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知两定点，，动点与､的距离之比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
例38．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例39．（2022·江苏·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已经，，动点满足，则动点轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
例40．（2022·河南省杞县高中高三阶段练习（理））古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例41．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点为抛物线 上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
例42．（2022·全国·高三专题练习）被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点到两个不同定点的距离之比为常数，则点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，简称“阿氏圆”据此请回答如下问题：
已知中，A为一动点，为两定点，且，，面积记为，若时，则______若时，则取值范围为______．
专题38 圆锥曲线中的圆问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）： 这是一份专题38 圆锥曲线中的圆问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用），文件包含专题38圆锥曲线中的圆问题解析版docx、专题38圆锥曲线中的圆问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
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专题23 立体几何中的压轴小题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）： 这是一份专题23 立体几何中的压轴小题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用），文件包含专题23立体几何中的压轴小题解析版docx、专题23立体几何中的压轴小题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共110页， 欢迎下载使用。
