专题31 圆锥曲线的垂直弦问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题31 圆锥曲线的垂直弦问题

【方法技巧与总结】

1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点

6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．

7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．

8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，

9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

【题型归纳目录】

题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点

题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点

题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

题型七：内接直角三角形范围与最值问题

题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题

【典例例题】

题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点

例1．（2022·全国·高三专题练习）设分别是圆的左､右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为

(1)求椭圆C的离心率.

(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.

例2．（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（文））设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.

例3．（2022·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆的离心率为，在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于、两点（不同于点），且，为垂足，求三角形面积的最大值．

例4．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，，以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P，的内切圆的半径为，且的面积为1．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆的右顶点B作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点D和点E，若直线DE与x轴的交点为T，O为坐标原点，的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．

例5．（2022·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）已知长度为3的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设曲线C与y轴的正半轴交于点D，过点D作互相垂直的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，连接MN，试判断直线MN是否经过定点．若是，求出该定点坐标；若否，请说明理由.

题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

例6．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.

例7．（2022·广东广州·高三开学考试）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.

(1)求双曲线的方程；

(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

例8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，．且该双曲线过点．

(1)求C的方程；

(2)如图．过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．

题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点

例9．（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．

题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

例10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知F是椭圆的左焦点，焦距为4，且C过点．

(1)求C的方程；

(2)过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

例11．（2022·全国·高三开学考试（理））已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上.

(1)求E的方程；

(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点.

例12．（2022·全国·高三专题练习）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．

(1)求直线的斜率k的取值范围；

(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．

题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

例13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为.

(1)求点的轨迹方程；

(2)记点的轨迹为曲线，是曲线上的点，若直线，均过曲线的右焦点且互相垂直，线段的中点为，线段的中点为. 是否存在点，使直线恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

例14．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））动圆P与直线相切，点在动圆上．

(1)求圆心P的轨迹Q的方程；

(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN必过定点．

例15．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，过点作两条互相垂直的直线，设分别与抛物线相交于及两点，当点的横坐标为时，抛物线在点处的切线斜率为.

(1)求抛物线的方程；

(2)设线段的中点分别为，为坐标原点，求证直线过定点.

例16．（2022·河南·高三开学考试（文））已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，是以为底边的等腰三角形，且的面积为．

(1)求抛物线C的方程．

(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，试判断直线是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．

例17．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，的周长为．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．

例18．（2022·重庆·一模）抛物线，点是抛物线上一点，为此抛物线的焦点，为坐标原点，.

(1)求抛物线的方程；

(2)抛物线的两条互相垂直的弦和交于点和分别是和的中点，求到直线的最大距离.

题型七：内接直角三角形范围与最值问题

例19．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知椭圆C：的左焦点为，且过点（1，）.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过且互相垂直的两条直线，分别交椭圆C于A、B两点和 M、N两点，求的取值范围.

例20．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知椭圆的离心率为，过点作椭圆C的两条切线、互相垂直.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，若过点A作互相垂直的直线、分别与椭圆交于M、N两点，M、N两点不同于点A，求三角形BMN面积的最大值.

例21．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.

例22．（2022·全国·高三专题练习）已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．

题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题

例23．已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，

（1）求抛物线方程；

（2）若，求的值；

（3）过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于，，，四点，且，分别为线段，的中点，求的面积最小值．

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例24．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．

例25．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．

(1)求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；

(2)过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．

例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知抛物线，点F为其焦点，P为T上的动点，若|PF|的最小值为1.

(1)求抛物线T的方程；

(2)过x轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点和C，D，点H，K分别为的中点，求△EHK面积的最小值.

例27．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点F（2，0）且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)过点M（m，0）（m＞0）作两条互相垂直的直线，且与曲线交于A，B两点，与曲线交于C，D两点，点P，Q分别为AB，CD的中点，求△MPQ面积的最小值．

例28．（2022·全国·高三专题练习（文））已知抛物线，点为其焦点，点、在抛物线上，且直线过点，.

(1)求抛物线的方程；

(2)过焦点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点、和、，点、分别为、的中点，求面积的最小值.

例29．（2022·全国·高三专题练习）已知P(，)是椭圆C： (a>b>0)上一点，以点P及椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形面积为2．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过F2作斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，M是l1与C两交点的中点，N是l2与C两交点的中点，求△MNF2面积的最大值．

例30．（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））如图，已知抛物线的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为1．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|·|NF|的最小值．

例31．（2022·湖北·高三阶段练习（理））已知点P（x，y）是平面内的动点，定点F（1，0），定直线l：x=﹣1与x轴交于点E，过点P作PQ⊥l于点Q，且满足 .

（1）求动点P的轨迹t的方程；

（2）过点F作两条互相垂直的直线，分别交曲线t于点A,B，和点C，D.设线段AB和线段CD的中点分别为M和N，记线段MN的中点为K，点O为坐标原点，求直线OK的斜率k的取值范围.