专题32 一类与斜率和、差、商、积问题的探究-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题32 一类与斜率和、差、商、积问题的探究【方法技巧与总结】1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．【题型归纳目录】题型一：斜率和问题题型二：斜率差问题题型三：斜率积问题题型四：斜率商问题【典例例题】题型一：斜率和问题例1．（2022·全国·高三专题练习）已知动点到直线的距离比到点的距离大1．(1)求动点所在的曲线的方程；(2)已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；    例2．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．(1)求椭圆的方程；(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．    例3．（2022·贵州·高三阶段练习（理））平面内一动点到定直线的距离，是它与定点的距离的两倍.(1)求点的轨迹方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，（直线不与轴垂直）.其中，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，直线与直线交于点，若直线，，的斜率，，构成等差数列，求的值.    变式1．（2022·广西·模拟预测（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，点关于轴的对称点在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)、是抛物线上异于点的两个动点，记直线和直线的斜率分别为、，若，求证：直线过定点．    变式2．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.(1)求椭圆的方程；(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.    变式3．（2022·辽宁·模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.    变式4．（2022·广西·桂平市第五中学高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在第一象限.若，，求直线的方程；若，点为准线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列.    变式5．（2022·安徽·高三开学考试）已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.    变式6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别是，过点的直线交于两点（异于）.当直线过点）时，恰好为的中点.(1)求的离心率；(2)若，直线与交于点，直线的斜率分别为，证明：是定值. 变式7．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知双曲线和点.(1)斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点，求最小时的值.(2)过点的动直线与双曲线交于两点，若曲线上存在定点，使为定值，求点的坐标及实数的值.    变式8．（2022·山西大附中高三阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．    题型二：斜率差问题例4．（2022·全国·高三专题练习）椭圆C：的离心率，．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．    例5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.    例6．（2022·四川绵阳·高三期末（文））设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，若点、的中点的纵坐标为8，求点的坐标.    变式9．（2022·江西·南昌二中高三阶段练习（文））如图,已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点是抛物线上的一点.（1）求抛物线C的标准方程（2）若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线 MP,MQ的斜率分别为k1，k2,且满足,当P,Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由.    变式10．（2022·江苏南通·高三期末）如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2， ，求k2·(k1－) 的值．    题型三：斜率积问题例7．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.(1)求的方程；(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.    例8．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（文））已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.    例9．（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知双曲线：的焦距为4，且过点(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.    变式11．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.(1)求的方程；(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值.    变式12．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，设椭圆M：的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥OP．(1)求椭圆M的方程；(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．    变式13．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右焦点为，离心率为为椭圆的任意内接三角形，点为的外心.(1)求的方程；(2)记直线的斜率分别为，且斜率均存在.求证：.    变式14．（2022·山西长治·高三阶段练习）已知点在椭圆：（）上，且点到椭圆右顶点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．    变式15．（2022·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率.(1)求双曲线的方程；(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.    变式16．（2022·江苏南通·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.(1)求的方程；(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.    变式17．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.    变式18．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．    题型四：斜率商问题例10．（2022·湖南衡阳·三模（文））如图，已知动圆过点，且在轴上截得弦的长为4.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知，过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别与轨迹交于，两点，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.    例11．（2022·重庆一中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量绕原点逆时针旋转得到，则有旋转变换公式．已知曲线绕原点逆时针旋转得到曲线．(1)求曲线的方程；(2)，为曲线右支上任意两点，且直线过曲线的右焦点，点，延长分别与曲线交于两点．设直线和的斜率都存在，分别为与，问是否存在实数，使得恒成立？    例12．（2022·四川泸州·二模（理））已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，探究直线l是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.    变式19．（2022·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程；(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？    变式20．（2022·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.    变式21．（2022·北京市第四十四中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.    变式22．（2022·江苏·海安高级中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．    变式23．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线．，为C上两点，且，分别在第一、四象限．直线与x正半轴交于，与y负半轴交于．(1)若，求横坐标的取值范围；(2)记的重心为G，直线，的斜率分别为，，且．若，证明：λ为定值．    变式24．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．    变式25．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，求的值；(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．