专题33 圆锥曲线中的向量问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题33 圆锥曲线中的向量问题

【题型归纳目录】

题型一：向量的单共线

题型二：向量的双共线

题型三：三点共线问题

题型四：向量中的数量积问题

题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量

【典例例题】

题型一：向量的单共线

例1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线经过点，且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．

例2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的离心率，点、之间的距离为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，则是否存在常数，使得与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.

例3．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知P为曲线C上一点，M，N为圆与x轴的两个交点，直线，的斜率之积为．

(1)求C的轨迹方程；

(2)过点的直线与C交于A，B两点，若，求λ的取值范围.

变式1．（2022·全国·高三专题练习）已知，直线过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A、B两点，l与双曲线的两条渐近线、分别交于M、N两点．

(1)若，且当轴时，△MON的面积为，求双曲线的方程；

(2)如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．

变式2．（2022·湖北十堰·三模）在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点，且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆内切.

(1)证明为定值，并求点P的轨迹的方程.

(2)过点A的直线与轨迹交于另一点Q（异于点B），与直线交于一点G，∠QNB的角平分线与直线交于点H，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

变式3．（2022·全国·高三专题练习）已知、是椭圆：的左、右焦点，且椭圆经过点，又轴.

(1)求椭圆的方程；

(2)经过点的直线l与椭圆E相交于点C，D，并且，求直线l的方程.

变式4．（2022·全国·高三专题练习）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左､右焦点分别为，，从发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线，且满足，若，求实数m的取值范围.

变式5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于不同的两点.

（1）若直线经过，求的周长；

（2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程；

（3）若，求实数的取值范围．

变式6．（2022·广东·高三专题练习）已知椭圆C：，过C上一点的切线l的方程为．

（1）求椭圆C的方程．

（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由．

题型二：向量的双共线

例4．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线

交椭圆于、两个不同的点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；

(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．

例5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.

例6．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F．

(1)求抛物线的方程及a；

(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率．

变式7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．

(1)若，求直线的方程；

(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．

变式8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点离心率为

(1)求椭圆C的方程；

(2)当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足求线段PN长的最小值.

变式9．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知椭圆：（）的短轴长为，是椭圆上一点．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点（为常数，且）的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴相交于点，已知，，证明：．

变式10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率.

变式11．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点是以原点为圆心，半径为的圆上的一个动点.以原点为圆心，半径为的圆与线段交于点，作轴于点，作于点.

(1)令，若，，，求点的坐标；

(2)若点的轨迹为曲线，求曲线的方程；

(3)设（2）中的曲线与轴的正半轴交于点，与轴的正负半轴分别交于点，，若点､分别满足，，证明直线和的交点在曲线上.

变式12．（2022·全国·高三专题练习）顺次连接椭圆的四个顶点，得到的四边形的面积为，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为的直线.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知过点的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段上，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围.

变式13．（2022·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是拋物线的焦点，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证：.

变式14．（2022·上海青浦·二模）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于、两个不同的点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的倾斜角的取值范围；

（3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．

题型三：三点共线问题

例7．（2022·上海徐汇·二模）在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；

(3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

例8．（2022·上海市松江二中高三阶段练习）如图，已知、为抛物线Γ：的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于.

(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；

(2)求证：、、成等差数列，、、成等比数列；

(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及面积的最小值.

例9．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．

(1)求m的值；

(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．

变式15．（2022·广东·高三开学考试）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.

(1)求的值；

(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.

变式16．（2022·全国·高三专题练习）设直线（）与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且（为坐标原点）的面积为.

(1)求的值；

(2)与坐标轴不垂直的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.

变式17．（2022·重庆巴蜀中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线.

变式18．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．

(1)若直线平分线段，求的值；

(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；

(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．

变式19．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知椭圆：经过点，离心率为，为坐标原点.

(1)求的方程；

(2)设，分别为的左、右顶点，为上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：，，三点共线.

变式20．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆C：过点，离心率．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左右两个顶点分别为A，B．过点的直线与椭圆C交于M、N（不与A、B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，证明：B、N、Q三点共线．

题型四：向量中的数量积问题

例10．（2022·西藏拉萨·一模（文））已知椭圆经过点，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程．

例11．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，短轴长为4．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．

例12．（2022·北京四中高三开学考试）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点，直线、与直线分别交于点、.

(1)求椭圆的方程；

(2)求的取值范围.

变式21．（2022·江苏省响水中学高三开学考试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.

(1)求线段的中点的轨迹方程；

(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

变式22．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，.

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.

变式23．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，长轴右端点到左焦点的距离为．

(1)求椭圆的方程；

(2)点是圆上的一点，过作圆的切线，且切线与椭圆交于、两点，证明：．

变式24．（2022·云南昆明·模拟预测（理））已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为，离心率为．

(1)求C的方程；

(2)若直线l：与C交于点D，E，线段AD，AE的中点分别为P，Q．设过点且垂直于x轴的直线为，若直线OP与直线交于点S，直线OQ与直线交于点T，求．

题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量

例13．如图，已知椭圆，过椭圆上第一象限的点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，作于．证明：为定值.

例14．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．

（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值．