专题36 切线与切点弦问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题36 切线与切点弦问题
【方法技巧与总结】
1、点在圆上，过点作圆的切线方程为．
2、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
3、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
4、点在圆上，过点作圆的切线方程为．
5、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
6、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．
7、点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为．
8、点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
9、点在椭圆内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
10、点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．
11、点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
12、点在双曲线内，过点作双曲线的弦（不过双曲线中心），分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
13、点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．
14、点在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
15、点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
【题型归纳目录】
题型一：切线问题
题型二：切点弦过定点问题
题型三：利用切点弦结论解决定值问题
题型四：利用切点弦结论解决最值问题
题型五：利用切点弦结论解决范围问题
【典例例题】
题型一：切线问题
例1．已知平面直角坐标系中，点到抛物线准线的距离等于5，椭圆的离心率为，且过点．
（1）求，的方程；
（2）如图，过点，作椭圆的切线交于，两点，在轴上取点，使得，试解决以下问题：
①证明：点与点关于原点中心对称；
②若已知的面积是椭圆四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线的方程．

【解析】（1）解：因为点到抛物线的准线的距离等于5，
所以，解得，所以抛物线的方程为；
因为椭圆的离心率为，且过点，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为；
（2）①证明：因为，且直线与椭圆相切，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得，
因为直线与椭圆相切，
所以△，即，
联立，得，
设，，，，则；
设，因为，所以，
则，即，
即，
又，所以，即，
即点与点关于原点中心对称；
②解：椭圆四个顶点所围成菱形面积为，
所以的面积为，
则
，
令，即，
即，即，
即，
即，
因为，所以，，；
所以直线的方程为．
例2．某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：为定值．
【解析】（1）解：设直线为，，，，，
易得在点处切线为，在点处切线为，
由得，又，，可得，
故点的轨迹方程．
（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．
由韦达定理，得，，
所以，
因为，将用代，得，
所以．
例3．已知圆．
（1）求证：过圆上点，的切线方程为．类比前面的结论，写出过椭圆上一点，的切线方程（不用证明）．
（2）已知椭圆，为直线上任一点，过点作椭圆的切线，切点分别为、，求证：直线恒过定点．
【解析】（1）证明：因为圆，
故圆心，半径为，
又，，
所以，
因为，在圆上，
所以过的圆的切线斜率，
所以过的圆的切线方程为，①
又因为，②
由①②整理得，为．
所以过圆上点，的切线方程为．
过椭圆上一点，的切线方程为；
（2）设，，，，，，
由（1），则直线的方程，
因为在上，所以，①
同理可得，②
由①②可得直线的方程为，
令，得，
所以直线恒过点．
变式1．已知点，，动点满足，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）已知圆上任意一点，处的切线方程为：，类比可知椭圆：上任意一点，处的切线方程为：．记为曲线在任意一点处的切线，过点作的垂线，设与交于，试问动点是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）由椭圆的定义知点的轨迹为以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
设椭圆方程为，则，，
曲线的方程为．
（Ⅱ）设，，由题知直线的方程为，
当时，，的斜率为，，
与的方程联立，消得，
．
动点在定直线上，
当时，，，
，，在直线．
综上所述，动点在定直线上.
变式2．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
（1）圆上点，处的切线方程为 　　．理由如下：　　．
（2）椭圆上一点，处的切线方程为 ；
（3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，如图，则直线的方程是 　　．这是因为在，，，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；

（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，
化简得△得．
若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 　　．
（5）抛物线上一点，处的切线方程为；
（6）抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，分别过点，作抛物线的两条切线和，设，，，，则直线的方程为．直线的方程为，设和相交于点．则①点在以线段为直径的圆上；②点在抛物线的准线上．
【解析】解：（1）圆上点，处的切线方程为．
理由如下：
①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，
所以，
又过点，，
由点斜式可得，，
化简可得，，
又，
所以切线的方程为；
②若切线的斜率不存在，则，
此时切线方程为．
综上所述，圆上点，处的切线方程为．
（3）在，，，两点处，椭圆的切线方程为和，
因为两切线都过点，
所以得到了和，
由这两个“同构方程”得到了直线的方程为；
（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，
由，可得，
由△，可得，
因为，
则，
所以式中关于的二次方程有两个解且其乘积为，
则，
可得，
所以圆的半径为2，且过原点，其方程为．
故答案为：（1），理由见解析；
（3）；
（4）．
题型二：切点弦过定点问题
例4．定义：若点，在椭圆上，则以为切点的切线方程为：．已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点　　
A． B． C． D．
【解析】解：因为在直线上，则可设点的坐标为，，
设，，，，所以直线，的方程分别为：
，显然点的坐标适合两个方程，
代入可得：，则直线的方程为：
，即，
即，
令，解得，
所以直线过定点，
故选：．
例5．已知经过圆上点，的切线方程是．
（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点，的切线方程；
（2）已知椭圆，为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为、，
①求证：直线过定点．
②当点到直线的距离为时，求三角形的外接圆方程．
【解析】解：（1）切线方程为：．
（2）设切点为，，，，点，由（1）的结论的
直线方程：，直线方程：，
通过点，有，，满足方程：，
直线恒过点：即直线恒过点．
又已知点到直线的距离为．
，，．
当时，点，直线的方程为：．
求得交点．
设的外接圆方程为：，代入得，
解得：的外接圆方程为
即的外接圆方程为：．
例6．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点，到的距离为3．
（1）求抛物线的方程和点的坐标；
（2）设直线与抛物线交于，两点，抛物线在点，处的切线分别为，，若直线与的交点恰好在直线上，证明：直线恒过定点．
【解析】（1）解：由题意知，得，所以抛物线的方程为．
将点，代入，得，所以点的坐标为．
（2）证明：设，
由题意知．直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程，得，所以△，
，，，即，
则，所以抛物线在点处的切线的方程为，
化简得，同理直线的方程为，
联立方程，解得．
又因为直线与的交点恰好在直线上，所以，即．
所以．解得．故直线的方程为，所以直线恒过定点．
题型三：利用切点弦结论解决定值问题
例7．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点
（1）求椭圆的标准方程
（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为，，不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，，求证：为定值
【解析】解：（1）由题意得：，所以，
又因为点在椭圆上，所以，
可解得，，
所以椭圆标准方程为．
（2）证明：由题意：，
设点，，，，，，
因为，不在坐标轴上，所以，
直线的方程为，
化简得：，①
同理可得直线的方程为，②
把点的坐标代入①、②得，
所以直线的方程为③，
令，得，令得，
所以，，又点在椭圆上，
所以，
即为定值．
例8．已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程；
（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，，不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

【解析】解：（1）椭圆的右焦点的坐标为，
椭圆的左焦点的坐标为，
由椭圆的定义得，
，
，
由题意可得，即，
即椭圆的方程为；
（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，，，，
①当直线垂直轴时，易得，不合题意，
②当直线不垂直轴时，设直线
联立，消得，，①
则，，
，
解得，
直线方程的方程为或
（Ⅲ）设点，，，，，，连接，，
，，
，不在坐标轴上，
，，
直线的方程为，即，①
同理直线的方程为，②，
将点代入①②，得，
显然，，，满足方程，
直线的方程为，
分别令，，得到，．
，，
，满足；
，
即

题型四：利用切点弦结论解决最值问题
例9．已知抛物线上一点，到其焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，过直线上一点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，且直线与轴交于点．设直线，与轴的交点分别为，，求四边形面积的最小值．

【解析】解：（1）由，得，
所以抛物线的方程为．
（2）设，，，，
由可得在处的切线方程为，整理可得，
同理在处的切线方程为，
又因为两切线都过，
，即可得直线的方程为，
所以直线过点，即，
又，，，，
四边形的面积，
联立，可得，
，
所以．（当时取等号），
四边形面积的最小值为．
例10．已知为抛物线上一点，是抛物线的焦点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，，与抛物线相切于点，，与轴分别交于点，，求四边形面积的最大值．

【解析】解：（1），由抛物线定义知，，，．
（2）设，，，，，，，，
切线，因此：，
切线，因此：，
另一方面，点，在两切线上，从而满足：，
因此切点弦的方程为：，
直线与抛物线进行方程联立：，
从而，，
且，



，
当，时，，
，
，当且仅当时，取到最大值．

题型五：利用切点弦结论解决范围问题
例11．已知椭圆的长轴长为6，上一点关于原点的对称点为，为的右焦点，若，设，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，求面积的取值范围．
【解析】解：（1）由，即，又，
所以，，则椭圆的方程为；
（2）设，，，，
则直线的方程为，直线的方程为，
因为，在直线，上，
所以，，所以直线的方程为，
由消去，结合，和，
可得，
△，

，又点到直线的距离为，
，
又，记，，所以，，
所以，．
例12．已知椭圆的左焦点，，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求的面积的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，，，解得，，
所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）证明：设，，
①当直线，的斜率都存在时，设过与椭圆相切的直线方程为，
联立直线与椭圆的方程，
整理可得，△，
由题意可得△，整理可得，
设直线，的斜率分别为，，所以，
又，所以，
所以，即为圆的直径，所以；
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，
则直线的方程为，
所以，，也满足；
设点，，，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆的方程，消可得，
△，
由题意△，整理可得，
则，
所以直线的方程为：，
化简可得，
即，
经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或也满足，
同理可得直线的方程，
因为，在直线，上，所以，
所以可得直线的方程为，而在圆上，所以，
联立直线与椭圆的方程为，整理可得，
，，
所以到直线的距离，
弦长，
又点到直线的距离，
令，，，
则，而，，
所以的面积的取值范围是，．
例13．椭圆的两焦点分别为，，椭圆与轴正半轴交于点，．
（1）求曲线的方程；
（2）过椭圆上一动点（不在轴上）作圆的两条切线、，切点分别为、，直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，求的面积的取值范围．
【解析】解：（1）椭圆与轴正半轴交于点，．
可得，，
椭圆方程为．
（2）设，，线段的中点为，，，
以为直径的圆的半径为，
以为直径的圆的方程为，
即，又圆，
两式相减，
由，消去并化简得，

，，
，

，
由于，所以，，
对于函数，在上递增，
所以，，，．
．
变式3．已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．

【解析】解：（1）动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，，
动点到焦点的距离的最大值为，
可得，
所以椭圆的方程为：；
（2）圆的方程为，设直线上动点的坐标为，
设，，，，则直线的方程为，直线的方程为，
又在直线和上，即，
故直线的方程为．
由原点到直线的距离得，
联立，消去得，
设，，，，
则，
从而
记，
则，又设，
则，又设，
所以，设，
所以由得，
所以在上单调递增，，
即．
变式4．已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．

【解析】解：由使得的点恰有两个可得；动点到焦点的距离的最大值为，可得，即，
所以椭圆的方程是（4分）
圆的方程为，设直线上动点的坐标为设，，，，则直线的方程为，直线的方程为，又在直线和上，即，
故直线的方程为（6分）
联立，消去得，设，，，．
则，（8分）
从而（10分）
，
又，从而，所以，（12分）
变式5．已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为．
求椭圆的方程；
以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．
【解析】解：线，经过点，，被椭圆截得的弦长为．可得．
又，，解得：，，．
椭圆的方程为．
由可得：圆的方程为：．
设，则以为直径的圆的方程为：．
与联立可得：直线的方程为：，
设，，，，联立，化为：，
则，，
．又
圆心到直线的距离，
，
，
令，则，
，可得，可得：．
变式6．如图，已知点在半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，直线，，分别与轴交于点，，，记的面积为，的面积为．
（Ⅰ）若抛物线的焦点坐标为，求的值和抛物线的准线方程；
（Ⅱ）若存在点，使得，求的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ），．准线方程为直线．
（Ⅱ）设，，，，过点的切线方程，于是；
过点的切线方程，于是；
点，在两条切线上，所以，
可得点坐标为．
，于是，，
而，所以．
于是点，点的轨迹方程为，
问题转化为抛物线与半圆有交点．
记，则，又因为，
解得：．
所以的取值范围为，．
变式7．如图，设抛物线的焦点为，点是半椭圆上的一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线、分别交轴于点、．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）设点的坐标为，，直线方程为．
令，可知点的坐标为．
由，消去得．
因为直线与抛物线只有一个交点，
故△，即．
因为点的坐标为，
故，．
则．
因此，亦即．
（Ⅱ）设直线的方程为．
由（1）可知，满足方程．
故，是关于的方程的两个不同的实根．
所以．
由（1）可知：，同理可得．
故，．
则．
因为
所以．
因此，的取值范围是．