专题43 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题43 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题
【题型归纳目录】
题型一：仿射变换问题
题型二：非对称韦达问题
题型三：椭圆的光学性质
题型四：双曲线的光学性质
题型五：抛物线的光学性质
【方法技巧与总结】
一、仿射变换问题
仿射变换有如下性质：
1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；
2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；
3、其它不变关系．
我们以椭圆为例阐述上述性质．
椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：
（1）点变为；
（2）直线斜率变为，对应直线的斜率比不变；
（3）图形面积变为，对应图形面积比不变；
（4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）；
（5）弦长关系满足，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变
总结可得下表：

变换前
变换后
方程


横坐标


纵坐标


斜率


面积


弦长


不变量
平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比
二、非对称韦达问题
在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．
三、光学性质问题
1、椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如图1）．

【引理1】若点在直线的同侧，设点是直线上到两点距离之和最小的点，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线和直线的交点．
【引理2】若点在直线的两侧，且点到直线的距离不相等，设点是直线上到点距离之差最大的点，即最大，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线的延长线和直线的交点．
【引理3】设椭圆方程为，分别是其左、右焦点，若点在椭圆外，则．
2、双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点（如图）．

【引理4】若点在直线的同侧，设点是直线上到两点距离之和最小的点，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线和直线的交点．

【引理5】若点在直线的两侧，且点到直线的距离不相等，设点是直线上到点距离之差最大的点，即最大，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线的延长线和直线的交点．

【引理6】设双曲线方程为，分别是其左、右焦点，若点在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则．

3、抛物线的光学性质
从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行（或重合）．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．

【结论1】已知：如图，抛物线，为其焦点，是过抛物线上一点的切线，是直线上的两点（不同于点），直线平行于轴．求证：．（入射角等于反射角）

【结论2】已知：如图，抛物线，是抛物线的焦点，入射光线从点发出射到抛物线上的点，求证：反射光线平行于轴．

【典例例题】
题型一：仿射变换问题
例1．（2022·全国·高三专题练习）MN是椭圆上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则_________，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重合的点，则_________．CD是该椭圆过原点O的一条弦，直线CQ，DQ斜率均存在，则_________．
【答案】              
【解析】作变换，那么椭圆变为圆，方程为：，
是中点，那么，
∴，
是圆的左右顶点即直径，那么，∴，
是过圆心O的一条弦即直径，那么，
∴．
例2．（2022·全国·高三专题练习）如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为__________________________．

【答案】
【解析】如图，作仿射变换：，椭圆变为，直线的斜率变为直线的斜率，变为
，
由垂径定理平分，其方程为，
平分，
△内切圆的圆心所在的定直线方程为．
故答案为：

例3．（2022·全国·高三专题练习）Р是椭圆上任意一点，O为坐标原点，，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且，则面积为______________．
【答案】
【解析】作变换之后椭圆变为圆，方程为，
是的重心，又O是的外心
′是等边三角形，
∴．

故答案为：
变式1．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆交于M，N两点，当______，面积最大，并且最大值为______.记，当面积最大时，_____﹐_______.Р是椭圆上一点，，当面积最大时，______.
【答案】               4     2     1
【解析】作变换此时椭圆变为圆，方程为，
当时，最大，并且最大为，
此时，.
由于，，
∴，
，
因为，所以
.
故答案为：；；4；2；1.
变式2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求______________.
【答案】1
【解析】解法1：可得点，设，则，
由可得，即有，
，，两边同乘以，可得，解得，将代入椭圆方程可得，由可得，可得；
故答案为：．
解法2：作变换之后椭圆变为圆，方程为，
，
设，则，
，
∴，
，
∴.
故答案为：．
题型二：非对称韦达问题
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，离心率是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且的周长是，

直线与交于点M.
(1)求椭圆的方程；
(2)(ⅰ)求证直线与交点M在一条定直线l上；
(ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：是定值．
【解析】(1)设椭圆的焦距是2c，
据题意有：，，，则，
所以椭圆的方程是.
(2) (ⅰ)由(1)知，，，
设直线PQ的方程是，
代入椭圆方程得：，
易知，
设，，，
则
，
直线的方程是：   ①，
直线的方程是：   ②，
设，既满足①也满足②，
则
，
故直线与交点M在一条定直线l：x＝2上.
(ⅱ)设，，，则，
∴.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
【解析】（1）因为椭圆的离心率，，，
又，．
因为，所以，，
所以椭圆C的方程为．
（2）解法一：设直线，，，
，可得，
所以．
直线AM的方程：①
直线BN的方程：②
由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，
联立①②可得．
因为，
所以
所以点Q在直线上．
解法二：设，，，两两不等，
因为P，M，N三点共线，
所以，
整理得：．
又A，M，Q三点共线，有：①
又B，N，Q三点共线，有②将①与②两式相除得：


即，
将即
代入得：解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故）
所以Q在定直线上．
【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.
例6．（2022·全国·高三专题练习）点是椭圆的左右顶点若直线与椭圆交于M，N两点，求证：直线AM与直线的交点在一条定直线上．
【解析】由题意得，，，设，
联立，化简得(，
所以，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，即，解得
原式
，
故直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上．
变式3．（2022·全国·高三专题练习）已知、分别是离心率的椭圆的左右项点，P是椭圆E的上顶点，且.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若动直线过点，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线恒过定点.
【解析】（1）由题意得，，，
则，所以，
又，所以，，所以椭圆E的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设直线，，，则，
由，消去y得.由，
得，所以，.
，
直线的方程为，
即，
因为，，所以，
直线的方程为可化为，则直线恒过定点.
当直线的斜率不存在时，直线也过点，综上知直线恒过定点.
变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
【解析】(1)由椭圆过点，且离心率为，所以，解得
故所求的椭圆方程为．
(2)由题意得，，
直线的方程，设，
联立，整理得，
∴，．
由求根公式可知，不妨设，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，得
代入，得，
解得，即直线与的交点在定直线上．
题型三：椭圆的光学性质
例7．（2022·全国·高三专题练习）如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为.现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒.将装置中的去掉，如图④，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时___________.秒

【答案】
【解析】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，光速为，
而与的离心率之比为，即，即，
在图③，
两式相减得：，
即.
在图④中，，
设图④，光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时t秒，
由题意可知：，则，
故（秒），
故答案为：
例8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，因为
由，得到，故 .
故答案为C.
例9．（2022·全国·高三专题练习）圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质知直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
直线的斜率为，
由于直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的斜率为，
所以所求直线方程为.
故选：A
题型四：双曲线的光学性质
例10．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线射向上的点后，被反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设在第一象限，，
，，
故选：C
例11．（2022·全国·高三专题练习）根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得在第一象限，
将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，
又由双曲线的方程可得，，所以，则，
所以，且点，都在直线上，又，
设过点与双曲线相切的直线方程为，代入
所以，
设的角平分线为，则，
所以直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
因为，解得
所以直线的斜率为
故选：D．
题型五：抛物线的光学性质
例12．（2022·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（    ）
A． B．－
C．± D．－
【答案】B
【解析】由题意可知点A的纵坐标为1．将y＝1代入，得，则，
由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点，
所以直线AB的斜率．
故选：B．
例13．（2022·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，
故选：B.

例14．（2022·全国·高三专题练习）已知：如图，抛物线，为其焦点，是过抛物线上一点的切线，是直线上的两点（不同于点），直线平行于轴．求证：．（入射角等于反射角）

【解析】作抛物线的准线，延长交于点，则；
由得，因此 ，
当时直线的斜率，直线的斜率，
两条直线斜率乘积为，所以直线垂直平分线段，则．
当时，点,此时直线为轴，结论显然成立．
综上所述，结论成立．
变式5．（2022·全国·高三专题练习）已知：如图，抛物线，是抛物线的焦点，入射光线从点发出射到抛物线上的点，求证：反射光线平行于轴．

【解析】证明：设，过点的抛物线的切线为，且，
入射光线经抛物线壁反射后的反射光线为，
由得，
故即，故切线的斜率．
设直线到直线的角为，直线到直线的角为，则由得，即，解得反射光线平行于轴．

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：， 点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从A点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最长路程是
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【解析】由题知，椭圆长半轴长
依题意可知小球经两次椭圆壁反弹后回到A点，
根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a=4×4=16
故选：C

2．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为，，经过且与垂直的光线经双曲线E反射后，与成45°角，则双曲线E的离心率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：，则，将代入到，，即，故，即，同除以得：，解得：或（舍去）

故选：B
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意，不妨令椭圆的焦点在轴上，以下分为三种情况：
（1）球从沿轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，
这时第一次回到路程是；
（2）球从沿轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，
这时第一次回到路程是；
（3）球从不沿轴，斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点，反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点，经反弹后经过点．
此时小球经过的路程是．
综上所述，从点沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点时，小球经过的路程是或或．
故选：ACD.
4．（2022·全国·高三专题练习）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知、分别是双曲线的左、右焦点，点为在第一象限上的点，点在延长线上，点的坐标为，且为的平分线，则下列正确的是（    ）
A．
B．
C．点到轴的距离为
D．的角平分线所在直线的倾斜角为
【答案】AD
【解析】先证明结论双曲线在其上一点的切线的方程为，
由已知，联立可得，即，解得，
所以，双曲线在其上一点的切线的方程为.
本题中，设点，则直线的方程为，
将点代入切线方程可得，所以，即点到轴的距离为，C错；
在双曲线中，，，则，则、，
所以，，，所以，，A对；
，，所以，，
则，B错；
因为的角平分线交轴于点，则，
所以，，，则，
故的角平分线所在直线的倾斜角为，D对.

故选：AD.
三、填空题
5．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为_______.
【答案】【解析】作变换之后椭圆变为圆，方程为，，
由于，因此时面积最大，
此时，
那么，
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B，C分别是椭圆上的三个动点，则面积最大值为_____________.
【答案】【解析】作变换之后椭圆变为圆，方程为，
是圆的内接三角形，设的半径为，
设所对应边长为，所以

，当且仅当时取等，
因为在上为凸函数，则，
，当且仅当时取等，
所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此，又因为，
∴.
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.
【答案】
【解析】作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，点坐标分别为，过作两条平行的弦分别与圆交于四点.
由平行四边形性质易知，三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的，故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可.当时，三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到.
故此题离心率的取值范围为.
故答案为：.
8．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，则该椭圆的离心率为_________．

【答案】【解析】由椭圆的光学性质可知，都经过，且在中，，如图，

所以，
由椭圆的定义可知，即，又，
可得，在中，，
所以，所以.
故答案为：
四、解答题
9．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60o,.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如果|AB|=，求椭圆C的方程.
【解析】（1）设，，由题意知，.
直线的方程为，其中.
联立得，
解得，.
因为，所以.
即，
得离心率.
（2）因为，所以.
由得.所以，得，.
椭圆的方程为
10．（2022·全国·高三专题练习）椭圆有两个顶点过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与交于点．

（1）当时，求直线的方程；
（2）当点异于两点时，证明：为定值．
【解析】（1）由题意，椭圆的方程为
易得直线不与两坐标轴垂直，
故可设的方程为，设，
由消去整理得，判别式
由韦达定理得，①
故，解得，
即直线的方程为．
（2）证明：直线的斜率为，故其方程为，
直线的斜率为，故其方程为，
由两式相除得

即
由（1）知，
故
解得．易得，
故，
所以为定值1
11．（2022·全国·高三专题练习）已知、分别是椭圆的右顶点和上顶点，、在椭圆上，且，设直线、的斜率分别为、，证明：为定值．
【解析】证明：由题意得，，则，
设直线的方程为，设点、．
由，消去得，
，可得，且有，
由韦达定理可得，，
，
，
又由得，代入上式得：
，
所以，为定值.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于点，证明：点在定直线上．
(3)设直线的斜率分别为，证明：为定值．
【解析】(1)当时，直线：，令，得，即椭圆的上顶点为，则，
又的周长为，即，，又，解得，
所以椭圆的方程为.
(2)由（1）知，，设，依题意，点A，B不在x轴上，
由消去并整理得：，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程得，
由得代入上式，得
，于是得，
所以直线交点在定直线上．
(3)由（2）知，，由得：，
所以为定值．
13．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，如图，已知的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．

（1）设动点满足，求点的轨迹；
（2）设，，求点的坐标；
（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．
【解析】（1）设点，则，，，

由，得，
化简得，
故所求点的轨迹为直线．
（2）将，分别代入椭圆方程，以及，，
得，，
直线方程为，即，
直线方程为，即，
联立方程组，解得，
所以点的坐标为．
（3）点的坐标为，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，，
解得、，
若，且,得，
此时直线的方程为，过点；
若，则，直线的斜率，
直线的斜率，
所以,所以直线过点，
因此直线必过轴上一定点.
14．（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，．点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点．
(1)求直线与直线交点M的轨迹方程;
(2)设动圆与相交于四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值．

【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设，又知，
则直线的方程为 ①
直线的方程为 ②
由①②得 ③
由点在椭圆上，故，从而代入③得


（2）证明：设，由矩形ABCD与矩形的面积相等，得
故
因为点A，均在椭圆上，所以，
由，知，所以.从而
因此为定值
考点定位：本大题主要考查椭圆、圆、直线的标准方程的求法以及直线与椭圆、圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等
15．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆左顶点为，为原点，，是直线上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点
（1）若，求的面积的最小值；
（2）若，，三点共线，求实数的值.
【解析】（1）由勾股定理、三角形面积可得：
，,当且仅当等号成立
．
，
即的面积的最小值为1．
（2）设，

则方程为：，
则为，同理为 ，
，
，得．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆:的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）求四边形面积的最大值；
（3）若直线与直线相交于点，判断点是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）
【解析】（Ⅰ）由题意，得 , 解得.
所以椭圆方程为.
故，，.
所以椭圆的离心率.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，
代入椭圆的方程，得，，
又因为，，
所以四边形的面积.
当直线的斜率存在时，设的方程为，，，
联立方程 消去，得.
由题意，可知恒成立，则，
四边形的面积

，
设，则四边形的面积，，
所以.
综上，四边形面积的最大值为.
（Ⅲ）结论：点在一条定直线上，且该直线的方程为.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝2|PF1|．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线NM′过定点．
【解析】（1）由得，，
由椭圆的定义得，，，
，所以点P的坐标为，
将点P的坐标代入椭圆的方程中有，
又，，
解得或，
当，，故舍去；
当，，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）由题意可知，直线l的斜率必然存在,故设直线l的方程为，设，则，
联立方程组，得， ，
解得，，，
又，，设直线的方程为，





，
当时，，所以直线过定点.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
故椭圆方程为：.
(Ⅱ)[方法一]：
设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，
则：.
直线MA的方程为：，
令可得：，
同理可得：.
很明显，且，注意到，
，
而

，
故.
从而.
[方法二]【最优解】：几何含义法
①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以．
②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立得．由题意知，所以．且．
由题意知直线的斜率存在．．
当时，
．
同理，．所以．
因为，所以．
【整体点评】方法一直接设直线的方程为：，联立方程消去y，利用韦达定理化简求解；方法二先对斜率为零的情况进行特例研究，在斜率不为零的情况下设直线方程为，联立方程消去x，直接利用韦达定理求得P,Q的纵坐标，运算更为简洁，应为最优解法.
19．（2022·全国·高三专题练习）如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且

（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．
【解析】（1）由题意可知：,，又，
有，故椭圆的方程为：．
（2）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，用的横坐标表示的纵坐标，再联立的方程和椭圆的方程，消去得，利用韦达定理化简的纵坐标后可得所求的定值.
设（），
联立直线方程和椭圆方程得，消去得，
,，且有，
又，，
由得，
故，整理得到
，故

．
故点的纵坐标为3．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为6，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且，记直线AM，BN的斜率分别为，且,求直线的方程.
【解析】（1）由题意，可得，，，
联立解得，，，
∴椭圆的标准方程为.
（2）如图，由（1）知，

设的方程为，，
直线与椭圆的另一个交点为，
∵，根据对称性可得，
联立，整理得，
∴，
∵，∴，
即，
联立解得，，
∵，，∴，
∴，∴，
∴直线的方程为，即.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知：如图，椭圆，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，是直线上的两点（不同于点）．求证：．（人射角等于反射角）

【解析】作关于切线的对称点，连接交于点，要证，
只需证明点和点重合，由引理1知点是直线上使得值最小的唯一点；
并且由引理3知点也是直线上使得值最小的唯一点，
与点重合，则．
22．（2022·全国·高三专题练习）生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.
【解析】（1）由已知可设椭圆方程为，
则，，
又
所以，
故椭圆C的标准方程为
（2）设AB方程为，由，得，

设，则..
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于y轴上的定点，
由得，则直线BM方程为，
令，则




又，
则，
所以，直线BM过定点（0，），同理直线AN也过定点.
则点（0，）即为所求点.
23．（2022·全国·高三专题练习）欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点现有一椭圆，长轴长为，从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为该椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，且满足．
①证明：直线过定点；
②若，求的值．
【解析】（1）不妨设、是椭圆的左焦点、右焦点，
则轴，又因为，，
所以，
即，所以，
则椭圆的标准方程为：.

（2）①证明：设直线的方程为，，，
联立，得：，
则，，
因为，所以，
即，
即，
即，
则，
即，即，
则或，
当时，直线可化为，
即直线过定点（与左焦点重合，舍）；
当时，直线可化为，
即直线过定点；
综上所述，直线过定点；
②由①得，则，，
且，
解得；
因为，所以，
即，
即，即，
即，
即，即，
则或，
所以或.
24．（2022·全国·高三专题练习）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题：

（1）求椭圆C的离心率；
（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，求椭圆C的方程．
【解析】（1）设椭圆C的长轴长为，
由题意知：发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为，
∴．
（2）法一：如图：

延长，交于点，
在中，，则且H为中点，
在中，，则，
，即椭圆方程为．
法二：设，在l上的射影分别为，连接，如图：

设，则，
在中，可得，同理：，
∴，，
∵，
∴椭圆方程为．
25．（2022·全国·高三专题练习）雨过天晴时，我们常能见到天空的彩红，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现象．为研究方便将水滴近似视为一个球体．且各光线在球的同一截面大圆内．
Ⅰ．如图1，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经一次内部反射形成反射光线，再折射出球体外得到折射光线．当 ∥时，则称为光线为虹；
Ⅱ．如图2，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经两次内部反射形成反射光线，．再折射出球体外得到折射光线，当 ∥时则称为光线为霓．

图1                         图2                               图3  
可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律：
III．光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入射角与反射角，则入射角等于反射角；
IV．从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射角，即．
设球半径r=1．球为某种透光性较高的介质．空气相对该介质的折射率为．圆弧对光线入射或折射时，其反射镜面为过入射（或反射）点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线．
（1）图3中，入射光线经入射点P进入球内得到折射光线，过P的圆切线为，过点P的半径所在直线为法线，设入射角，若球介质的折射率，求折射角大小；
（2）图1中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率=1.5．折射光线为虹，求；
（3）图2中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率，折射光线为霓，求．
【解析】（1）由题意得，所以，
因为，所以
（2）连接AO并延长，如图，由圆的对称性、反射及虹的性质，可得，
所以，
所以；

（3）过点O作，如图，由圆的对称性、反射及虹的性质，
可得，
所以，
所以，，
所以
，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以或，
又，
当时，，；
当时，，，
所以
.