统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练20两角和与差的正弦余弦正切公式文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练20两角和与差的正弦余弦正切公式文，共6页。

[基础强化]
一、选择题
1．sin 20°cs 10°－cs 160°·sin 10°＝( )
A.－ eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(3),2)
C.－ eq \f(1,2)D． eq \f(1,2)
2．已知tan α＝2，则tan (α－ eq \f(π,4))＝( )
A. eq \f(1,4) B． eq \f(1,3)
C. eq \f(1,2) D．－3
3．若sin α＝ eq \f(1,3)，则cs 2α＝( )
A. eq \f(8,9) B． eq \f(7,9)
C.－ eq \f(7,9) D．－ eq \f(8,9)
4．cs 105°－cs 15°＝( )
A. eq \f(\r(2),2) B．－ eq \f(\r(2),2)
C. eq \f(\r(6),2) D．－ eq \f(\r(6),2)
5. eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝( )
A. eq \f(1,4) B． eq \f(1,2)
C. eq \f(\r(3),2) D．1
6．[2023·包头模拟]已知cs α＋cs (α－ eq \f(π,3))＝1，则cs (α－ eq \f(π,6))等于( )
A. eq \f(1,3) B． eq \f(1,2)
C. eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),3)
7．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值是( )
A.16 B．8
C.4 D．2
8．已知cs α＝ eq \f(1,7)，cs (α－β)＝ eq \f(13,14)，且0<β<α< eq \f(π,2)，则β等于( )
A. eq \f(π,4) B． eq \f(π,6)
C. eq \f(π,3) D． eq \f(5,12)π
9．若0<α< eq \f(π,2)，－ eq \f(π,2)<β<0，cs ( eq \f(π,4)＋α)＝ eq \f(1,3)，cs ( eq \f(π,4)－ eq \f(β,2))＝ eq \f(\r(3),3)，则cs (α＋ eq \f(β,2))等于( )
A. eq \f(\r(3),3) B．－ eq \f(\r(3),3)
C. eq \f(5\r(3),9) D．－ eq \f(\r(6),9)
二、填空题
10．已知 eq \f(tan α,tan （α＋\f(π,4)）)＝－ eq \f(2,3)，则sin (2α＋ eq \f(π,4))的值是________.
11．已知cs (α－ eq \f(π,6))＋sin α＝ eq \f(4\r(3),5)，则sin (α＋ eq \f(7π,6))＝________．
12．[2023·甘肃、青海、宁夏联考]若tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan (α＋β)＝__________，tan α＝________．
[能力提升]
13．设θ为第二象限角，若tan (θ＋ eq \f(π,3))＝ eq \f(1,2)，则sin θ＋ eq \r(3)cs θ＝( )
A. eq \f(2\r(5),5) B．－ eq \f(2\r(5),5)
C.1 D．－1
14．已知锐角α，β满足sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，则α＋β等于( )
A. eq \f(3π,4)
B. eq \f(π,4)或 eq \f(3π,4)
C. eq \f(π,4)
D.2kπ＋ eq \f(π,4)(k∈Z)
15．[2023·西北工业大学附属中学月考]已知cs β－3sin α＝2，sin β＋3cs α＝ eq \f(3,2)，则sin (β－α)等于( )
A.－ eq \f(5,24) B． eq \f(5,24)
C.－ eq \f(5,8) D． eq \f(5,8)
16．[2023·河北五校联考]已知x，y∈(0， eq \f(π,2))，sin (x＋y)＝2sin (x－y)，则x－y的最大值为( )
A. eq \f(π,3) B． eq \f(π,6)
C. eq \f(π,4) D． eq \f(π,8)
专练20 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．D sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin 30°＝ eq \f(1,2).
2．B tan (α－ eq \f(π,4))＝ eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝ eq \f(2－1,1＋2)＝ eq \f(1,3).
3．B cs 2α＝1－2sin2α＝1－ eq \f(2,9)＝ eq \f(7,9).
4．D cs105°－cs 15°＝－(sin 15°＋cs 15°)
＝－ eq \r(2)sin (15°＋45°)＝－ eq \r(2)sin 60°＝－ eq \f(\r(6),2).
5．A eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝ eq \f(sin 10°,1－\r(3)\f(sin 10°,cs 10°))
＝ eq \f(sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)＝ eq \f(\f(1,2)sin 20°,2sin 20°)＝ eq \f(1,4).
6．D ∵cs α＋cs (α－ eq \f(π,3))＝1，
∴cs α＋ eq \f(1,2)cs α＋ eq \f(\r(3),2)sin α＝ eq \f(3,2)cs α＋ eq \f(\r(3),2)sin α
＝ eq \r(3)( eq \f(\r(3),2)cs α＋ eq \f(1,2)sin α)
＝ eq \r(3)cs (α－ eq \f(π,6))＝1，
∴cs (α－ eq \f(π,6))＝ eq \f(\r(3),3).
7．D ∵A＋B＝45°，∴tan (A＋B)＝ eq \f(tan A＋tan B,1－tan A tan B)＝1，
∴tan A＋tan B＝1－tan A tan B.
∴(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A＋tan B＋tan A tan B＝2.
8．C ∵cs α＝ eq \f(1,7)，0<α< eq \f(π,2)，∴sin α＝ eq \r(1－cs2α)＝ eq \f(4\r(3),7)，又cs(α－β)＝ eq \f(13,14)，0<β<α< eq \f(π,2)，∴0<α－β< eq \f(π,2)，
∴sin (α－β)＝ eq \r(1－cs2（α－β）)＝ eq \f(3\r(3),14)，
csβ＝cs [α－(α－β)]＝cs αcs (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝ eq \f(1,7)× eq \f(13,14)＋ eq \f(4\r(3),7)× eq \f(3\r(3),14)＝ eq \f(13＋12×3,7×14)＝ eq \f(1,2)，
又0<β< eq \f(π,2)，∴β＝ eq \f(π,3).
9．C ∵0<α< eq \f(π,2)，∴ eq \f(π,4)<α＋ eq \f(π,4)< eq \f(3,4)π，cs (α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(1,3)，∴sin (α＋ eq \f(π,4))＝ eq \r(1－cs2（α＋\f(π,4)）)＝ eq \f(2\r(2),3)，又－ eq \f(π,2)<β<0，
∴0<－ eq \f(β,2)< eq \f(π,4)，∴ eq \f(π,4)< eq \f(π,4)－ eq \f(β,2)< eq \f(π,2)，
∴sin( eq \f(π,4)－ eq \f(β,2))＝ eq \r(1－cs2（\f(π,4)－\f(β,2)）)＝ eq \f(\r(6),3)，
∴cs(α＋ eq \f(β,2))＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（\f(π,4)＋α）－（\f(π,4)－\f(β,2)）))＝cs ( eq \f(π,4)＋α)cs ( eq \f(π,4)－ eq \f(β,2))＋sin ( eq \f(π,4)＋α)·sin ( eq \f(π,4)－ eq \f(β,2))＝ eq \f(1,3)× eq \f(\r(3),3)＋ eq \f(\r(6),3)× eq \f(2\r(2),3)＝ eq \f(5\r(3),9).
10．答案： eq \f(\r(2),10)
解析：∵ eq \f(tan α,tan （α＋\f(π,4)）)＝－ eq \f(2,3)，
∴tan α＝－ eq \f(2,3)tan (α＋ eq \f(π,4))＝－ eq \f(2,3)· eq \f(1＋tan α,1－tan α)，
整理得3tan2α－5tanα－2＝0，
∴tan α＝－ eq \f(1,3)或tan α＝2.
sin (2α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(\r(2),2)(sin 2α＋cs 2α)
＝ eq \f(\r(2),2)· eq \f(2sin αcs α＋cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)
＝ eq \f(\r(2),2)· eq \f(2tanα＋1－tan2α,1＋tan2α).
当tanα＝－ eq \f(1,3)时，sin (2α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(\r(2),10)；
当tan α＝2时，sin (2α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(\r(2),10).
所以答案为 eq \f(\r(2),10).
11．答案：－ eq \f(4,5)
解析：由cs (α－ eq \f(π,6))＋sin α＝ eq \f(4\r(3),5)，得 eq \f(\r(3),2)cs α＋ eq \f(1,2)sin α＋sin α＝ eq \f(4\r(3),5)，
∴ eq \f(1,2)cs α＋ eq \f(\r(3),2)sin α＝ eq \f(4,5)，∴sin (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(4,5).
∴sin (α＋ eq \f(7,6)π)＝sin (α＋ eq \f(π,6)＋π)＝－sin (α＋ eq \f(π,6))＝－ eq \f(4,5).
12．答案：－1 eq \f(1,2)
解析：∵tan (α＋2β)＝2，
tan β＝－3，
∴tan (α＋β)＝tan (α＋2β－β)
＝ eq \f(tan （α＋2β）－tan β,1＋tan （α＋2β）tan β)
＝ eq \f(2－（－3）,1＋2×（－3）)＝－1.
tan α＝tan (α＋β－β)
＝ eq \f(－1－（－3）,1＋（－1）×（－3）)＝ eq \f(1,2).
13．B 因为θ为第二象限角，由tan (θ＋ eq \f(π,3))＝ eq \f(1,2)知，θ＋ eq \f(π,3)是第三象限角，所以sin (θ＋ eq \f(π,3))＝－ eq \f(\r(5),5)，故sin θ＋ eq \r(3)cs θ＝2sin (θ＋ eq \f(π,3))＝－ eq \f(2\r(5),5).
14．C 由sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，且α，β为锐角，
可知cs α＝ eq \f(2\r(5),5)，sin β＝ eq \f(\r(10),10)，
故cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝ eq \f(2\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2)，又0<α＋β<π，故α＋β＝ eq \f(π,4).
15．C 由cs β－3sin α＝2得，
(cs β－3sin α)2＝cs2β－6csβsin α＋9sin2α
＝4， ①
由sinβ＋3cs α＝ eq \f(3,2)得，
(sin β＋3cs α)2＝sin2β＋6sinβcs α＋9cs2α
＝ eq \f(9,4). ②
①＋②＝10＋6(sinβcs α－cs βsin α)
＝10＋6sin (β－α)＝ eq \f(25,4)，
∴sin (β－α)＝－ eq \f(5,8).
16．B 由sin (x＋y)＝2sin (x－y)得
sin x cs y＋cs x sin y
＝2sin x cs y－2cs x sin y，
则tan x＝3tan y，
所以tan (x－y)＝ eq \f(tan x－tan y,1＋tan x tan y)
＝ eq \f(2tan y,1＋3tan2y)
＝ eq \f(2,\f(1,tany)＋3tan y)≤ eq \f(\r(3),3)，
当且仅当tan y＝ eq \f(\r(3),3)时等号成立，
由于f(x)＝tan x在x∈(0， eq \f(π,2))上单调递增，
又x，y∈(0， eq \f(π,2))，
则x－y的最大值为 eq \f(π,6).