统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练27数系的扩充与复数的应用文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练27数系的扩充与复数的应用文，共4页。
[基础强化]
一、选择题
1．[2023·全国乙卷(文)]|2＋i2＋2i3|＝( )
A.1 B．2
C. eq \r(5) D．5
2．[2022·全国乙卷(文)，2]设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A.a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1
C.a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
3．[2023·安徽省江南十校一模]已知复数z在复平面内对应的点为(2，1)，z是 eq \(z,\s\up6(－))的共轭复数，则 eq \f(\(z,\s\up6(－)),z)＝( )
A.－ eq \f(3,5)＋ eq \f(4,5)i B．－ eq \f(3,5)－ eq \f(4,5)i
C. eq \f(3,5)＋ eq \f(4,5)i D． eq \f(3,5)－ eq \f(4,5)i
4．[2022·全国甲卷(文)，3] 若z＝1＋i.则|iz＋3 eq \(z,\s\up6(－))|＝( )
A.4 eq \r(5) B．4 eq \r(2)
C.2 eq \r(5) D．2 eq \r(2)
5．[2023·全国甲卷(文)] eq \f(5（1＋i3）,（2＋i）（2－i）)＝( )
A.－1 B．1
C.1－i D．1＋i
6．[2023·江西省九江市模拟]若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)为纯虚数，则a的值为( )
A.－1 B．1
C.0或1 D．－1或1
7．已知 eq \f(a＋i,i)＝b＋2i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a－b＝( )
A.－3 B．－2
C.－1 D．1
8．复数z＝2＋5i，i是虚数单位，则z的共轭复数的虚部是( )
A.5i B．－5i
C.5 D．－5
9．[2023·陕西省西安中学二模]若复数z＝i2 022＋ eq \f(|3＋4i|,3－4i)，则 eq \(z,\s\up6(－))的虚部为( )
A.－ eq \f(4,5) B． eq \f(4,5)
C.－ eq \f(2,5)i D． eq \f(2,5)i
二、填空题
10．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
11．i是虚数单位，复数 eq \f(6＋7i,1＋2i)＝________．
12．已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
[能力提升]
13．若2－i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则bc＝( )
A.10 B．20
C.32 D．－20
14．[2023·陕西省西安中学四模]已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A.3＋i B．3－i
C.－3－i D．－3＋i
15．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ eq \r(3)i，z· eq \x\t(z)＝4，则a＝________．
16．已知a∈R，i为虚数单位，若 eq \f(a－i,2＋i)为实数，则a的值为________．
专练27 数系的扩充与复数的应用
1．C |2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝ eq \r(5).故选C.
2．A 由(1＋2i)a＋b＝2i，得a＋2ai＋b－2i＝0，即(a＋b)＋(2a－2)i＝0，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝0，,2a－2＝0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1.))故选A.
3．D 由题知z＝2＋i，则 eq \(z,\s\up6(－))＝2－i，所以 eq \f(\(z,\s\up6(－)),z)＝ eq \f(2－i,2＋i)＝ eq \f(（2－i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝ eq \f(（2－i）2,5)＝ eq \f(3,5)－ eq \f(4,5)i.
4．D 因为z＝1＋i，所以 eq \(z,\s\up6(－))＝1－i，所以iz＋3 eq \(z,\s\up6(－))＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3 eq \(z,\s\up6(－))|＝|2－2i|＝ eq \r(22＋（－2）2)＝2 eq \r(2).故选D.
5．C 由题意知， eq \f(5（1＋i3）,（2＋i）（2－i）)＝ eq \f(5（1－i）,22－i2)＝ eq \f(5（1－i）,5)＝1－i，故选C.
6．B 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－1＝0,a＋1≠0))，解得a＝1.
7．A 因为 eq \f(a＋i,i)＝1－ai＝b＋2i(a，b∈R)，所以b＝1，－a＝2，则a－b＝－3.
8．D eq \x\t(z)＝2－5i，所以z的共轭复数的虚部是－5.
9．A 因为z＝i2 022＋ eq \f(|3＋4i|,3－4i)＝(i)2 020(i)2＋ eq \f(5,3－4i)＝－1＋ eq \f(5（3＋4i）,（3－4i）（3＋4i）)＝－1＋ eq \f(3,5)＋ eq \f(4,5)i＝－ eq \f(2,5)＋ eq \f(4,5)i.所以 eq \(z,\s\up6(－))＝－ eq \f(2,5)－ eq \f(4,5)i，故 eq \(z,\s\up6(－))的虚部为－ eq \f(4,5).
10．答案：2
解析：∵iz＝1＋2i，∴z＝ eq \f(1＋2i,i)＝ eq \f(（1＋2i）i,－1)＝2－i，其实部为2.
11．答案：4－i
解析： eq \f(6＋7i,1＋2i)＝ eq \f(（6＋7i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝ eq \f(6－12i＋7i＋14,5)＝ eq \f(20－5i,5)＝4－i.
12．答案：5
解析：∵(1＋i)z＝1－7i，∴z＝ eq \f(1－7i,1＋i)，
∴|z|＝ eq \f(|1－7i|,|1＋i|)＝ eq \f(\r(12＋（－7）2),\r(12＋12))＝5.
13．D 由题意得(2－i)2＋b(2－i)＋c＝0，
∴3＋2b＋c－4i－bi＝0，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＋2b＋c＝0，,4＋b＝0，))∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－4，,c＝5，))
∴bc＝－4×5＝－20.
14．B 由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2＋mn＋2＝0,2n＋2＝0))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－1))，∴z＝3－i.
15．答案：±1
解析：∵z＝a＋ eq \r(3)i，∴ eq \x\t(z)＝a－ eq \r(3)i，
又∵z· eq \x\t(z)＝4，∴(a＋ eq \r(3)i)(a－ eq \r(3)i)＝4，∴a2＋3＝4，
∴a2＝1，∴a＝±1.
16．答案：－2
解析：因为 eq \f(a－i,2＋i)＝ eq \f(（a－i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝ eq \f(2a－1－（a＋2）i,5)为实数，所以－ eq \f(a＋2,5)＝0，解得a＝－2.