统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练30等比数列及其前n项和文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练30等比数列及其前n项和文，共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝( )
A． eq \r(2) B．2 C． eq \r(5) D．3
2．已知等比数列{an}满足a1＝ eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A.2 B．1 C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,8)
3．[2023·江西省赣州市期末]已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1·a6＝9，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a6＝( )
A.6 B．9 C．27 D．81
4．[2023·江西省南昌市模拟]数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，则a4＝( )
A.8 B．16
C.12 D．24
5．[2023·珠海模拟]在等比数列{an}中，a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝a9且a8＞a9，则使得an－ eq \f(1,a1)>0的自然数n的最大值为( )
A.10 B．9
C.8 D．7
6．已知各项均为正数的等比数列 {an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝ ( )
A.16 B．8 C．4 D．2
7．[2023·江西省赣州市一模]等比数列{an}满足a8＋a10＝ eq \f(1,2)，a11＋a13＝1，则a20＋a22＝( )
A.8 B．4
C.－4 D．－8
8．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为( )
A.10 B．15 C．20 D．25
9．[2022·全国乙(文)，10]已知等比数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A.14 B．12
C.6 D．3
二、填空题
10．[2023·江西省南昌市第十中学月考]若等比数列{an}的前n项的和为Sn，且满足S2＝3，S3－S1＝6，则a6＝________．
11．[2023·全国甲卷(文)]记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．
12．[2023·吉林省长春市质量监测]已知数列{an}是首项为3，公比为q的等比数列，Sn是其前n项的和，若a3a4＋a5＝0，则q＝________；S3＝________．
[能力提升]
13．[2023·北京模拟]《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1.参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A.2.9天 B．3.9天
C.4.9天 D．5.9天
14．[2023·陕西省西安中学三模]在等比数列{an}中，a7，a11是方程x2＋5x＋2＝0的两根，则 eq \f(a3·a9·a15,a5·a13)的值为( )
A.－ eq \f(2＋\r(2),2) B．－ eq \r(2)
C. eq \r(2)D．－ eq \r(2)或 eq \r(2)
15．在公比为q的正项等比数列{an}中，a4＝4，则当2a2＋a6取得最小值时，lg2q＝________．
16．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
专练30 等比数列及其前n项和
1．B 由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－q6）,1－q)＝9×\f(a1（1－q3）,1－q)，,\f(a1（1－q5）,1－q)＝62，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q3＝8，,\f(a1（1－q5）,1－q)＝62，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q＝2，,a1＝2，))选B.
2．C ∵{an}为等比数列，∴a3a5＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ，∴a3a5＝4(a4－1)可化为a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) －4a4＋4＝0，得a4＝2，又a4＝a1q3，∴q＝2，
∴a2＝a1q＝ eq \f(1,4)×2＝ eq \f(1,2).
3．A ∵等比数列{an}的各项均为正数，且a1·a6＝9,
∴lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a6＝lg3(a1·a2·…·a6)＝lg3(a1·a6)3＝lg393＝6 .
4．B 因为数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，
所以令m＝n＝1，则a1＋1＝a1a1＝2×2＝4，即a2＝4，
令m＝n＝2，则a2＋2＝a2a2＝4×4＝16，即a4＝16.
5．C 因为a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝a9，即(a1q6)2＝a1q8，所以a5＝1，又因为a8>a9，所以数列{an}为正项单调递减数列，所以00，所以qn－9>1＝q0，所以n<9.又因为n为整数，故nmax＝8.
6．C 设等比数列的公比为q，
由a5＝3a3＋4a1得a1q4＝3a1q2＋4a1，
∴q2＝4，又∵an>0，∴q＝2，
由S4＝ eq \f(a1（1－24）,1－2)＝15，解得a1＝1.
∴a3＝a1·q2＝4.
7．A 对等比数列{an}，不妨设其公比为q，由a8＋a10＝ eq \f(1,2)，a11＋a13＝1可得a8(1＋q2)＝ eq \f(1,2)，a11(1＋q2)＝1，
故可得q3＝2，则a20＋a22＝a11(1＋q2)×q9＝1×(q3)3＝23＝8.
即a20＋a22＝8.
8．C 由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5，可得S8－S4＝S4＋5.又由等比数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2.于是a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝ eq \f(（S4＋5）2,S4)＝S4＋ eq \f(25,S4)＋10≥2 eq \r(S4×\f(25,S4))＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.
9．D 设等比数列{an}的公比为q.由题意知， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a2,q)＋a2＋a2q＝168，,a2－a2q3＝42.))两式相除，得 eq \f(1＋q＋q2,q（1－q3）)＝4，解得q＝ eq \f(1,2).代入a2－a2q3＝42，得a2＝48，所以a6＝a2q4＝3.故选D.
10．答案：32
解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
根据S2＝3，S3－S1＝6，
可得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＝3,a1q＋a1q2＝6))，
解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1,q＝2))，
所以a6＝a1q5＝32.
11．答案：－ eq \f(1,2)
解析：由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1，所以8× eq \f(a1（1－q6）,1－q)＝7× eq \f(a1（1－q3）,1－q)，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，所以q＝－ eq \f(1,2).
12．答案：－ eq \f(1,3) eq \f(7,3)
解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a3a4＋a5＝0，
则a1q2·a1q3＋a1q4＝0，将a1＝3代入得3q＋1＝0，得q＝－ eq \f(1,3)，所以an＝3·(－ eq \f(1,3))n－1，
所以S3＝a1＋a2＋a3＝3－1＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(7,3).
13．C 设蒲的长度构成等比数列{an}，其首项a1＝3，公比为 eq \f(1,2)，其前n项和为An.莞的长度构成等比数列{bn}，其首项b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.则An＝ eq \f(3（1－\f(1,2n)）,1－\f(1,2))，Bn＝ eq \f(2n－1,2－1)，由题意可得5× eq \f(3（1－\f(1,2n)）,1－\f(1,2))＝ eq \f(2n－1,2－1)，解得2n＝30或2n＝1(舍去).∴n＝lg230＝ eq \f(lg 30,lg 2)＝ eq \f(lg 3＋1,lg 2)＝ eq \f(1.48,0.3)≈4.9.
14．B 在等比数列{an}中，a7，a11是方程x2＋5x＋2＝0的两个根，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a7＋a11＝－5,a7a11＝2))，∴a9＝－ eq \r(2)，
则 eq \f(a3·a9·a15,a5·a13)＝ eq \f(a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(9)) ,a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(9)) )＝a9＝－ eq \r(2).
15．答案： eq \f(1,4)
解析：∵{an}为等比数列，∴a2＝ eq \f(a4,q2)＝ eq \f(4,q2)，a6＝a4q2＝4q2，
∴2a2＋a6＝ eq \f(8,q2)＋4q2≥2 eq \r(\f(8,q2)×4q2)＝8 eq \r(2)
(当且仅当 eq \f(8,q2)＝4q2，即q4＝2，q＝ eq \r(4,2)时等号成立)，此时lg2q＝lg2 eq \r(4,2)＝ eq \f(1,4).
16．答案：64
解析：设等比数列{an}的公比为q，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a3＝10，,a2＋a4＝5，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1q2＝10，,a1q＋a1q3＝5，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))
∴a1a2…an＝( eq \f(1,2))(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1,2)n（n－7）)
＝( eq \f(1,2)) eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（n－\f(7,2)）2－\f(49,4)))，
当n＝3或4时， eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（n－\f(7,2)）2－\f(49,4)))取到最小值－6，此时( eq \f(1,2)) eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（n－\f(7,2)）2－\f(49,4)))取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.