统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练37证明文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练37证明文，共4页。
[基础强化]
一、选择题
1.[2023·大庆联考]用反证法证明命题：“若a2＋b2＋c2＋d2＝0，则a，b，c，d都为0”．下列假设中正确的是（ ）
A．假设a，b，c，d都不为0
B.假设a，b，c，d至多有一个为0
C.假设a，b，c，d不都为0
D.假设a，b，c，d至少有两个为0
2.若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
证明过程如下：
∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
又∵a，b，c不全相等，
∴以上三式至少有一个“＝”不成立．
∴将以上三式相加得2（a2＋b2＋c2）>2（ab＋bc＋ac）.
∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
此证法是（ ）
A.分析法 B．综合法
C.分析法与综合法并用 D．反证法
3.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4.如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（ ）
A.①—分析法，②—综合法
B.①—综合法，②—分析法
C.①—综合法，②—反证法
D.①—分析法，②—反证法
5.设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2≠0；
②a>b，ac，且a＋b＋c＝0，求证 eq \r(b2－ac)< eq \r(3)a”索的因应是（ ）
A.a－b>0
B.a－c>0
C.（a－b）（a－c）>0
D.（a－b）（a－c）a eq \r(b)＋b eq \r(a)，则a，b应满足的条件是 Ｗ．
11.用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时应假设 Ｗ．
12.若P＝ eq \r(a＋6)＋ eq \r(a＋7)，Q＝ eq \r(a＋8)＋ eq \r(a＋5)（a≥0），则P，Q的大小关系是 Ｗ．
[能力提升]
13.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若x1＋x2>0，则f（x1）＋f（x2）的值（ ）
A.恒为负值 B．恒等于零
C.恒为正值 D．无法确定正负
14.用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（ ）
A.a，b都能被5整除
B.a，b不都能被5整除
C.a，b至少有一个能被5整除
D.a，b至多有一个能被5整除
15.设a，b∈R，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；
④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是 （填序号）.
16.设a，b是互不相等的正数，给出下列不等式：
①（a＋3）2>2a2＋6a＋11；
②a2＋ eq \f(1,a2)≥a＋ eq \f(1,a)；
③|a－b|＋ eq \f(1,a－b)≥2.
其中恒成立的是 ．
专练37 证明
1．C 需假设a，b，c，d不都为0.
2．B 由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．
3．A “方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
4．B 根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法．
5．C ∵a，b，c是不全相等的正数，∴a－b，b－c，c－a至少有一个不为0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0，故①正确；②显然正确；a，b，c不全相等，可能全不相等，即a≠b，b≠c，c≠a同时成立，故③不正确．
6．C sin A sin C0⇒cs B＝cs [π－(A＋C)]＝－cs (A＋C)b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c0，即证a(a－c)－b(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故求证“ eq \r(b2－ac)< eq \r(3a)”索的因应是(a－c)(a－b)>0.
9．D 假设a＋ eq \f(1,b)，b＋ eq \f(1,c)，c＋ eq \f(1,a)都小于2，则有a＋ eq \f(1,b)＋b＋ eq \f(1,c)＋c＋ eq \f(1,a)0，b>0，c>0，
∴a＋ eq \f(1,b)＋b＋ eq \f(1,c)＋c＋ eq \f(1,a)＝(a＋ eq \f(1,a))＋(b＋ eq \f(1,b))＋(c＋ eq \f(1,c))≥2 eq \r(a·\f(1,a))＋2 eq \r(b·\f(1,b))＋2 eq \r(c·\f(1,c))＝6，
这与假设矛盾．
∴a＋ eq \f(1,b)，b＋ eq \f(1,c)，c＋ eq \f(1,a)三个数至少有一个不小于2.
10．答案：a≥0，b≥0且a≠b
解析：a eq \r(a)＋b eq \r(b)>a eq \r(b)＋b eq \r(a)，即：( eq \r(a)－ eq \r(b))2( eq \r(a)＋ eq \r(b))>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.
11．答案：x≠－1且x≠1
解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．
12．答案：P>Q
解析：P2－Q2＝2 eq \r(a2＋13a＋42)－2 eq \r(a2＋13a＋40)>0，
∴P2>Q2，∴P>Q.
13．A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)在R上单调递减，∵x1＋x2>0，∴x1>－x2，∴f(x1)