统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练45两条直线的位置关系及距离公式文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练45两条直线的位置关系及距离公式文，共5页。

[基础强化]
一、选择题
1.过点（1，0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是（ ）
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
2.[2023·江西省南昌市二模]已知直线2x－y＋1＝0与直线x＋my＋2＝0垂直，则m＝（ ）
A.－2 B．－ eq \f(1,2)
C.2 D． eq \f(1,2)
3.[2023·陕西省西安中学二模]已知直线l1：2x＋ay＋2＝0与直线l2：（a－1）x＋3y＋2＝0平行，则a＝（ ）
A.3 B．－2
C.－2或3 D．5
4.当0A.第一象限 B．第二象限
C.第三象限 D．第四象限
5.“C＝2”是“点（1， eq \r(3)）到直线x＋ eq \r(3)y＋C＝0的距离为3”的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.过点P（2，1）且与原点O距离最远的直线方程为（ ）
A.2x＋y－5＝0 B．2x－y－3＝0
C.x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0
7.[2023·洛阳模拟]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A.x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C.4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
8.三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是（ ）
A.k∈R
B.k∈R且k≠±1，k≠0
C.k∈R且k≠±5，k≠－10
D.k∈R且k≠±5，k≠1
9.直线l经过点M（2，1），若点P（4，2）和Q（0，－4）到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A.3x－2y－4＝0
B.x＝2或3x－2y－4＝0
C.x＝2或x－2y＝0
D.x＝2或3x－2y－8＝0
二、填空题
10.若曲线y＝ax（a>0且a≠1）恒过定点A（m，n），则A到直线x＋y－3＝0的距离为 .
11.[2023·陕西省西安中学四模]直线x＋my－2＝0和直线mx－（2m－1）y＝0垂直，则实数m＝_______．
12.过点A（4，a）和B（5，b）的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝_______．
[能力提升]
13.已知b>0，直线（b2＋1）x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为（ ）
A.1 B．2
C.2 eq \r(2) D．2 eq \r(3)
14.当点P（3，2）到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为（ ）
A. eq \r(2) B．0
C.－1 D．1
15.[2023·苏州模拟]已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论不正确的是（ ）
A.不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B.当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（－1，0）
C.不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D.如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是 eq \r(2)
16.[2023·武汉调研]台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tan α的值为（ ）
A. eq \f(1,6)或 eq \f(1,2) B． eq \f(1,2)或1
C. eq \f(1,6)或 eq \f(3,2) D．1或 eq \f(3,2)
专练45 两条直线的位置关系及距离公式
1．A 设所求的直线方程为x－2y＋c＝0，又(1，0)在直线l上，∴1＋c＝0，∴c＝－1，故所求的直线方程为x－2y－1＝0.
2．C 当m＝0时，x＋my＋2＝0⇒x＝－2，
由2x－y＋1＝0知y＝2x＋1，斜率为2，
所以直线2x－y＋1＝0与x＝－2不垂直，不符合题意；
当m≠0时，x＋my＋2＝0⇒y＝－ eq \f(1,m)x－ eq \f(2,m)，
因为直线2x－y＋1＝0与直线x＋my＋2＝0垂直，
所以－ eq \f(1,m)×2＝－1，解得m＝2.
3．B 因为直线l1：2x＋ay＋2＝0与直线l2：(a－1)x＋3y＋2＝0平行，
所以2×3－a(a－1)＝0，即a2－a－6＝0，解得：a＝－2或3，
当a＝3时，l1：2x＋3y＋2＝0与l2：2x＋3y＋2＝0重合，不满足题意，舍去；
当a＝－2时，l1：x－y＋1＝0与l2：3x－3y－2＝0平行，满足题意．
4．B 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1)．))
又∵0∴x＝ eq \f(k,k－1)<0，y＝ eq \f(2k－1,k－1)>0，
故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．
5．B 由点(1， eq \r(3))到直线x＋ eq \r(3)y＋C＝0的距离为3，
得 eq \f(|1＋\r(3)×\r(3)＋C|,\r(12＋（\r(3)）2))＝ eq \f(|4＋C|,2)＝3，得C＝2或C＝－10.
∴C＝2是点(1， eq \r(3))到直线x＋ eq \r(3)y＋C＝0的距离为3的充分不必要条件．
6．A 过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线就是过点P且与OP垂直的直线，因为直线OP的斜率为 eq \f(1－0,2－0)＝ eq \f(1,2)，所以所求直线的斜率为－2，即所求直线方程为y－1＝－2(x－2)，得2x＋y－5＝0.
7．D 由题设，可得kAB＝ eq \f(2－0,1－2)＝－2，
且AB的中点为( eq \f(3,2)，1)，
∴AB垂直平分线的斜率k＝－ eq \f(1,kAB)＝ eq \f(1,2)，
故AB的垂直平分线方程为
y＝ eq \f(1,2)(x－ eq \f(3,2))＋1＝ eq \f(x,2)＋ eq \f(1,4)，
∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，
∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.
8．C 由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若(1，1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10.
9．B 解法一 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，因为P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝ eq \f(3,2)，则直线l的方程为3x－2y－4＝0.
解法二 由题意知，所求直线经过P(4，2)和Q(0，－4)的中点或与过P(4，2)和Q(0，－4)的直线平行．当所求直线经过P(4，2)和Q(0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x＝2；当所求直线与过P(4，2)和Q(0，－4)的直线平行时，由kPQ＝ eq \f(－4－2,0－4)＝ eq \f(3,2)，得直线l的方程为y－1＝ eq \f(3,2)(x－2)，即3x－2y－4＝0.
10．答案： eq \r(2)
解析：由题意得A(0，1)，由点A(0，1)到直线x＋y－3＝0的距离为 eq \f(|1－3|,\r(12＋12))＝ eq \r(2).
11．答案：0或1
解析：因直线x＋my－2＝0和直线mx－(2m－1)y＝0垂直，
则有1·m＋m[－(2m－1)]＝0，即2m－2m2＝0，解得m＝0或m＝1，所以m＝0或m＝1.
12．答案： eq \r(2)
解析：由题意可知，kAB＝ eq \f(b－a,5－4)＝b－a＝1，
故|AB|＝ eq \r(（5－4）2＋（b－a）2)＝ eq \r(2).
13．B 因为直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，所以(b2＋1)－ab2＝0.又因为b>0，所以ab＝b＋ eq \f(1,b)≥2，当且仅当b＝1时等号成立．
14．C 直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2，1)，所以点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，PQ垂直直线，即m· eq \f(2－1,3－2)＝－1，∴m＝－1.
15．C a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，
所以l1恒过定点A(0，1)；
l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确；
在l1上任取点(x，ax＋1)，
其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，
代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不恒等于0，故C不正确；
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，))
即M( eq \f(－a－1,a2＋1)， eq \f(－a＋1,a2＋1))，
所以|MO|＝ eq \r(（\f(－a－1,a2＋1)）2＋（\f(－a＋1,a2＋1)）2)＝ eq \r(\f(2,a2＋1))≤ eq \r(2)，
所以|MO|的最大值是 eq \r(2)，故D正确．
16．C 如图1，作A关于DC的对称点为E，D关于AB的对称点为G，C关于AB的对称点为F，连接GF，EF，
由题可得tan α＝ eq \f(EG,GF)＝ eq \f(3AD,2AD)＝ eq \f(3,2).
如图2，作A关于BC的对称点为G，B关于AD的对称点为F，C关于AD的对称点为E，
连接EF，EG，
由题可得tan α＝ eq \f(EF,GF)＝ eq \f(AD,6AD)＝ eq \f(1,6).
综上，tan α的值为 eq \f(1,6)或 eq \f(3,2).