统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练49双曲线文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练49双曲线文，共7页。

[基础强化]
一、选择题
1.平面内到两定点F1（－5，0），F2（5，0）距离差的绝对值等于8的动点P的轨迹方程为（ ）
A． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,16)＝1 B． eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,9)＝1
C. eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1 D． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1
2.设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为（ ）
A.19 B．26
C.43 D．50
3.[2023·成都石室中学模拟]已知双曲线 eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,b2)＝1，其焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）
A. eq \f(2\r(3),3) B． eq \r(3)
C.2 eq \r(3) D． eq \f(\r(3),3)
4.若a>1，则双曲线 eq \f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是（ ）
A.（ eq \r(2)，＋∞） B．（ eq \r(2)，2）
C.（1， eq \r(2)） D．（1，2）
5.若椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1（a>b>0）的离心率为 eq \f(1,4)，则双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为（ ）
A.y＝± eq \f(4\r(15),15)x B．y＝± eq \r(3)x
C.y＝± eq \f(\r(15),4)x D．y＝± eq \f(\r(3),3)x
6.[2023·全国乙卷（文）]设A，B为双曲线x2－ eq \f(y2,9)＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A.（1，1） B．（－1，2）
C.（1，3） D．（－1，－4）
7.[2023·全国甲卷（文）]已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的离心率为 eq \r(5)，C的一条渐近线与圆（x－2）2＋（y－3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A. eq \f(\r(5),5)B． eq \f(2\r(5),5)
C. eq \f(3\r(5),5) D． eq \f(4\r(5),5)
8.[2023·江西省临川一中模拟]已知F1（－3，0），F2（3，0）分别是双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，点P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为 eq \f(π,6)，则双曲线的标准方程为（ ）
A. eq \f(x2,6)－ eq \f(y2,3)＝1 B． eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,6)＝1
C.x2－ eq \f(y2,8)＝1 D. eq \f(x2,8)－y2＝1
9.[2023·江西省南昌市高三模拟] 已知中心在原点的双曲线E的离心率为2，右顶点为A，过E的左焦点F作x轴的垂线l，且l与E交于M，N两点，若△AMN的面积为9，则E的标准方程为（ ）
A.x2－ eq \f(y2,3)＝1 B． eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,6)＝1
C. eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,12)＝1 D．x2－ eq \f(y2,4)＝1
二、填空题
10.双曲线 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为_______．
11.[2022·全国甲卷（文），15]记双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值 _______．
12.已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,3)＝1（a>0）的离心率为2，则a＝ .
[能力提升]
13.[2023·陕西省西安中学模拟] 第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A. eq \f(\r(290),13) B． eq \f(\r(290),11)
C. eq \f(13,11) D．2
14.[2023·陕西省西安中学四模]已知F是双曲线 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为_______．
15.[2023·江西省赣州市高三摸底]已知F1，F2是双曲线C：x2－ eq \f(y2,b2)＝1的两个焦点，过F1作C的渐近线的垂线，垂足为P.若△F1PF2的面积为 eq \r(3)，则C的离心率为_______．
16.[2023·江西省南昌市高三模拟]
已知F1、F2分别是双曲线E： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，F2也是抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若|PF1|＝|F1F2|，则双曲线E的离心率为_______．
专练49 双曲线
1．D 由题意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦点落在x轴上，∴其双曲线方程为 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1.
2．B x2－y2＝9可化为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,9)＝1，
∴a＝3，由双曲线的定义知
|PF2|＝2a＋|PF1|，|QF2|＝2a＋|QF1|，
∴△F2PQ的周长L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|
＝|PQ|＋2a＋|PF1|＋2a＋|QF1|
＝2|PQ|＋4a＝2×7＋4×3＝26.
3．A 不妨设焦点为F(c，0)，渐近线方程为y＝ eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，
则焦点F(c，0)到渐近线的距离为 eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝ eq \f(bc,c)＝b＝1，
又a＝ eq \r(3)，所以c＝ eq \r(3＋1)＝2，
所以该双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2,\r(3))＝ eq \f(2\r(3),3).
4．C ∵c2＝a2＋1，∴e2＝ eq \f(c2,a2)＝ eq \f(a2＋1,a2)＝1＋ eq \f(1,a2)，
又a2>1，∴0< eq \f(1,a2)<1，
∴1<1＋ eq \f(1,a2)<2，∴15．C ∵e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(1,4)，不妨设a＝4，c＝1，则b＝ eq \r(15)，
∴对应双曲线的渐近线方程为：y＝± eq \f(b,a)x＝± eq \f(\r(15),4)x，选C.
6．D 结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,9)＝1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)＝1))，两式作差，得x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)，即(x1－x2)(x1＋x2)＝ eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,9)，化简得 eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,（x1－x2）（x1＋x2）)＝9，即 eq \f(y1－y2,x1－x2)· eq \f(\f(y1＋y2,2),\f(x1＋x2,2))＝kAB· eq \f(y0,x0)＝9，因此kAB＝9· eq \f(x0,y0).
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．
对于A选项，因为kAB＝9× eq \f(1,1)＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9× eq \f(－1,2)＝－ eq \f(9,2)＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9× eq \f(1,3)＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9× eq \f(－1,－4)＝ eq \f(9,4)<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D.
7．D 根据双曲线的离心率e＝ eq \r(5)＝ eq \f(c,a)，得c＝ eq \r(5)a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2， eq \f(b2,a2)＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
方法一 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,（x－2）2＋（y－3）2＝1，))得5x2－16x＋12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(16,5)，x1x2＝ eq \f(12,5).
所以|AB|＝ eq \r(1＋22)|x1－x2|＝ eq \r(5) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))\s\up12(2)－4×\f(12,5))＝ eq \f(4\r(5),5)，故选D.
方法二 圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝ eq \f(|2×2－3|,\r(22＋（－1）2))＝ eq \f(\r(5),5)，所以|AB|＝2 eq \r(1－d2)＝2 eq \r(1－（\f(\r(5),5)）2)＝ eq \f(4\r(5),5)，故选D.
8．B 设点P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，
因为|PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＋|PF2|＝6a，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
由题，因为|F1F2|＝2c＝6，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2c>2a,4a>2a))，所以∠PF1F2为最小角，故∠PF1F2＝ eq \f(π,6)，
所以在△PF1F2中，由余弦定理可得，
eq \f(（4a）2＋（2c）2－（2a）2,2·4a·2c)＝ eq \f(\r(3),2)，又因为c＝3，解得a＝ eq \r(3)，
所以b＝ eq \r(6)，所以双曲线的标准方程为 eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,6)＝1.
9．A 设双曲线的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则A(a，0)，F(－c，0)，
由双曲线的离心率为2，得 eq \f(c,a)＝2，则c＝2a，
因为直线l过点F(－c，0)且垂直于x轴交E于点M、N，
所以点M、N的横坐标都为－c，有 eq \f(（－c）2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1，解得y＝± eq \f(b2,a)，
所以M(－c， eq \f(b2,a))，N(－c，－ eq \f(b2,a))，所以|MN|＝ eq \f(2b2,a)，
又AF＝a＋c，AF⊥MN，则
S△AMN＝ eq \f(1,2)|AF||MN|＝ eq \f(1,2)(a＋c)· eq \f(2b2,a)＝(a＋c)· eq \f(c2－a2,a)＝(a＋c)· eq \f(4a2－a2,a)＝9a＝9，
所以a＝1，故c＝2a＝2，得b＝ eq \r(c2－a2)＝ eq \r(3)，
所以双曲线的方程为：x2－ eq \f(y2,3)＝1.
10．答案： eq \r(5)
解析：由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝ eq \f(|3－8|,\r(12＋22))＝ eq \r(5).
11．答案： eq \r(5)(答案不唯一)
解析：双曲线C的一条渐近线与C没有公共点，所以可令 eq \f(b,a)＝2，则e＝ eq \r(1＋（\f(b,a)）2)＝ eq \r(5).
12．答案：1
解析：由双曲线方程知b2＝3，从而c2＝a2＋3.又e＝2，因此e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(\f(a2＋3,a2))＝2.又a>0，得a＝1.
13．A 如图建立直角坐标系，过O4向x轴引垂线，垂足为A，易知|O4A|＝11，|O2A|＝13，
∴ eq \f(b,a)＝ eq \f(11,13)，
∴e＝ eq \r(（\f(b,a)）2＋1)＝ eq \f(\r(290),13).
14．答案：9
解析：对于双曲线 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,12)＝1，则a＝2，b＝2 eq \r(3)，c＝4，如图所示：
设双曲线的右焦点为M，则M(4，0)，
由双曲线的定义可得|PF|－|PM|＝4，则|PF|＝4＋|PM|，
所以，|PF|＋|PA|＝|PM|＋|PA|＋4≥|AM|＋4＝ eq \r(（1－4）2＋（4－0）2)＋4＝9，
当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立．
因此，|PF|＋|PA|的最小值为9.
15．答案：2
解析：由题，a＝1，焦点F1(－c，0)，渐近线方程为y＝－bx，根据点到直线距离公式得|PF1|＝ eq \f(bc,\r(b2＋1))＝b，根据勾股定理得|PO|＝a，在Rt△F1PO中，利用等面积法可得，P到x轴的距离h＝ eq \f(b,c)，所以S△F1PF2＝ eq \f(1,2)×2c× eq \f(b,c)＝b＝ eq \r(3)，离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋（\f(b,a)）2)＝ eq \r(1＋3)＝2.
16．答案：2＋ eq \r(3)
解析：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为点A，则|PA|＝|PF2|，
因为|PF1|＝|F1F2|＝2c，则|PF2|＝|PF1|－2a＝2c－2a，则|PA|＝2c－2a，
因为PA⊥AF1，则cs ∠APF1＝ eq \f(|PA|,|PF1|)＝ eq \f(c－a,c)，
由余弦定理可得cs ∠PF1F2＝ eq \f(|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|2,2|PF1|·|F1F2|)＝ eq \f(c2－a2＋2ac,2c2)，
因为PA∥F1F2，所以，∠APF1＝∠PF1F2，所以， eq \f(c－a,c)＝ eq \f(c2－a2＋2ac,2c2)，
整理可得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0，因为e>1，解得e＝2＋ eq \r(3).