统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练56古典概型几何概型和条件概率文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练56古典概型几何概型和条件概率文，共6页。

[基础强化]
一、选择题
1.[2022·全国甲卷（文），6]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． eq \f(1,5) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(2,5) D． eq \f(2,3)
2.[2023·安徽省皖北协作区联考] 在区间（0，2]上随机取一个数，则使事件“lg eq \s\d9(\f(1,2))（3x－2）≥1”发生的概率为（ ）
A． eq \f(1,12) B． eq \f(1,6)
C． eq \f(5,6) D． eq \f(5,12)
3.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现；红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A． eq \f(7,10) B． eq \f(5,8)
C． eq \f(3,8) D． eq \f(3,10)
4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）
A． eq \f(2,3) B． eq \f(3,5)
C． eq \f(2,5) D． eq \f(1,5)
5.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5
C．0.6 D．0.8
6.[2023·全国乙卷（文）]设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2＋y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 eq \f(π,4)的概率为（ ）
A． eq \f(1,8) B． eq \f(1,6)
C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,2)
7.[2023·江西省景德镇市高三质检]英国数学家贝叶斯（1701～1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B， eq \(A,\s\up6(－))（A的对立事件）存在如下关系：P（B）＝P（B∣A）·P（A）＋P（B∣ eq \(A,\s\up6(－))）·P（ eq \(A,\s\up6(－))）.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.009 9
C．0.108 9 D．0.1
8.[2023·全国甲卷（文）]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3)
9.[2023·全国乙卷（文）]某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为（ ）
A． eq \f(5,6) B． eq \f(2,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
二、填空题
10.[2022·全国乙卷（文），14]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_______．
11.记函数f（x）＝ eq \r(6＋x－x2)的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是 .
12.甲、乙两人玩猜数字的游戏，先由甲任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_______．
[能力提升]
13.[2023·江西省赣州一模]已知正方形ABCD的中心为M，从A，B，C，D，M五个点中任取三点，则取到的三点构成直角三角形的概率为（ ）
A． eq \f(1,5) B． eq \f(1,2) C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5)
14.[2023·江西省临川模拟]《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，则满足|a－b|＝1的概率为（ ）
A． eq \f(8,25) B． eq \f(9,25)
C． eq \f(18,25) D． eq \f(16,25)
15.[2023·江西省南昌十中月考]设不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3,0≤y≤1))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ）
A． eq \f(3\r(3)＋2π,18) B． eq \f(π－3,6)
C． eq \f(\r(3)＋3π,12) D． eq \f(π,4)
16.从集合M＝{（x，y）|（|x|－1）2＋（|y|－1）2<4，x，y∈Z}中随机取一个点P（x，y），若xy≥k（k>0）的概率为 eq \f(6,25)，则k的最大值是_______．
专练56 古典概型、几何概型和条件概率
1．C 从6张卡片中任取2张的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种，所以所求概率p＝ eq \f(6,15)＝ eq \f(2,5).故选C.
2．A 由lg eq \s\d9(\f(1,2))(3x－2)≥1可得0<3x－2≤ eq \f(1,2)，即 eq \f(2,3)3．B 行人在红灯亮起的25秒内到达路口，即满足至少需要15秒才出现绿灯，∴所求事件的概率P＝ eq \f(25,40)＝ eq \f(5,8).
4．B 记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6种，所以所求事件的概率P＝ eq \f(6,10)＝ eq \f(3,5).
5．C 把3个1和2个0排成一行，共有10种排法，分别是00111，10011，11001，11100，01011，01101，01110，10101，10110，11010，其中2个0不相邻的排法有6种，分别是01011，01101，01110，10101，10110，11010，所以所求概率P＝ eq \f(6,10)＝0.6.
6．A
如图所示，题中所给区域为一圆环形区域，其面积为4π－π＝3π.由题意，知A点应在图中的BCDE区域内(包含边界)，其中∠BOx＝ eq \f(π,4)，该部分区域的面积为 eq \f(1,2)× eq \f(π,4)×22－ eq \f(1,2)× eq \f(π,4)×12＝ eq \f(3π,8)，故所求概率为 eq \f(\f(3π,8),3π)＝ eq \f(1,8)，故选A.
7．C 设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件 eq \(A,\s\up6(－))，
则P(B|A)＝0.99，P(A)＝0.01，P(B| eq \(A,\s\up6(－)))＝0.1，P( eq \(A,\s\up6(－)))＝0.99，
故所求概率P(B)＝0.99×0.01＋0.1×0.99＝0.108 9.
8．D 记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝ eq \f(4,6)＝ eq \f(2,3)，故选D.
9．A 设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表：
共36种情况．其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为 eq \f(30,36)＝ eq \f(5,6).故选A.
10．答案： eq \f(3,10)
解析：从5名同学中随机选3名参加社区服务工作，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝10(种)选法，甲、乙都入选有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝3(种)选法．根据古典概型的概率计算公式，甲、乙都入选的概率p＝ eq \f(3,10).
11．答案： eq \f(5,9)
解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为 eq \f(3－（－2）,5－（－4）)＝ eq \f(5,9).
12．答案： eq \f(5,8)
解析：两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，有16种情况，其中满足|a－b|≤1的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10种，故这两人“心有灵犀”的概率为 eq \f(10,16)＝ eq \f(5,8).
13．D 从A，B，C，D，M五个点中任取三点的基本事件有：ABC，ABD，ABM，ACD，ACM，ADM，BCD，BCM，BDM，CDM，共10个，其中可构成直角三角形的有：ABC，ABD，ABM，ACD，ADM，BCD，BCM，CDM，共8个，
概率为P＝ eq \f(8,10)＝ eq \f(4,5).
14．B 阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，则选出的(a，b)的所有情况如下：(1，2)，(1，4)，(1，6)，(1，8)，(1，10)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(3，8)，(3，10)，
(5，2)，(5，4)，(5，6)，(5，8)，(5，10)，(7，2)，(7，4)，(7，6)，(7，8)，(7，10)，(9，2)，(9，4)，(9，6)，(9，8)，(9，10)，共有25种情况，其中满足|a－b|＝1的有(1，2)，(3，2)，(3，4)，(5，4)，(5，6)，(7，6)，(7，8)，(9，8)，(9，10)，共9种情况，所以概率为 eq \f(9,25).
15．A 如图区域D： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3,0≤y≤1))表示矩形，面积为3，到坐标原点距离小于2的点，
位于以原点O为圆心，半径为2的圆内，
即x2＋y2＝4与区域D： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3,0≤y≤1))的公共部分(如图阴影部分所示)，
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝1,x2＋y2＝4))得C( eq \r(3)，1)，连接OC，
所以∠AOC＝30°，|OC|＝|OA|＝2，|OB|＝1，
所以扇形AOC的面积：S扇形AOC＝ eq \f(1,2)× eq \f(π,6)×22＝ eq \f(π,3)，
因为S△BOC＝ eq \f(1,2)×|BO|×|BC|＝ eq \f(1,2)×1× eq \r(3)＝ eq \f(\r(3),2)，
所以S阴影＝S扇形AOC＋S△BOC＝ eq \f(π,3)＋ eq \f(\r(3),2)，
所以此点到坐标原点的距离小于2的概率为： eq \f(\f(π,3)＋\f(\r(3),2),3)＝ eq \f(3\r(3)＋2π,18).
16．答案：2
解析：因为M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}，所以M＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，所以集合M中元素的个数为5×5＝25.因为xy＝1的情况有2种，xy＝2的情况有4种，xy＝4的情况有2种，所以要使xy≥k(k>0)的概率为 eq \f(6,25)，需1乙
甲
A
B
C
D
E
F
A
(A，A)
(A，B)
(A，C)
(A，D)
(A，E)
(A，F)
B
(B，A)
(B，B)
(B，C)
(B，D)
(B，E)
(B，F)
C
(C，A)
(C，B)
(C，C)
(C，D)
(C，E)
(C，F)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
(D，D)
(D，E)
(D，F)
E
(E，A)
(E，B)
(E，C)
(E，D)
(E，E)
(E，F)
F
(F，A)
(F，B)
(F，C)
(F，D)
(F，E)
(F，F)