2023年内蒙古通辽市中考数学试卷（含解析）

2023年内蒙古通辽市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在英语单词多项式中任意选出一个字母，选出的字母为““的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  在平面直角坐标系中，一次函数的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  已知点在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列命题：
；
；
圆周角等于圆心角的一半；
将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
在一组数据中，如果每个数据都增加，那么方差也增加．
其中真命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在扇形中，，平分交于点，点是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：

下列不属于该尺规作图依据的是(    )

A. 两点确定一条直线
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

11.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点为中心，把点按逆时针方向旋转得到点，在，，，四个点中，直线经过的点是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，抛物线与轴交于点，，其中下列四个结论：；；；不等式的解集为其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  已知一组数据：，，，，，则这组数据的众数是______ ．

14.  将一副三角尺如图所示放置，其中，则 ______ 度

15.  点的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中，满足二元一次方程组，则点关于轴对称点的坐标为______ ．

16.  如图，等边三角形的边长为，动点从点出发以的速度沿向点匀速运动，过点作，交边于点，以为边作等边三角形，使点，在异侧，当点落在边上时，点需移动______

17.  某款“不倒翁”如图的主视图是图，，分别与所在圆相切于点，，若该圆半径是，，则主视图的面积为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
以下是某同学化简分式的部分运算过程：

上面的运算过程中第______ 步开始出现了错误；
请你写出完整的解答过程．

20.  本小题分
如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处这时，处距离灯塔有多远结果取整数？参考数据：，，，，，

21.  本小题分
党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示中学在第个“世界读书目”到来之际，对全校名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告不完整：

请解答下列问题：
求参与本次抽样调查的学生人数；
求图中扇形所占百分比；
估计该校名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数；
在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：三国演义红楼梦西游记水浒传分别记为甲、乙、丙、丁，现从这部名著中选择部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求西游记被选中的概率．

22.  本小题分
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接．
如图，当点在上时， ______ 度；
改变点在上的位置点不与点，重合如图，判断与的数量关系，并说明理由．

 

23.  本小题分
如图，为的直径，，是上的两点，延长至点，连接，．

求证：∽；
求证：是的切线；
若，，求的半径．

24.  本小题分
某搬运公司计划购买，两种型号的机器搬运货物，每台型机器比每台型机器每天少搬运吨货物，且每台型机器搬运吨货物与每台型机器搬运吨货物所需天数相同．
求每台型机器，型机器每天分别搬运货物多少吨？
每台型机器售价万元，每台型机器售价万元，该公司计划采购两种型号机器共台，满足每天搬运货物不低于吨，购买金额不超过万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．

25.  本小题分
阅读材料：
材料：关于的一元二次方程的两个实数根和系数，，，有如下关系：，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ______ ， ______ ．
类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值；
提升：已知实数，满足，且，求的值．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．

求这条抛物线的函数解析式；
是抛物线上一动点不与点，，重合，作轴，垂足为，连接．
如图，若点在第三象限，且，求点的坐标；
直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，请直接写出四边形的周长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的含义以及求法，在的前面添加，求出的相反数即可．
此题主要考查了相反数的含义以及求法，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”．
 

2.【答案】 

【解析】解：英语单词中共个字母，只有一个，
任意选出一个字母，选出的字母为““的概率是．
故选：．
直接根据概率公式解答即可．
本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
四边形是矩形，
由平移的性质得，
，
平行四边形的面积矩形的面积，
的平移距离为．
故选：．
根据平移的性质结合矩形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，平移的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一次函数中的，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：．
根据一次函数中的、的符号确定其函数图象所经过的象限，即可判断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：，
则实数的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而在数轴上表示即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关定义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象在二、四象限，而，
点在第二象限反比例函数的图象上，在第四象限反比例函数的图象上，
，
，
故选：．
根据反比例函数的图象和性质，由，可判断，进而得出答案．
本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕点逆时针旋转到，
，，

，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，是真命题；
，是假命题；
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，是假命题；
将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，是假命题；
在一组数据中，如果每个数据都增加，那么方差不变，是假命题．
其中真命题的个数是．
故选：．
分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
主要主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：作点关于直线的对称点，连接，与的交点为点，此时阴影部分周长最小，
在扇形中，，平分交于点，
，
由轴对称的性质，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，的长，
阴影部分周长的最小值为，
故选：．
作点关于直线的对称点，连接，与的交点为点，此时阴影部分周长最小，最小值为的长与弧的和．
本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称最短路线问题，证得为等腰直角三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作图得：垂直平分，
为的中点，
，
．
，
是的外接圆，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质及直角三角形的性质作图判定．
本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质及直角三角形的性质是截图的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点，点，

轴，，
由旋转得：，，
如图，过点作轴于，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
则，
，
直线的解析式为：，
当时，，
点不在直线上，
当时，，
在直线上，
当时，，
不在直线上，
当时，，
不在直线上．
故选：．
根据含角的直角三角形的性质可得，利用待定系数法可得直线的解析式，依次将，，，四个点的一个坐标代入中可解答．
本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点的坐标是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴，
，，，
，
正确．
当时，，
，
错误．
抛物线过点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
错误．
如图：

设，，
由图值，时，或，
故正确．
故选：．
利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在数据，，，，中，出现了次，出现的次数最多，
则这组数据的众数为．
故答案为：．
根据众数的定义一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数得出即可．
本题考查了众数的定义，能熟记众数的定义是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
．
．
故答案为：．
利用平行线的性质和三角尺各角的度数进行计算即可．
本题主要考查平行线的性质的简单运用．另外，一定要把一副三角尺各角的度数作为常识牢记于心．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：；

得：；
则，
那么点关于轴对称点的坐标为，
故答案为：．
结合已知条件分别求得，的值，然后根据关于轴对称的点的坐标性质即可求得答案．
本题考查解一元一次方程及二元一次方程组和关于轴对称的点的坐标性质，结合已知条件求得，的值是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设点需移动秒，点落在边上，如图所示．
三角形是等边三角形，
，
，
．
．
，，，
≌．
，，
，
，即，
．
故答案为：．
根据等边三角形的性质得到角与边的等量关系，从而证明≌，由此得到边之间的关系，进而求解．
本题通过动点问题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质的运用．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，，交于点，如图，
，，
，
，且为等边三角形，
优弧对应的圆心角为，，
优弧的面积是：，，，
主视图的面积，
故答案为：
根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与，所在圆相切于点，可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可，再根据等边三角形和顶角为等腰三角形的面积公式分别计算即可．
本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧的度数．
 

18.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

19.【答案】一 

【解析】解：上面的运算过程中第一步开始出现了错误；
故答案为：一；

原式

．
利用分式的混合运算法则判断得出答案；
利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：如图：

由题意得：，，
，，
在中，海里，
海里，
在中，海里，
处距离灯塔约有海里． 

【解析】根据题意可得：，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：人，
答：参与本次抽样调查的学生人数为人；
，
答：图中扇形所占百分比为；
人，
答：估计该校名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数为人；
画树状图，如图所示：

所有等可能的情况有种，其中西游记被选中的情况有种，
所以西游记被选中的概率为． 

【解析】用组的人数除以所占的百分比即可；
用扇形的圆心角除以即可；
用乘以组的百分比即可；
画树状图得出所有等可能的结果数和西游记被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
此题考查了扇形统计图，条形统计图和列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】 

【解析】解：由折叠可得：，，，
，
；
故答案为：；
，理由如下：
在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，
，，
，，
，
≌；
．
由折叠可得，，，故BE，从而可得；
证明≌，可得．
本题考查正方形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质和正方形性质．
 

23.【答案】证明：，，
∽；
证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
．
的半径为． 

【解析】由相似三角形的判定可得出答案；
连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；
由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，
由题意得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根，
，
答：每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨；
设购买型机器人台，购买总金额为万元，
由题意得：，
解得：，
；
，
随的增大而减小，
当时，最小，此时，
购买型机器人台，型机器人台时，购买总金额最低是万元． 

【解析】设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，根据“型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同”列方程即可得解；
先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，再根据题意列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：一元二次方程的两个根为，，
，；
故答案为：，；
一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
．
利用根与系数的关系，即可得出及的值；
利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论；
由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，结合，可求出的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
答：抛物线的解析式为．
设，如图，过点作于，

，
，
，
轴，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
舍去，
，
．
设，
对于，当时，，
解得，，
，
，
，
当点在第三象限时，如图，过点作轴于，

则四边形是矩形，
，
点与点关于对称，
，，
轴，
，
，
，
四边形是菱形，
，
∽，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
，
解得舍去，
，
四边形的周长，
当点在第二象限时，如图，

同理可得，
解得舍去，
，
四边形的周长，
综上，四边形的周长为或． 

【解析】利用待定系数法求解即可．
设出点坐标，作辅助线，求出，，根据，列出方程求出的值即可；
证明四边形是菱形，得出，分别表示出和，从而列出方程，即可求解．
本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．