2023年湘豫名校联考高一（下）段考数学试卷（5月份）（含解析）

这是一份2023年湘豫名校联考高一（下）段考数学试卷（5月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湘豫名校联考高一（下）段考数学试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知复数满足，则在复平面内对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.  已知向量，则在方向上的投影向量为(    )A.  B.  C.  D. 3.  在直三棱柱中，，点，分别是，的中点，则(    )A. 与相交，且
B. 与相交，且
C. 与是异面直线，且
D. 与是异面直线，且4.  青岛五四广场主题钢雕塑如图以单纯简练的造型元素排列组合成旋转腾空的“风”，通体火红，害意五四运动是点燃新民主主义革命的“火种”及青岛与五四运动的渊源某中学数学兴趣小组为了估算该钢雕塑的高度，选取了与钢雕塑底部在同一水平面上的，两点如图，在点和点测得钢雕塑顶端点的仰角分别为和，测得米，，则钢雕塑的高度为(    )
 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米5.  已知甲、乙两个圆锥的底面半径相等，侧面积分别为和，体积分别为和若甲圆锥的侧面展开图为半圆，且，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  在平行四边形中，与交于点，点满足，若，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  最大视角问题是年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”如图，树顶离地面米，树上另一点离地面米，若在离地面米的处看此树，则的最大值为(    )A.
B.
C.
D.
 8.  已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为(    )A.  B. 或 C.  D. 或二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知复数，，则(    )A.  B.
C.  D. 若，则10.  已知向量，则(    )A. 若，则
B. 若，则
C. 当时，
D. 若与的夹角为锐角，则11.  已知正实数，满足，则(    )A.  B.
C.  D. 12.  已知定义在上的函数的图象关于直线对称，，为奇函数，且当时，，则(    )A. 的一个周期为
B. 当时，
C.
D. 直线与曲线共有个不同的交点三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知集合，则 ______ ．14.  如图所示，是一个等腰直角三角形，且，是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形中， ______ ．
 15.  已知复数满足，则的取值范围是______ ．
 16.  已知在等腰梯形中，，，，，点为平面内一点，则的最小值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知复数满足，且复数为纯虚数．
求；
若的实部小于零，且是关于的方程的根，求的值．18.  本小题分
如图，在中，点是边上靠近点的三等分点，点是线段上的动点．
若，，求；
若交于点，求的取值范围．
19.  本小题分
在条件，，中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．
已知的内角，，的对边分别为，，，且满足_____．
求角的大小；
若的面积为，求的值．20.  本小题分
已知向量，且函数．
求函数图象的对称轴和对称中心；
把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．21.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足．
若，证明：；
若，求．22.  本小题分
已知函数，．
求的单调区间和最值；
记的值域为，的值域为，是否存在实数，使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：设，
则，
因为，
所以，
所以，，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为向量，，
所以，．
所以在方向上的投影向量为：

故选：．
根据投影向量的定义，计算即可．
本题考查了平面向量数量积的几何意义，以及直观想象和数学运算的核心素养，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：在直三棱柱中，，点，分别是，的中点，
如图所示，与是异面直线，
．
因为，，所以E.

故选：．
先推导出与是异面直线，再求出，，从而E.
本题考查棱柱的结构特征和异面直线的判断，考查直观想象和数学运算的核心素养，是中档题．
 4.【答案】 【解析】解：在点和点测得钢雕塑顶端点的仰角分别为和，测得米，，
由题意得，，所以，
设，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得，即米．
故选：．
由题意得，，设，则，在中，由余弦定理即可求解．
本题考查余弦定理的实际应用，考查数学建模和直观想象的核心素养．
 5.【答案】 【解析】解：设甲、乙两个圆锥的底面半径为，母线长分别为，，
因为，所以．
因为甲圆锥的侧面展开图为半圆，
所以，即所以，
则甲圆锥的高，
乙圆锥的高．
所以．
故选：．
根据圆锥的表面积与体积公式，计算即可求解．
本题考查圆锥的侧面积和体积的计算，考查逻辑推理和直观想象的核心素养，属中档题．
 6.【答案】 【解析】解：方法一、如图所示，因为与交于点，点满足，
所以，，
所以．
又因为，
所以．
又因为，
所以，．
所以．
方法二、因为四边形为平行四边形，
所以，．
由题意得，
又因为，，三点共线，
所以，即．
故选：．
方法一、根据平面向量的线性运算法则，用、表示，即可求出、的值．
方法二：根据平行四边形的性质与三点共线的向量表示，求解即可．
本题考查了平面向量的基本定理应用问题，也考查了逻辑推理和数学运算的核心素养，是基础题．
 7.【答案】 【解析】解：如图，过点作，交于点，
则，，，
设，，
在中，，
在中，，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为．
故选：．
过点作，交于点，设，，可求，，进而利用两角差的正切公式以及基本不等式即可求解．
本题考查三角恒等变换和基本不等式，考查直观想象、数学运算的核心素养，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：如图所示，设，正三棱台上、下底面所在圆的半径分别为，，
则由正弦定理得，
即，．
因为，所以．
设外接球的半径为，
由外接球的体积公式可知，，即．
设球心到上、下底面的距离分别为，，
所以，
故如图或如图，

即或，解得或，
所以的面积为或．
故选：．
根据棱台的结构特征结合多面体的内接和外切问题求解即可．
本题考查棱台的结构特征和与球有关的组合体问题，考查逻辑推理，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：由题意，得，A正确；
因为，所以，B错误；
因为，，所以，C正确；
由题意，得，因为，，
所以，D正确．
故选：．
利用复数的乘法以及复数的模的运算法则化简求解，再判断选项的正误即可．
本题考查复数的四则运算及复数的几何意义，属基础题．
 10.【答案】 【解析】解：若，则，解得，A正确；
若，则，解得或，B错误；
当时，，则，所以正确；
若与的夹角为锐角，则且与不同向共线，所以解得且错误．
故选：．
对于，结合向量共线的性质，即可求解；
对于，结合向量垂直的性质，即可求解；
对于，结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；
对于，结合平面向量的数量积运算，即可求解．
本题考查向量的数量积的坐标运算、向量平行和垂直的条件，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：因为，且，均为正实数，所以由基本不等式得，
即，当且仅当时，即，等号成立，，B正确；
由不等式，得，所以，
即，当且仅当时，即，等号成立，C错误或；
因为，所以，当且仅当时，即，等号成立，D正确．
故选：．
结合已知条件，利用基本不等式转化求解判断选项的正误即可．
本题考查基本不等式的应用，考查数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
 12.【答案】 【解析】解：因为函数的图象关于直线对称，所以，
用替换，得，
因为是奇函数，
所以，
即．
结合，得，
所以，
所以，
所以的一个周期为，故A错误；
由，令，得，所以，
即，
由，得，即，
联立两式，得，，
所以当时，，
设，则，
，故B正确；
因为在上单调递增，又的图象关于直线对称，
所以在上单调递减，
所以当时，，
当时，，所以，
当时，，所以，
又函数的一个周期为，
所以作出的图象如图所示：

因为，
结合图象可得，
所以，C正确；
作直线，由图可知，直线与曲线共有个不同的交点，D正确．
故选：．
根据函数的对称性、奇偶性推出周期性，单调性，利用函数的周期性、单调性和函数图象逐项分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、单调性和周期性的综合应用，考查数学抽象、逻辑推理和直观想象能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
求出集合，，利用交集定义能求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意，直观图，是一个等腰直角三角形，且，
在原图中，过点分别作轴、轴的平行线，分别交轴、轴于点，，
如图：

由，得，所以．
由斜二测画法规则将还原为，如图

可得，，
则，所以．
故答案为：．
根据题意，在原图中，过点分别作轴、轴的平行线，分别交轴、轴于点，，求出和的长，由斜二测画法规则将还原为，分析的坐标，计算可得答案．
本题考查斜二测画法，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：方法一：因为，
所以在复平面内对应的点是复平面内到点的距离为的点的集合，如图所示．
由图象可知，

当时，，
当时，，
所以的取值范围是．
方法二：因为，
又，
所以．
故答案为：．
方法一：根据复数的几何意义与点和圆的位置关系求解；方法二：利用不等式求解．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，
由，，，，得，，．
设，则，，
所以．
所以，
所以当时，取得最小值．
方法二：如图，取的中点，的中点，连接，取的中点，
因为，，，
所以由余弦定理得所以，
所以
极化恒等式．
取得最小值．
方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设，然后利用向量的坐标运算，转化求解最值即可．
方法二：如图，取的中点，的中点，连接，取的中点，利用由余弦定理，转化求解即可．
本题考查向量的数量积在几何中的应用，考查数学运算、逻辑推理和直观想象的核心素养．
 17.【答案】解：设，，则，
，且复数为纯虚数，
，或，
或；
的实部小于零，
，
是关于的方程的根，
，即，
，，． 【解析】设，，由条件建立，的关系式，求解即可；
由题意建立关于，的关系式，求解即可．
本题考查复数的四则运算和复数的概念，属于基础题．
 18.【答案】解：由题意知，，
，
且，
因为，，
所以


．
根据平面向量基本定理得，
，；
，．
因为，
所以．
所以，
得．
因为，所以．
所以的取值范围是． 【解析】由点是边上靠近点的三等分点，用、表示和，再求平面向量的数量积．
根据、、三点共线，利用平面向量基本定理，用、表示，再表示出，即可求出的取值范围．
本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算问题，也考查了逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养，是中档题．
 19.【答案】解：若选：
因为，
所以，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，，
所以，即，
因为，所以．
若选：
由正弦定理及，得，
整理得，
所以，
因为，所以，
又，所以．
若选：
由余弦定理，得，
因为，
所以，
因为，所以，
由正弦定理，得，
所以，
整理得，
因为，所以，即，
又，所以．
由得，
因为的面积为，
所以，解得，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，，
所以，
所以． 【解析】选：利用正弦定理化边为角，并结合余弦定理，推出，得解；
选：利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，推出，得解，
选：结合已知条件与余弦定理，可得，再利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，推出，得解；
先利用三角形的面积公式求出，再由余弦定理，求得，然后运用正弦定理，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理以及三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题．
 20.【答案】解：因为向量，
所以



，
令，得；
令，得，
所以的图象的对称轴为，对称中心为．
把的图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
因为不等式在上恒成立，
只需，即可，
令，
则，
当，即时，．
即，即，
解得或．
所以实数的取值范围为． 【解析】根据题意，计算，结合三角函数知识求出的图象的对称轴和对称中心即可；
把的图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，令，换元得到求出最大值，不等式在上恒成立，即，求解即可．
本题考查三角恒等变换和三角函数的图象变换、三角函数的性质以及不等式恒成立问题，属于中档题．
 21.【答案】解：证明：在中，由正弦定理可得，
因为，
所以，
在中，由正弦定理可得，
由题意可知，
所以，
因为，
由正弦定理得，
所以．
因为，
由正弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
因为，
所以，
所以，
整理得，
所以，
解得或，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
所以或． 【解析】由正弦定理可得，，又，即可得出答案．
由，得，由余弦定理可得，，由，得，进而可得，解得或，由余弦定理可得答案．
本题考查正余弦定理的应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 22.【答案】解：令，
记，，
易得在上单调递增，在上单调递减．
所以，，
所以，
又在上单调递减，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
因为，
所以，；
存在，理由如下：
由可得，
假设存在实数，使得．
设，则，
当时，，
当时，在上单调递增，
所以，，
所以，
当时，有解得；
当时，在上单调递减，
所以，，
所以，
当时，有，此时不存在，
当时，，
所以，
当时，有解得，此时不存在，
当时，，
所以，
当时，有解得舍去．
当时，，，
即．
解得，所以．
所以，不符合题意，舍去．
综上所述，存在实数，使得，的取值范围为． 【解析】利用二次函数和对数函数的单调性，求复合函数的单调区间以及最值；
利用指数函数和二次函数复合的复合函数的性质，根据分类讨论求二次函数在给定区间的单调性与最值可求解．
本题主要考查了复合函数单调性的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．