2022-2023学年安徽省池州市贵池区高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省池州市贵池区高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为，则圆锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一正四棱柱的底面边长为，高为，则该正四棱柱的外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知的三个内角，，所对的边分别为，，若，则该三角形的形状是(    )

A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 直角三角形

7.  如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  在中，角，，所对的边分别为，，，且若有两解，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成如果我们把足球抽象成一个多面体，它有个顶点，每个顶点发出的棱有条，设其顶点数，面数与棱数，满足，据此判断，关于这个多面体的说法正确的是(    )

A. 共有个六边形 B. 共有个五边形 C. 共有条棱 D. 共有个面

11.  已知的重心为，边，，的中点分别为，，，则(    )

A.
B. 若为正三角形，则
C. 若，则
D.

12.  如图，已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，在线段上运动包含两个端点，以下说法正确的是(    )

A. 三棱锥的体积与点位置无关
B. 若为中点，则过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是
C. 若与重合，则过点，，作正方体的截面，截面为三角形
D. 若为中点，三棱锥的体积为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在中，若，，，则的值为        ．

14.  已知复数，则 ______

15.  如图所示，在三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积为棱台的体积，几何体的体积的两部分，那么：______．

16.  如图，在边长为的正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧在正方形内，包括边界点上的点，若点在上时，则的取值是______ ；若向量，则的最大值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知为虚数单位．
若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围；
若复数满足，求复数．

18.  本小题分
已知向量，，．
若与向量垂直，求实数的值；
若向量，且与向量平行，求实数的值．

19.  本小题分
如图，在菱形中，．
若，求的值；
若，，求．

20.  本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，，求的面积．

21.  本小题分
如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为，高为，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．
Ⅰ若点，，，恰为长方体各侧面中心，求该八面体的体积；
Ⅱ求该八面体表面积的取值范围．

22.  本小题分
如图，某小区有一块空地，其中，，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上不与，重合，且在，之间，且．
若，求的值；
为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的概念与分类，复数的除法运算，共轭复数，属于基础题．
根据复数的除法运算，先化简复数，再根据共轭复数的概念求出，即可得到的虚部．

【解答】

解：复数，
则，所以的虚部为．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：是一平面图形的直观图，斜边，
直角三角形的直角边长是，
直角三角形的面积是，
原平面图形的面积是，
故选：．
根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，得到结果．
本题考查平面图形的直观图，考查直观图与平面图形的面积之间的关系，考查直角三角形的面积，是一个基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面半径为，由题意可得，，解得，
又扇形的半径为，即圆锥的母线长为，则高，
圆锥的体积为．
故选：．
设圆锥的底面半径为，由题意求得，再由勾股定理求解圆锥的高，代入圆锥体积公式求解．
本题考查圆锥体积的求法，考查扇形弧长公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知向量在向量上的投影向量为，
则，
，即，
，
而，
故．
故选：．
根据投影向量的定义结合题意可得，即得，再利用数量积的定义即可求得答案．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设正四棱柱的外接球半径为，
因为正四棱柱的底面边长为，高为，
所以，
解得，
所以该正四棱柱的外接球的表面积为．
故选：．
由于正四棱柱的体对角线就是其外接球的直径，所以先求出体对角线，从而可求得球的半径，进而可求出外接球的表面积．
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，由，利用正弦定理可得：，
再利用余弦定理可得：，
可得，
则三角形的形状是等腰三角形．
故选：．
由，利用正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出．
本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，由正弦定理可知：
，
在直角三角形中，，
故选：．
运用正弦定理和锐角三角函数定义进行求解即可．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：

因为，故，
故，
故，
而，，三点共线，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为．
故选：．
根据和向量的线性运算可得，再利用“”的代换结合基本不等式可求的最小值．
本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示：

要使有两个解，则，
，
，即．
故选：．
由题意画出图形，可知，求出的范围，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意，
设共有个正五边形，个正六边形，
即，
解得，故B错误；
顶点数，
解得，故A正确；
面数故D正确；
棱数：，故C正确．
故选：．
分别设出正五边形和正六边形的个数，利用关系式即可解出正五边形和正六边形的数量，以及棱数和面数．
本题主要考查了正五边形和正六边形的结构特征，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题的考点是向量的加法及其几何意义，根据图中的中点构成的中位线证明四边形是平行四边形，利用四边形法则，把所要证明的向量和转化为其他向量的和，由加法的首尾相连法则证出．
利用平面向量的线性运算及其几何意义，数量积的定义及运算法则逐项分析即得．

【解答】

解：对于，因为为中的中点，所以A正确；
对于，因为为正三角形，所以，
所以，所以不正确；
对于，因为，所以，所以C正确；
对于，因为为的重心，，，分别为边，，的中点，
所以，所以D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：对于选项A：所以，三楼锥的体积与点位置无关，从而D错误，A正确，
对于选项B：正方体中，由，，分别为，，的中点，则，

因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
且有，
由勾股定理可得，
在梯形中，上底，下底，腰，
分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，
，，，所以≌，
，
因为，，，则四边形为矩形，则，
，所以，
故故B正确，
对于选项，设直线分别交直线、于点、，
连接交于点，连接交于点，连接、，
所以，若与重合，则过点、、作正方体的截面，截面为五边形，错．

故选：．
利用维体的体积可判断选项；作出截面，并计算出截面的面积，可判断选项；作出截面，可判断选项．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
由正弦定理，即，
所以，因为，
所以．
故答案为：．
由已知结合正弦定理计算可得．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：复数，则．
故答案为：．
根据共轭复数和复数的运算法则即可求出．
本题考查了共轭复数和复数的运算，属于基础题．
 

15.【答案】： 

【解析】解：设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，
则．
因为，分别为，的中点，
所以，
所以，
所以，
所以：：．
故答案为：：．
设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则根据三棱台的体积公式求出，再用总体积减去即得到．
本题考查三棱锥体积公式和三棱台体积公式的应用，属于基础题．
 

16.【答案】   

【解析】解：以为原点，以所在的为轴，建立坐标系，正方形的边长为，
则，，，，，
设，
，，，
，
当点在上时，，
此时；
再由向量
，
，，
，
，，
的最大值为，
的最大值为．
故答案为：；．
建立坐标系写出坐标，由此能求出的取值范围，由向量，利用，表示并化简，即可求出最大值．
本题考查向量坐标运算，根据，的取值范围求三角函数式的最值，用，表示和是解题的难点，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为复数在复平面内对应的点在第三象限，
所以，解得，
故的取值范围是：．
设复数，由条件得，
所以，解得：，所以． 

【解析】根据复数在复平面内对应的点的特点，解不等式组得出的范围；
根据复数相等以及模长公式得出复数．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：，．
与向量垂直，
，解得．
，
与向量平行，
，解得． 

【解析】本题考查了向量垂直与数量积的共线、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由与向量垂直，可得，解得．
利用向量共线定理即可得出．
 

19.【答案】解：因为在菱形中，．
故，
故，所以．
显然，
所以
，
因为菱形，且，，故，．
所以．
故式．
故． 

【解析】本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算，考查运算能力，属于基础题．

结合向量线性运算的几何意义，用表示出向量，即可求出，的值，问题可解；

将也用表示，结合已知求得，然后结合数量积的定义求解即可．

20.【答案】解：因为，可得，
所以，
又，
所以．
因为，
所以可得，
又，
由余弦定理可得，可得，
解得，，
所以． 

【解析】化简已知等式可得，利用余弦定理可求，结合范围，可求的值．
由正弦定理可求，进而由余弦定理可得，的值，根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

21.【答案】解：Ⅰ点，，，恰为长方体各侧面中心，
，
；
Ⅱ如图，设平面截正方体所得截面为，且的中心为，过点作，垂足为．

由对称性，不妨设，则，
，．
设的中点为，如图，

则，，
．
，，
则，
故，可得，
此八面体的表面积的取值范围为． 

【解析】Ⅰ由已知求出八面体的棱长，转化为四棱锥的体积公式求解；
Ⅱ不妨设，则，求得与，设的中点为，求出，可得三角形面积平方的范围，进一步可得此八面体的表面积的取值范围．
本题考查多面体体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：由题意可得，
设，则，，
在中，由余弦定理，
则，即，
由正弦定理可得，
可得，
即，，可得，
在中，，
，由正弦定理，
可得，
故EF故的值；
设，则，，
由正弦定理，
可得，
在中，由正弦定理，
可得，
故的面积，
，，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最小值为． 

【解析】本题考查正余弦定理，考查三角函数性质，属于难题．
在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；
利用正弦定理用表示，，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可．