2022-2023学年湖北省武汉市青山区武钢三中高二（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市青山区武钢三中高二（下）月考数学试卷（5月份）

一、单选题（本题共7小题，共35分）

1.  已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知随机变量：∽，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某人射击一发子弹，命中目标的概率为，现在他射击发子弹，则击中目标的子弹数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是(    )

A. 该地水稻的平均株高为
B. 该地水稻株高的方差为
C. 随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大
D. 随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比在以下的概率大

6.  某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为的样本，他们的数学、物理分数对应如下表：

绘出散点图如下：
 
根据以上信息，判断下列结论：
根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
甲同学数学考了分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了分的乙同学的物理成绩要高．
其中正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数在恰有两个零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本题共5小题，共25分）

8.  某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如表：

若依据表中数据画出散点图，则样本点都在曲线附近波动．但由于某种原因表中一个值被污损，将方程作为回归方程，则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  直线：与抛物线：交于，两点在的上方，为抛物线的焦点，为坐标原点，的面积是面积的倍，以为直径的圆与直线相切，切点为则下列说法正确的是(    )

A.  B. 的面积为
C. 的值为 D.

10.  在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，，则正确的选项是(    )

A. 异面直线与所成角的大小为
B. 异面直线与所成角的大小为
C. 点到平面的距离为
D. 点到平面的距离为

11.  年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动小明在如图的街道处，小华在如图的街道处，老年公寓位于如图的处，则下列说法正确的是(    )

A. 小华到老年公寓选择的最短路径条数为条
B. 小明到老年公寓选择的最短路径条数为条
C. 小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到处和小华会合一起到老年公寓的概率为
D. 小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件：小明经过，事件：从到老年公寓两人的路径没有重叠部分路口除外，则

12.  甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本题共4小题，共20分）

13.  当时，函数的值域是______．

14.  从一批含有只正品，只次品的产品中，不放回地抽取次，每次抽取只，设抽得次品数为，则______．

15.  一次考试后某班数学成绩，若，且该班学生数学成绩在分以上的有人，则估计该班总人数为        ．

16.  已知由样本数据点集合，，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为，则去除后当时，的估计值为______ ．

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17.  已知数列的前项的和为，且满足
求数列的通项公式及；
若数列满足，求数列的前项的和．

18.  已知函数．
当时，求函数的单调区间；
过点可作曲线的两条切线，求实数的取值范围．

19.  技术对社会和国家十分重要从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公司五年时间里在通信技术上的研发投入亿元与收益亿元的数据，结果如下：

利用相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；
求关于的线性回归方程．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．

20.  年月日，在英雄联盟的总决赛中，中国电子竞技俱乐部完成逆转，斩获冠军，掀起了新一波电子竞技在中国的热潮．为了调查地岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了人作出调查，所得数据统计如表所示：

判断是否有的把握认为地岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？
若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取人，再从这人中任取人，记抽到的男性人数为，求的分布列以及数学期望．
附：，其中．

21.  已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是上任意一点，且的最大值为．
求的方程；
设坐标原点为，、两点在椭圆上，且，证明：为定值．

22.  某蛋糕厂商在两个社区分别开了连锁店和，通过一段时间的经营统计，店和店每日销售的蛋糕数，的分布列如表：

Ⅰ求店在天共卖出个蛋糕的概率；
Ⅱ为了防止食品浪费，保障国家粮食安全，中华人民共和国反食品浪费法自年月日起施行，蛋糕保质期短，当日没销售出去只能作垃圾处理该蛋糕厂商积极响应国家要求，决定今后每日仅生产个蛋糕给两家连锁店，那么在市场需求不变的情况下如何分配这个蛋糕最优？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：离散型随机变量服从二项分布，
所以有，
，
所以，即，
所以，当且仅当时取得等号．
故选：．
随机变量服从二项分布，故E，，所以，结合基本不等式即可得到的最小值．
本题考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
 

2.【答案】 

【解析】解：随机变量，
则正态分布的曲线的对称轴为，
，
，解得，
当时，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为．
故选：．
由正态曲线的对称轴得出，再结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，以及基本不等式的公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：某人射击一发子弹，命中目标的概率为，现在他射击发子弹，
则击中目标的子弹数，
击中目标的子弹数最可能是．
他射击发子弹，则击中目标的子弹数可能是或．
故选：．
击中目标的子弹数，由此能求出击中目标的子弹数最可能的数量．
本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查线段长的最大值的求法，涉及向量模的计算，二次函数最值，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段的长度的最大值．
【解答】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
，，
，，
，
由，得，
，
当时，，当时，，当时，，
由二次函数性质可得，
线段的长度的最大值为．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：对，由正态分布密度曲线函数，，得，，
该地水稻的平均株高为，所以A错误；该地水稻株高的方差为，所以B错误；
对，根据正态分布的对称性可知：，
所以株高在和在单位：的概率不一样大，所以C错误；
对，，所以株高在以上的概率比株高在以下的概率大，所以D正确．
故选：．
由，，可知，，由此判断，B错误；然后根据正态分布的对称性及原则求解概率判断和．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了散点图的应用问题，是基础题．
根据散点图的知识，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，
可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，正确；
对于，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，
不是一次函数关系，错误；
对于，甲同学数学考了分，他的物理成绩可能比数学只考了分的乙同学的物理成绩要高，
所以错误．
综上，正确的命题是，只有个．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点的个数问题，考查数形结合思想，以及运算能力，属于中档题．
由题意，可令，即在上有两个不相等实根，设，求导并讨论单调性、极值与端点值，画出图象，结合图象可得的范围．

【解答】

解：函数在恰有两个零点，
令，即在上有两个不相等实根，
设，，
可得当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
，，，
画出在上的图象，可得：

当时，函数与直线有两个交点，
即函数有两个零点，
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：设缺失的数据为，，则样本的数据如下表所示：

其回归直线方程为，由表中数据额可得，，
由线性回归方程，得，
即，解得．
故选：．
设缺失的数据为，，求得，代入线性回归方程求得，再由平均数公式求即可得答案．
本题考查线性回归方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线标准方程的应用，直线与抛物线位置关系的应用，圆的标准方程的求解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
设，，利用三角形的面积关系得到，联立直线与抛物线，结合韦达定理求出，，从而求出，即可判断选项A，求出的面积，即可判断选项B，求出圆心和半径，得到圆的方程，从而求出的值，即可判断选项C，利用两点间距离公式求解，即可判断选项D．

【解答】

解：由题意，，设，，
因为在的上方，则，，
因为，则，
即，
联立方程组，即，
所以，
又，
则，
所以，解得，
故，
则，
故选项A正确；
因为，
所以，
故选项B错误；
因为的中点，直径为，
故半径为，
所以圆的方程为，
故，
故选项C正确；
因为，所以，
故选项D正确．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，连接，
则，，，，，
，
，即，
异面直线与所成角的大小为，故选项A错误，选项B正确；
又，
设平面的法向量为，则，则可取，
则点到平面的距离为，故选项C正确，选项D错误．
故选：．
建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而得到以及平面的法向量，再利用向量公式及点到平面的距离公式直接计算判断即可．
本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
：小华到老年公寓需要向上格，向右格，即小华共走步其中步向上，所以最短路径条数为条，A错误；
：小明到老年公寓需要向上格，向右格，即小明共走步其中步向上，最短路径条数为条，B正确；
：小明到的最短路径走法有条，再从处和小华一起到老年公寓的路径最短有条，而小明到老年公寓共有条，所以到处和小华会合一起到老年公寓的概率为，C正确；
：由题意知：事件的走法有条即，事件的概率，所以，D错误．
故选：．
根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过且从到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可．
本题考查排列组合的应用，考查古典概型，考查条件概率，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，
以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，
对于，由等可能事件概率计算公式得，故A正确；
对于，，
，故B错误；
对于，，，
由全概率公式得：
，故C正确；
对于，由贝叶斯公式得：，故D正确．
故选：．
对于，由等可能事件概率计算公式判断；由条件概率计算公式判断；由全概率公式判断；由贝叶斯公式判断．
本题考查概率的求法，考查等可能事件、条件概率计算公式、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，在区间上，在区间上，
，，最大值为，又，为极小值，也为最小值，
所以值域为
故答案为：
求出函数的导数，研究函数在区间上的单调性，确定出函数端点值和极值，代入求出函数值域即可
本题考查了对数函数的导数运算、导数在最大值、最小值问题中的应用，解答关键是利用导数工具研究函数的最值问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意，的取值为，，，则
；

所以期望，
所以
故答案为．
确定的取值，求出相应的概率，可得期望，进而可求．
本题考查数学期望的计算，考查概率的求解，确定变量的取值，正确求概率是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：某班数学成绩，
，
该班学生数学成绩在分以上的概率为，
该班学生数学成绩在分以上的有人，
估计该班学生人数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：样本中心为，去掉两个数据点和后，样本中心还是，
又去除后重新求得的回归直线的斜率为，，解得，
去除后的回归方程为，取，可得．
故答案为：．
利用样本中心在回归直线上，求出，由此求解的值，得到去除点后的回归方程，取求解值即可．
本题考查了线性回归方程的理解与应用，掌握线性回归方程必过样本中心点是关键，是基础题．
 

17.【答案】解：由得：，即，又由得：，
两式相减得：，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，；
由知：，则，
所以当时，
；
当时，
，
所以． 

【解析】先由题设条件求得，再由题设条件推出，从而说明数列是以为首项，为公比的等比数列，求得其通项公式及前项和；
先由求得，再对分与两种情况分别求数列的前项的和．
本题主要考查等比数列的定义、通项公式、前项和公式及使用分类的办法求数列的前项和，属于中档题．
 

18.【答案】解：当时，，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数单调递减区间为，单调递增区间为；
因为，函数定义域为，
可得，
不妨设切点为，
则，
要使曲线有两条切线，
此时 有两非零解，
即，
解得或．
故实数的取值范围为或． 

【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数的几何意义即可得到函数的单调性；
设处切点坐标，利用导数几何意义及两点式斜率公式建立方程，结合根的判别式进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力．
 

19.【答案】解：由表中数据可得，，
，又，，
，
与两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合．
由表中数据可得，
则，
，
故关于的线性回归方程为． 

【解析】计算出相关系数，判断两个变量有很强的线性相关性；
计算出，求出线性回归方程．
本题主要考查线性回归方程的应用，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：完善表格如下所示：

则的观测值，
所以有的把握认为地岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关．
依题意，这人中男生有人，女生有人，则的可能取值为，，，，
故，，，，
故的分布列为：

则． 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
依题意，这人中男生有人，女生有人，则的可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题考查独立性检验、超几何分布、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查数学运算，属于中档题．
 

21.【答案】解：设椭圆的半焦距为，则，又的最大值为，
所以，解得，故，
所以的方程为；
设，，
当或，由于，则或，
此时
当，时，设直线的方程为，
则，解得，，
所以，
因为，故直线的方程为，同理可得，，
所以，
故，
综上，为定值． 

【解析】由题意求出，的值，即可求出结果；
分或和当，的情况分类讨论，结合直线与椭圆的位置关系，即可求出结果．
本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ店在天共卖出个蛋糕，共有三种情况：
三天分别卖，，个，，，个，，，个，
所以所求概率为；
Ⅱ由题意可知，
因为店店均是最多卖个蛋糕，则有三种情况：店个，店个；店个，店个；店个，店个．
若分配给店个，店个，

所以；
若分配店个，店个，

所以；
若分配给店个，店个，

所以．
综上所述，所以在市场需求不变的情况下，分配给店个，店个或者店个，店个最优． 

【解析】Ⅰ分三种情况：三天分别卖，，个，，，个，，，个，然后由相互独立事件的概率乘法公式以及分类计数原理求解即可；
Ⅱ分别求出店和店的销售期望，即可得到答案．
本题考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．